成都市第七中学 2024 届高三下学期热身考试
数学(理)
本试卷分第 1 卷 (选择题) 和第 11 卷 (非选择题) 两部分, 共 150 分, 考试时间 120 分钟.
第 1 卷
一、选择题(本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有 一
项是符合题目要求的)
1. 设全集 U={x∈N∣x≤7} ,集合 M、N 满足 M={3,7} , (C M)∩N={4,5} ,则
U
{0,1,2,6}= （ ）
A. M∪(∁ N) B. (∁ M)∪(∁ N) C. M∩(∁ N)
U U U U
D. (∁ M)∩(∁ N)
U U
2. 设向量 ⃗a , ⃗b 满足 (⃗a−⃗b)⊥(⃗a+2⃗b) ,且 2|⃗a)=3|⃗b)≠0 ,则 cos<⃗a,⃗b>=（ ）
1 3 1 3
A. − B. − C. D.
6 8 6 8
{1−y≤0,
)
3. 设 x,y 满足约束条件 x−y≤0, 则 z=x+5 y 的最小值为 （ ）
x+ y≥−1,
A . 3 B . 6 C. -3 D . -6
4. 一个多面体的三视图如右, 图中所示外轮廓都是边长为 1 的正方形
则该多面体的体积为（ ）
1 2 1 5
A. B. C. D.
3 3 6 6
5. 函数 y=32x 与 y=31−2x 的图象 （ ）
A . 关于 x=2 对称 B. 关于 x=1 对称
学科网（北京）股份有限公司1 1
C. 关于 x= 对称 D. 关于 x= 对称
2 4
6. 设点 A(2,3) ,动点 P 在抛物线 C:y2=4x 上,记 P 到直线 x=−2 的距离为 d ,则 |AP)+d 的
最小值为（ ）
A . 1 B . 3 C. ❑√10−1 D. ❑√10+1
7. 圆 O :x2+ y2+2x+8 y−8=0 与圆 O :x2+ y2−4x−4 y−2=0 的位置关系为 （
1 2
）
A. 外切 B. 相交 C . 内切 D．
相离
8.下列说法中，正确的为（ ）
A . 在研究数据的离散程度时，一组数据中添加新数据，其极差与标准差都可能变小
B. 在研究变量间的相关关系时，两个变量的相关系数越小，则两者的线性相关程度越弱
C. 在实施独立性检验时,显著增加分类变量的样本容量,随机变量 K2 的观测值 k 会减小
D . 在回归分析中，模型样本数据的 R2 值越大，其残差平方和就越小，拟合效果就越好
9. 已知圆锥 PO 的母线长为 3,表面积为 4π , O 为底面圆心, AB 为底面圆直径, C 为底面 圆
周上一点， ∠BOC=60∘ ， M 为 PB 中点，则 △MOC 的面积为（ ）
❑√35 5 ❑√35 5
A . B. C. D.
4 4 8 8
10. 内切球半径为 1 的正四棱台其上、下底面边长可能分别为（ ）
A . 1 , 3 B . 1 , 4 C. ❑√2,3❑√2 D.
❑√2,4❑√2
2 (π 3π)
11. 设函数 f (x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π) ,则 “ 0<ω< “是” f (x) 在 , 上单调递增
3 6 4
“的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
12. 双曲线 C 的两个焦点为 F 、F ,对称中心为 O ,在 C 的一条渐近线上取一点 M ,使得
1 2
|OM) 等于 C 的半实轴长，当 △M F F 的最小角取最大值时， C 的离心率为 （
1 2
）
A. ❑√2 B. ❑√3 C. 2 D. ❑√5
学科网（北京）股份有限公司第 11 卷
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
2
|z)
13. 设 z=2−i ，则 的虚部为___________
z2
14. (4x−3 y)(2x+ y) 5 的展开式中 x3y3 的系数为___________
1
15. 在 △ABC 中，已知 BC=1,AC=2,cosC= ,则 sin2A=___________
4
16. 曲线 y=lnx 上有相异三点到点 M(3,t) 的距离相同，则 t 的取值范围为__________
三、解答题(共 70 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17 21 题为必考 题，
每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答
17. (12 分) 记数列 {a ) 的前 n 项和为 S ,已知 2S =n2+a +a −1 .
n n n n 1
(1) 若 a ≠1 ,证明: {a −n) 是等比数列;
1 n
1
(2)若 a 是 a 和 a 的等差中项,设 b = ,求数列 {b ) 的前 n 项和为 T .
2 1 3 n a a n n
n n+2
18. (12 分) “绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚 . 甲、乙、丙
三 人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划 6 月 1 日选择“共享单车”或“地铁”两种
1
出行 方式中的一种. 他们之间的出行互不影响,其中,甲选择“共享单车”的概率为 ,乙选择
2
2 3
“共享单车”的概率为 ,丙选择“共享单车”的概率为 .
