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第3单元 函数概念与性质（基础篇）
基础知识讲解
1．分段函数的解析式求法及其图象的作法
【基础知识】
分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数．若函数在定义域的不同子集上
的对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数．已知一个分段
函数在某一区间上的解析式，求此函数在另一区间上的解析式，这是分段函数中最常见的
问题．
【技巧方法】
求解函数解析式的几种常用方法
1、待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；
2、换元法或配凑法，已知复合函数f[g（x）]的表达式可用换元法，当表达式较简单时也
可用配凑法；
3、消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f（x）；
另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法．分段函数是一类重要
的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题．
2．函数单调性的性质与判断
【基础知识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个
自变量x ，x ，
1 2
当x ＜x 时，都有f（x ）＜f（x ），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x ＞x
1 2 1 2 1 2
时，都有f（x ）＜f（x ），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
1 2若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格
的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【技巧方法】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函
数、指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个
小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极
值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的
取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
3．复合函数的单调性
【基础知识】
复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调
性，然后再考虑整体的单调性．平常常见的一般以两个函数的为主．
【技巧方法】
求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤：
（1）确定定义域；
（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；
（3）分别确定两基本初等函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．
4．奇函数、偶函数
【奇函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝
﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．
【技巧方法】
①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③已知奇函数大于 0 的部分的函数表达式，求它的小于 0 的函数表达式，如奇函数 f
（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x
那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣
x2+x
【偶函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有
f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【技巧方法】
①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？
②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数 f
（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．
5．函数奇偶性的性质与判断
【基础知识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个 x，都有f（﹣x）＝﹣f
（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数
f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【技巧方法】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
6.函数解析式的求解及常用方法
【基础知识】
通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．
【技巧方法】
求解函数解析式的几种常用方法主要有
1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等．
7.幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【基础知识】
1.幂函数定义：
一般地，函数y＝xa（a R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．
∈
（1）指数是常数；
（2）底数是自变量；
（3）函数式前的系数都是1；
（4）形式都是y＝xa，其中a是常数．
8.幂函数的性质【基础知识】
所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）．
（1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）（0，0）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；
c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右；
d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数．
（2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；
c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方
无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．
（3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．
9.五个常用幂函数的图象和性质
（1）y＝x； （2）y＝x2； （3）y＝x3； （4）y＝ ； （5）y＝x﹣1
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x﹣1
y＝
定义域 R R R [0，+∞） {x|x≠0}
值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {y|y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x [0，+∞）时，增 增 增 x （0，+∞）时，减
∈ ∈x （﹣∞，0]时， x （﹣∞，0）时，减
减
∈ ∈
公共点 （1，1） （1，1）（0，0） （1，1） （1，1） （1，1）
（0，0） （0，0） （0，0）
10.幂函数的奇偶性
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）．
（2）如果a＞0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数．
（3）如果a＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数．
（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数．
11．函数最值的应用
【基础知识】
函数的最值顾名思义就是指函数在某段区间内的最大值和最小值．在日常生活中我们
常常会遇到如何使成本最低，如何用料最少，如何占地最小等等的问题，这里面就可以转
化为求函数的最值问题．另外，最值可分为最大值和最小值．
【技巧方法】
这种题的关键是把现实的问题转化为数学上的问题，具体的说是转化为函数最值问题，
这里面需要同学们要具有转化思维，具有一定的建模能力，在很多高考题中也常常以大题
的形式出现，所以务必引起重视．这里我们以具体的例题来讲解．
12．根据实际问题选择函数类型
【基础知识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看
实际问题，是学习函数的重要内容．【技巧方法】
常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞
0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y＝ （k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函
数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlog x+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，
a
函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c
（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析
变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
习题演练
一．选择题（共12小题）
1．已知函数 的值域是 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【解析】
二次函数 的图象是开口向下的抛物线.
最大值为 ，且在 时取得，而当 或 时， .
结合函数 图象可知 的取值范围是 ．
故选:C．
2．函数 的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】
由函数的解析式可得： ，则函数 为奇函数，其图象关于坐
标原点对称，选项CD错误；
当 时， ，选项B错误.
故选：A.
3．若函数 为奇函数，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
为奇函数
当 时，
又 时，
本题正确选项：4．已知 ，则 的值为（ ）
A．15 B．7
C．31 D．17
【答案】C
【解析】
令 ，则
将 代入 ，
得
所以 ，所以 .
故选：C
5．设函数 ,则 （ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【解析】
因为函数 定义域为 ，其关于原点对称，而 ，所以函数 为奇函数．
又因为函数 在 上单调递增，在 上单调递增，
而 在 上单调递减，在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递增．
故选：A．
6．若函数 ，是定义在 上的减函数，则 的取值范围为（
）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
因为函数 是定义在 上的减函数，所以 ，解得 .
故选：A.
7．幂函数 在 上为增函数，则实数 的值为（ ）A．0 B．1 C．1或2 D．2
【答案】D
【解析】
因为函数 是幂函数，
所以 ，解得 或 ，
因为函数 在 上为增函数，
所以 ，即 ， ，
故选：D.
