四川省成都市成华区某校2024届高三下学期三诊试题数学（理）含答案(1)_2024年5月_025月合集_2024届四川成都列五中学高三下学期三诊

高三三诊模拟考试数理
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1．已知集合A{x|x2 2x3„0}，B{x|3x1 1}，则AB( )
A．(1，1] B．[1，3] C．(1，3] D．[3，)
2．某圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( )
A． B． 2 C． 3 D．2
1 
3．若角的终边位于第二象限，且sin ，则sin( )( )
2 2
1 1 3 3
A． B． C． D．
2 2 2 2
4．若复数z满足|z2|1，则|z|的最小值为( )
A．0 B．1 C． 3 D．2
5．14C同位素测年法最早由美国学者Willard Frank Libby 在1940年提出并试验成功，它是利用
宇宙射线在大气中产生的14C放射性和衰变原理来检测埋在地下的动植物的死亡年代，当动植物被
埋地下后，体内的碳循环就会停止，只进行放射性衰变．经研究发现，动植物死亡后的时间n（单
P
位：年）与死亡n年后14C的含量P 满足关系式nlg25730lg 0（其中动植物体内初始14C的含量为
n P
n
P)．现在某古代祭祀坑中检测出一样本中14C的含量为原来的70%，可以推测该样本距今约（参考
0
数据：lg20.3，lg70.85)( )
A．2750年 B．2865年 C．3050年 D．3125年
  
6．在ABC 中，“|CACB||AB|”是“ACB是钝角”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．2023世界科幻大会在成都举办，主题场馆以自由、扩散、无界的未来建筑形象诠释科学与科幻
主题，提取古蜀文化中神秘“古蜀之眼（黄金面具）”融入“星云”屋顶造型，建筑首层围绕共享中庭
设置了剧场、主题展区及博物馆三大主题空间．现将4名志愿者安排到这三个主题空间进行志愿服
务，则每个主题空间都有志愿者的不同的安排方式有( )
A．6种 B．18种 C．24种 D．36种
8．已知一样本数据（如茎叶图所示）的中位数为12，若x，y均小于4，则该样本的方差最小时，
x，y的值分别为( )
高三数学试题（理科） 第 1页 共4页
{#{QQABBYKUoggAQIBAARhCUQGQCgIQkAEACKoGxBAIMAABSANABAA=}#}A．1，3 B．11，13 C．2，2 D．12，12
9．记S 为等比数列  a  的前n项和，若S 5，S 21S ，则S （ ）．
n n 4 6 2 8
A．85 B. 85 C.120 D. 120
x2 y2
10．已知F ，F 是双曲线E:  1(a0,b0)的左，右焦点，点M(x ，y )(y 0)是双曲线E
1 2 a2 b2 0 0 0
1
上的点，点C是 MFF 内切圆的圆心，若S S  S ，则双曲线E的渐近线为( )
1 2 CMF1 CMF2 2 CF1F2
△
A．y 3x0 B．x 3y0 C．2x 3y0 D．2y 3x0
11．已知三棱锥S  ABC的顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为36，AB 5，AC 2 5，
ACB30，则当三棱锥S  ABC的体积最大时，BS ( )
A．4 B．2 5 C．5 D． 30
1
12．已知a，b，c1,，且alna2，b lnb2ln2，csin1lnctan1，其中e是自然
2
对数的底数，则（ ）
A．abc B．bac C．acb D．b<c<a
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若抛物线y2 2px过点(1,2)，则该抛物线的焦点为 ．
14．曲线 f(x)excosxx在点(0， f(0))处的切线方程为 ．
1
15．在ABC 中，cosA ,AB7,BC 8，则BC边上的高为 ．
7
16．如图，在平行四边形ABCD中，DC 2AD 2AC4,AB4AF 4EC，且EF 交AC 于点G，
现沿折痕AC将ADC折起，直至满足条件DC  BC ，此时cosEGF  ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）