3 4
(1)若有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率；
(2)记甲、乙、丙三人中选择“共享单车”出行的人数为 X ，求 X 的分布列与数学期望
19. (12 分)如图,三棱柱 ABC−A B C 所有棱长都为 2,∠B BC=60∘,D 为 A C 与 AC 交
1 1 1 1 1 1
点 (1)证明: 平面 BCD⊥ 平面 AB C ;
1 1
❑√13
(2)若 DB = ,求二面角 A −CB −C 的余弦值.
1 2 1 1 1
学科网（北京）股份有限公司x2
20. (12 分)已知椭圆 C : + y2=1 与抛物线 C :y=ax2−2 有四个公共点 A、B、C、D 分
1 2 2
别位于第一、二、三、四象限内.
(1)求实数 a 的取值范围；
(2)直线 AC、AD 与 y 轴分别交于 M、N 两点，求 |MN) 的取值集合
(x) ex+1
21. (12 分) (1)讨论函数 f (x)=tan ⋅ 在区间 (0,π) 内的单调性;
2 ex−1
(2)存在 x ,x ∈(0,π) ,满足 x <x ,且 ex 1sinx =ex 2sinx ,
1 2 1 2 2 1
i)证明: x +x <π ;
1 2
π 2π
ii) 若 x <x + ,证明: x +x < . (参考数据: 4.8<❑√eπ<4.9 )
2 1 2 1 2 3
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分
22.(10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的
( π)( 3π) ( 1)
极坐 标方程为 ρ=❑√2cos θ− 0≤θ≤ ,已知 M 1, ,动直线 l 的参数方程为
4 4 2
{x=1+tcosα,
) π
1 ( t 为参数, 0≤α< ).
y= +tsinα 2
2
(1)写出 C 在直角坐标系下的普通方程；
(2)若直线 l 与曲线 C 有两个公共点 A 和 B ，线段 AB 上一点 K 满足 |KM) 2=|AM)⋅|BM)
，以 α 为参数写出 K 轨迹的参数方程.
23.(10 分)选修 4-5：不等式选讲
已知 a,b,c>0 ，且 a+b+c=abc2 .
学科网（北京）股份有限公司(1)求 abc2 的最小值 m ；
(2)证明: mabc+(a+b)c2≥m2 .
数学(理)参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D A A D D D B D C B B B
5. 提示：曲线 y=32x 关于 x=a 的对称曲线为 y=32(2a−x) ，即 y=34a−2x ，与 y=31−2x 对比
1
系数 可知 4a=1 ，故 a= .
4
10.提示: 如图,设上、下底面边长分别为 a,b ,内切球半径为 r ,过内切球球心作轴截面,利 用
a b
射影定理，可得 ⋅ =r2 ,即 ab=4 ,B 选项满足题设.
2 2
(π 3π) 3π π 7π 1 2π 12
11. 提示：对于 f (x) 在 , 上单调递增,可得 − = ≤ ⋅ ,即 ω≤ ,有
6 4 4 6 12 2 ω 7
π 2π 3π π π 3π π
0<ω +φ< +π< ，结合单调性，可知 0<ω +φ< ，仅需限定 ω +φ≤ ，又
6 7 2 6 2 4 2
2 π 2
考虑 φ>0 ，则有 0<ω< ，故满足 “必要条件 “ ; 但当 ≤φ<π 时，对于 0<ω< ，
3 2 3
3π π
ω +φ≤ 无法成立,故不满足"充分条件".
4 2
学科网（北京）股份有限公司a2 ab
12. 提示: 如图,设 △M F F 的最小角为 θ ,利用特征 Rt △MOF 可知 OH= ,MH= , 其
1 2 2 c c
ab
c ab ab ❑√2
中 H 为垂足,则有 tanθ= = ≤ = ,取等条件为 2a2=b2 ,故 e=❑√3
a2 2a2+b2 2❑√2ab 4
c+
c
二、填空题
4 7❑√15 5
13. 14. -80 15. 16. −2<t<− −ln2
5 32 4
16.提示: 设相异三点到 M 的距离为 d ,可知函数 f (x)=(x−3) 2+(lnx−t) 2−d2 至少有 3 个 零
(x−3)x+lnx−t 1
点, f′(x)=2 ,令 g(x)=(x−3)x+lnx−t,g′(x)=2x−3+ ,g′(x) 在
x x
( 1) (1 )
0, , ,1 ,(1,+∞) 符号正负正， g(x) 对应增减增，为满足题设， g(x) 符号必须负正负
2 2
(1) 5
正，即 g g(1)<0 ,此时 −2<t<− −ln2 ,这样才有 f (x) 减增减增,其图象为 W 型, f (x) 有
2 4
3 或 4 个零点.