8．已知函数 ，则
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
【答案】A
【解析】
函数 的定义域为 ，且
即函数 是奇函
数，又 在 都是单调递增函数，故函数 在R上是增函数．
故选A.
9．下列函数 中，满足“对任意 ， ，当 时，都有
”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据题意可得，函数 在区间 单调递增，
对A，B，函数 在区间 单调递减，故A，B错误；
对D，函数 在区间 先增后减，故D错误；
故选：C.
10．已知关于 的方程 有两个不等实根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意,画出 的图像如下图所示:由图像可知,若方程 有两个不等实根
则函数图像在 轴左侧的最大值大于等于1即可
所以
即
故选:D
11．一元二次方程 的两根均大于2，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
关于x的一元二次方程 的两根均大于2，则 ,
解得 .
故选C.
12．设奇函数 在 上是减函数，且 ，若不等式 对所有
的 都成立，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
因为奇函数 在 上是减函数，且 ，
所以 ，
若不等式 对所有的 都成立，
则 ，解可得 ，
故选：B
二．填空题（共6小题）13．设函数 ，则 ________.
【答案】
【解析】
当 时，
又
故答案为： .
14．已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为__________
【答案】
【解析】解： 正实数 ， 满足 ， ，可得 .
则
.
令 ， .即有 ，
又函数 在 上单调递减， .
故答案为： .
15．函数 为定义在 上的奇函数，且满足 ，若 ，则
__________．
【答案】3
【解析】
， ，又 为奇函数，
是周期为 的周期函数，是定义在 上的奇函数， ，
，
.
故答案为：3．
16．设偶函数 满足 ，则满足 的实数 的取值范
围为________．
【答案】
【解析】
∵偶函数 满足 ，
函数 在 上为增函数，且 ，
∴不等式 等价为 ，
，即 或 ，解得 或 ．
故答案为： .
17．已知函数 是幂函数，且该函数是偶函数，则 的值是
____
【答案】1【解析】
∵函数 是幂函数，
∴ ，解得 或 ，
又∵该函数是偶函数，
当 时，函数 是奇函数，
当 时，函数 是偶函数，
即 的值是1，
故答案为1.
18．函数 零点的个数为_____________.
【答案】2
【解析】
函数 零点的个数，即方程 实
数根的个数.
由 ，即 或
由 得 或 .
由 无实数根.
所以函数 的零点有2个.故答案为：2
三．解析题（共6小题）
19．已知函数 ，试解答下列问题：
（1）求 的值；
（2）求方程 = 的解．
【答案】（1） ；（2） 或
【解析】
解：（1） 函数 ，所以
所以
（2）当 时，即 ，解得 或 （舍去）；
当 时，即 ，解得 ；
综上所述， 或 ．
20．（1）已知 是一次函数，且 ，求 的解析式；（2）已知函数 ，求 的解析式．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
解：（1）因为 是一次函数，所以可设
则 ，
所以 ，解得 ，
所以 ．
（2）令 ，则 ．
因为 ，所以
．
故 ．
【点睛】
本题主要考查待定系数法求函数解析式，换元法求函数解析式，属于常考题型.
21．函数 对任意的 都有 ,并且 时，恒有
.(1).求证： 在R上是增函数；
(2).若 解不等式
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】
(1).设 ,且 ,则 ,所以
即 ,所以 是R上的增函数.
(2).因为 ,不妨设 ,所以 ,即 ，
，所以 .
，因为 在R上为增函数，所以 得到 ,
即 .
22．已知定义在 上的奇函数 ，当 时， .
（1）当 时，解方程 ；
（2）求 在区间 上的解析式.【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1） 或 （舍）或
（舍）；
故当 时，方程 无解，即解集为 .
（2）由题意知： ；
当 时，
综上所述， .
23．已知幂函数 的图像过点 .
（1）求函数 的解析式；
（2）设函数 在 是单调函数，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）因为 的图像过点 ，
所以 ，则 ，
所以函数 的解析式为： ；
（2）由（1）得 ，
所以函数 的对称轴为 ，
若函数 在 是单调函数，
则 或 ，
即 或 ，
所以实数 的取值范围为 .
24．暑假期间，某旅行社为吸引中学生去某基地参加夏令营，推出如下收费标准：若夏令
营人数不超过30，则每位同学需交费用600元；若夏令营人数超过30，则营员每多1人，
每人交费额减少10元（即：营员31人时，每人交费590元，营员32人时，每人交费580
元，以此类推），直到达到满额70人为止.
（1）写出夏令营每位同学需交费用 （单位：元）与夏令营人数 之间的函数关系式；
（2）当夏令营人数为多少时，旅行社可以获得最大收入？最大收入是多少？
【答案】（1） （2）当人数为45人时，最大收入为
20250元【解析】
（1）由题意可知每人需交费 关于人数 的函数：
（2）旅行社收入为 ，则 ，
即 ，
当 时， 为增函数，
所以 ，
当 时， 为开口向下的二次函数，
对称轴 ，所以在对称轴处取得最大值， .
综上所述：当人数为45人时，最大收入为20250元.