在ABC 中，A ,b 2，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求
3
（1）B的大小；
（2）ABC 的面积．
高三数学试题（理科） 第 2页 共4页
{#{QQABBYKUoggAQIBAARhCUQGQCgIQkAEACKoGxBAIMAABSANABAA=}#}条件①：b2  2aca2 c2；条件②：acosBbsinA．
18．（本小题满分12分）
灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠
为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，
该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命
内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示．以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频
率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X 表
示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯
珠数量．
（1）求X 的分布列；
（2）若满足P(X n)„0.6的n的最小值为n ，求n ；
0 0
（3）在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较nn 1与
0
nn 哪种方案更优．
0
19．（本小题满分12分）
如图，在三棱台ABCDEF 中，H 在AC 边上，平面ACFD平面ABC，ACD60，CH 2，
CD4，BC  3，BH BC．
（1）证明：EF BD；
3 3
（2）若AC 2DF 且ABC 的面积为 ，求CF 与平面ABD所成角的正弦
4
值．
20．（本小题满分12分）
x2 y2 x2 y2
已知椭圆C:  1(a0,b0)的长轴为双曲线  1的实轴，且椭圆C过点P(2,1)．
a2 b2 8 4
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点A，B是椭圆C上异于点P的两个不同的点，直线PA与PB的斜率均存在，分别记为k ，
1
高三数学试题（理科） 第 3页 共4页
{#{QQABBYKUoggAQIBAARhCUQGQCgIQkAEACKoGxBAIMAABSANABAA=}#}1
k ，且k k  ，当坐标原点O到直线AB的距离最大时，求直线AB的方程．
2 1 2 2
21．（本小题满分12分）
已知函数 f(x)lnxax1，其中实数aR．
（1）求证：函数 f(x)在(1， f (1))处的切线恒过定点，并求出该定点的坐标；
（2）若函数 f(x)有两个零点x ，x ，且x 2x ，求a的取值范围．
1 2 1 2
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 作答时，用2B铅
笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
22． 本小题满分 分 选修4-4：坐标系与参数方程
多样化的体育场地会为学生们提供更丰富的身体锻炼方式．现有一个标准的铅球场地如图，若
( 10 )
场地边界曲线M 分别由两段同心圆弧BC,AD和两条线段AB，CD四部分组成，在极坐标系Ox中，
7 7
AODBOC  ，A、O、B三点共线．A(20, )，点C在半径为1的圆上．
36 72
（1）分别写出组成边界曲线M 的两段圆弧和两条线段的极坐标方程；
（2）若需设置一个距边界曲线M 距离不小于1且关于极轴所在直线对称的矩形警示区域，如图，
求警示区域所围的最小面积．
7 7
注：sin 0.3,cos 0.95．
72 72
23． 本小题满分 分 选修4-5：不等式选讲
(
已知函数 f(x1)0|x)a||x1|，aR．
（1）当a2时，求不等式 f(x)„4；
1
（2）对任意m(0,3),关于x的不等式 f(x)m 2总有解，求实数a的取值范围．
m
高三数学试题（理科） 第 4页 共4页
{#{QQABBYKUoggAQIBAARhCUQGQCgIQkAEACKoGxBAIMAABSANABAA=}#}高三三诊模拟考试数理
参考答案
一、选择题： CBDBB CDCAA DB
3 3 1
二、填空题：13．(1,0)； 14．y2x1； 15． ； 16． ．
2 2
三、解答题
17．选择条件①：
b2  2aca2 c2
，
（1）由b2  2aca2 c2，得a2 c2 b2  2ac，
a2 c2 b2 2ac 2
所以cosB   ； ……………4分
2ac 2ac 2

又B(0,)，所以B ； ……………6分
4
a b bsinA
（2）由正弦定理知  ，所以a  3； ……………8分
sinA sinB sinB
3 2 1 2 6  2
所以sinC sin(AB)sinAcosBcosAsinB     ，……………10分
2 2 2 2 4
1 1 6  2 3 3
所以ABC 的面积为S  absinC   3 2  ． ……………12分
ABC 2 2 4 4
选择条件②：acosBbsinA．
a b
（1）由正弦定理得  ，所以asinBbsinA；
sinA sinB
又acosBbsinA，所以sinBcosB，所以tanB1； ……………4分

又B(0,)，所以B ； ……………6分
4
a b bsinA
（2）由正弦定理知  ，所以a  3； ……………8分
sinA sinB sinB
3 2 1 2 6  2
所以sinC sin(AB)sinAcosBcosAsinB     ， ……………10分
2 2 2 2 4
1 1 6  2 3 3
所以ABC 的面积为S  absinC   3 2  ． ……………12分
ABC 2 2 4 4
18．（1）设表示1条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，
则P(5)P(7)P(8)0.2 ，P(6)0.4，
X 的取值范围是{10，11，12，13，14，15，16}， ……………1分
P(X 10)0.20.20.04，
P(X 11)20.20.40.16 ，
P(X 12)0.42 20.20.20.24，
P(X 13)2(0.20.20.20.4)0.24 ，
P(X 14)0.22 20.40.20.2，
P(X 15)20.20.20.08，
P(X 16)0.20.20.04， ……………5分
X 的分布列为
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1 4
{#{QQABBYKUoggAQIBAARhCUQGQCgIQkAEACKoGxBAIMAABSANABAA=}#}X 10 11 12 13 14 15 16
P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04
……………6分
（2）由（1）可知P(X 12)0.8，P(X 13)0.56，故n 13． ……………8分
0
（3）由（2）可知nn 112，在灯带安全使用寿命期内，
0
当n12时，设购买替换灯珠所需总费用为u元，
当n13时，设购买替换灯珠所需总费用为v元，
则E(u)240.2440.280.08120.041628.16 ， ……………10分
E(v)260.240.0880.041227.92 ， ……………11分
E(v)E(u)，故以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，nn 比n 1的方案更优. ………12分
0 0
19．（1）证明： ACD60，CH 2，CD4，
1 CD2 CH2 DH2
由余弦定理得cosACD  ，解得DH 2 3，
2 2CDCH
所以CD2 CH2 DH2，所以DH  AC，

又因为平面ACFD平面ABC，平面ACFD 平面ABC  AC ，DH 平面ACFD，
所以DH 平面ABC， ……………2分
因为BC平面ABC，所以DH BC，
又因为BH BC ，BHDH H ，BH 平面BDH ，DH 平面BDH ，所以BC 平面BDH ，.....3分
因为DB平面BDH ，所以BC DB ， ……………4分
又因为BC //EF ，所以EF DB； ……………5分
（2）在RtBHC中，CH 2，BC  3，BH BC ，
BC 3
所以BC CH2 BC2 1，cosACB  ，所以ACB30，
CH 2
3 3 3 3 1
因为S  ，又S   ACBCsin30，解得AC 3，
ABC 4 ABC 4 2
则AC 3 AH HC，所以AH 1， ……………7分
 
由（1）知DH 平面ABC，则以H 为原点，HC，HD 的方向为y，z轴，建立如图所示的空间直角坐
3 1 3
标系，则A(0，1，0)，B( , ,0)，D(0,0,2 3)，C(0，2，0)，F(0, ,2 3)，
2 2 2
 3 3   1
所以AB( , ,0)，AD(0,1,2 3)，CF (0, ,2 3)，
2 2 2
   3 3
 nAB x y0
设平面ABD法向量为n(x,y,z)，则 2 2 ，
 
nAD y2 3z0

令y2 3，得平面ABD的一个法向量为n(6,2 3,1)， ……………10分
 
  |CFn| 3 3 6 3
设CF 与平面ABD所成角为，则sin|cosCF,n|     ，
|CF||n| 7 49
7
2
6 3
所以CF 与平面ABD所成角的正弦值为 ． ……………12分
49
第 页，共 页
2 4
{#{QQABBYKUoggAQIBAARhCUQGQCgIQkAEACKoGxBAIMAABSANABAA=}#}2a4 2,
 a2 2 x2 y2
20．（1）由题意，知
4 1
解得 ，所以椭圆C的标准方程为  1．......……4分
  1, b2 2 8 2
a2 b2
（2）①当直线AB的斜率存在时，设其方程为ykxt，A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
x2 4y2 8
联立 ，得(4k2 1)x2 8ktx4t2 80，
ykxt
 8kt  2t
x x  y  y 
  1 2 4k2 1   1 2 4k2 1
由韦达定理得 ，所以 ， ……………6分

4t2 8

t2 8k2
xx  y y 
 1 2 4k2 1  1 2 4k2 1
y 1 y 1 y y (y  y )1 t2 2t4k2 1 (t1)2 4k2 t12k 1
因为k k  1  2  1 2 1 2     ，
1 2 x 2 x 2 xx 2(x x )4 4t216kt16k24 4(t2k)24 4(t2k1) 2
1 2 1 2 1 2
2k1 2k1
所以3t2k10，即t  ，所以直线AB的方程为ykx ，即(3x2)k(3y1)0，
3 3
 2
x
3x20   3 2 1
由 ，得 ，故直线AB恒过点M( , )； ……………9分
3y10  y 1 3 3
 3
②当直线AB的斜率不存在时，设A(x ，y )，则B(x ，y )，
0 0 0 0
y 1 y 1 1y2 x 2 1 2
所以k k  0  0  0  0  ，解得x  ，
1 2 x 2 x 2 (x 2)2 4(x 2) 2 0 3
0 0 0 0
2 1
所以此时直线AB也过点M( , )， ……………10分
3 3
2 1
因为点M( , )在椭圆C的内部，所以当直线AB垂直于OM 时，坐标原点O到直线A 的距离最大，此
3 3
时直线AB的方程为6x3y50． ……………12分
1
21．（1）证明：因为 f(x)lnxax1，所以 f(x) a，所以 f(1)1a，又 f(1)1a，
x
所以切线方程为y(la)(1a)(x1) ，即y(1a)x，
则当x0时y0，所以切线恒过定点(0,0)； ……………4分
1 1ax
（2）解：因为 f(x)lnxax1的定义域为(0,)，所以 f(x) a ，……………5分
x x
当a„0时， f(x)0恒成立，所以 f(x)在(0,)上单调递增，故 f(x)不可能有两个零点，故舍去；
1 1
当a0肘，令 f(x)0，解得0 x ，令 f(x)0，解得x ，
a a
1 1 1 1
所以 f(x)在(0, )上单调递增，在( ，)上单调递减，所以 f(x)  f( )ln ，
a a max a a
1 1
要使 f(x)有两个零点，则 f(x)  f( )ln 0，解得0al ， ……………7分
max a a
1 1 1 a 4 4 4 2 4 2
又 f( )ln a 1 0， f( )ln  1  11 0 ，
e e e e a2 a2 a a a a
1 1 1 4
所以当0a1时， f(x)在( ， )和( ， )上各有一个零点x ，x 且x x ，
e a a a2 2 1 1 2
第 页，共 页
3 4
{#{QQABBYKUoggAQIBAARhCUQGQCgIQkAEACKoGxBAIMAABSANABAA=}#}lnx ax 10
所以 1 1 ，由 f(x)单调性知，当x(x ，x )时， f(x)0，当x(x ，)时 f(x)0，
lnx ax 10 2 1 1
2 2
因为x 2x  x ，所以 f(2x )0，即ln(2x )a2x 1lnx ax l ，
2 2 1 2 2 2 2 2
2 lnx 1 lnx1 2
所以ax ln2，而ax lnx 1ln2，所以0 x  ，所以a 2 ，令h(x) ，x(0, )，
2 2 2 2 e x x e
2
1lnx1 lnx 2
则h(x)  0 ，所以h(x)在(0, )上单调递增，
x2 x2 e
2 ln2 eln2 eln2
所以h(x)h( )  ，所以a(0, )． ……………12分
e 2 2 2
e
22．（1）由题以O为原点，AD的垂直平分线为极轴建立极坐标系，
1 7
线段AB: AOD (1„  „20)；
2 72
7 137
线段CD:2  (1„  „20)；
72 72
7 137
弧BC:1(0„  „ , „ 2) ；
72 72
7 137
弧AD:20(0„  „ , „ 2) ． ……………6分
72 72
（2）求警示区域最小值即让内界线到M 距离恰好为1，矩形长设为l，l 1112023（包括弧长半
径、圆半径、两边距距离）；
7 7
宽为d，d 20sin 6,d 20sin 6．
1 72 2 72
d d d 1114，
1 2
则S ld 1423332． ……………10分
23．（1）由已知，不等式 f(x)„4即为|x2||x1|„4，
x„ 2, 2„x„1, x1,
则 或 或
(x2)(x1)„4, x2(x1)„4, x2x1„4,
5 3
解得 „x„ 2或2x„1或1 x„ ，
2 2
5 3
故不等式的解集为[ ， ]． ……………5分
2 2
1 1
（2）对任意m(0,3)．关于x的不等式 f(x)m 2总有解 f(x) (m 2) ，
m min m min
1 1 1
而ym 2 2 m 24，当且仅当m ，即m1时取得最小值．
m m m
又 f(x) )|(xa)(x1)||a1| （当且仅当(xa)(x1)„0时取等号），
故只需
|a1|4
，解得
5a3
，即实数a的取值范围为
(5,3)
．……………10分
第 页，共 页
4 4
{#{QQABBYKUoggAQIBAARhCUQGQCgIQkAEACKoGxBAIMAABSANABAA=}#}