三、解答题
17. 解: (1) 对 2S =n2+a +a −1 ①,当 n≥2 时,有 2S =(n−1) 2+a +a −1 ②,
n n 1 n−1 n−1 1
①-②: 2(S −S )=2n−1+a −a ,即 2a =2n−1+a −a , （2 分）
n n−1 n n−1 n n n−1
经整理,可得 a −n=(−1)[a −(n−1)) , (4 分)
n n−1
故 {a −n) 是以 a −1(≠0) 为首项、 -1 为公比的等比数列. （5 分）
n 1
(2)由(1)知 a −n=(−1) n−1 (a −1) ,有 a =3−a ,a =a +2 ,
n 1 2 1 3 1
题设知 2a =a +a ,即 2(3−a )=a +(a +2) ,则 a =1 ,故 a =n (7 分)
2 1 3 1 1 1 1 n
1 1 1(1 1 )
而 b = = = − , （9 分）
n a a n(n+2) 2 n n+2
n n+2
学科网（北京）股份有限公司1(1 1 1 1 1 1 1 1 )
T =b +b +⋯+b +b = − + − +⋯+ − + −
n 1 2 n−1 n 2 1 3 2 4 n−1 n+1 n n+2
1(1 1 1 1 )
T = + − −
n 2 1 2 n+1 n+2
3 1( 1 1 )
故 T = − + （12 分）
n 4 2 n+1 n+2
18. 解：(1) 记甲、乙、丙三人选择“共享单车”出行分别为事件 A,B,C ，记三人中恰有两
人 选择“共享单车”出行为事件 D ,
1 2 1 1 1 3 1 2 3 11
则 P(D)=P(ABC´ )+P(AB´ C)+P(A´ BC)= × × + × × + × × = .
2 3 4 2 3 4 2 3 4 24
1 2 3 1 1 3 3
又 P(CD)=P(A´ BC)+P(AB´ C)= × × + × × = , （3 分）
2 3 4 2 3 4 8
3
P(CD) 8 9
所以 P(C∣D)= = = ,
P(D) 11 11
24
9
即若有两人选择“共享单车”出行，丙选择“共享单车”的概率为 （5 分）
11
（2）由题意可知, X 的所有可能取值为 0,1,2,3 ,
1 1 1 1
则 P(X=0)=P(ABC)= × × = ,
2 3 4 24
1 1 1 1 2 1 1 1 3 1
P(X=1)=P(AB´ C´ )+P(A´ BC´ )+P(A´ B´ C)= × × + × × + × × = ,
2 3 4 2 3 4 2 3 4 4
11
P(X=2)=P(D)= ,
24
1 2 3 1
P(X=3)=P(ABC)= × × = , (9 分)
2 3 4 4
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 1 1 11 1
24 4 24 4
1 1 11 1 23
故 E(X)=0× +1× +2× +3× = ,
24 4 24 4 12
学科网（北京）股份有限公司23
即 X 的数学期望为 . （12 分）
12
19. 解：(1) 取 BC 中点 O ,取 AB 中点 E ,连接 DE,BE ,
1
OE ,因为三棱柱 ABC−A B C 所有棱长都为 2,∠B BC=60∘ , 有
1 1 1 1
AO=B O=❑√3,AB=BB ,E 为 AB 的中点, BCDE 四点 共面,所以 OE⊥AB ,且
1 1 1 1
BE⊥AB ,BE,BE,OE⊂ 平面 BCD,OE∩BE=E ,即 AB ⊥ 平面 BCD ,又 AB ⊂ 平面
1 1 1
AB C ,故平面 BCD⊥ 平面 AB C （5 分）
1 1 1 1
（2）因为 BC//B C ,所以 B C ⊥ 平面 AOB ,AB ⊂ 平面 AOB ,所以 B C ⊥AB ,所
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
以 △AB C 为直角三角形,所以 AC =2DB =❑√13 ,所以
1 1 1 1
3+3−9 1
AB =❑√AC2−B C2=3 ,在 △AOB 中, cos∠AOB = =− . （6 分）
1 1 1 1 1 1 2×3 2
以 O 为原点，作 Oz⊥ 平面 BCC B ，以 ⃗OB,⃗OB ,⃗Oz 方向为 x,y,z 轴正方向，建立空
1 1 1
( ❑√3 3)
间直角坐标系，如图所示，则 C(−1,0,0) ， B (0,❑√3,0)，C (−2,❑√3,0)，A 0,− ,
1 1 2 2
( ❑√3 3) ( ❑√3 3)
，由 ⃗A A =⃗CC ,所以 A −1, , ,所以 ⃗C A = 0, , ,⃗CB =(1,❑√3,0) ,
1 1 1 2 2 1 2 2 1
{⃗CB ⋅⃗n=0) { x+❑√3 y=0 )
设平面 A CB 的一个法向量为 ⃗n=(x,y,z) ,则 1 ,即 ❑√3 3 ,
1 1 ⃗C A ⋅⃗n=0 y+ z=0
1 2 2
令 z=1 ,解得 ⃗n=(3,−❑√3,1) ,所以平面 C CB 的一个法向量为 ⃗m=(0,0,1) （10 分）
1 1
记二面角 A −CB −C 的大小为 θ ,且 θ 为锐角,
1 1 1
|⃗m⋅⃗n) ❑√13
则 cosθ=|cos⃗m,⃗n)= = ,
|⃗m)⋅|⃗n) 13
❑√13
即二面角 A −CB −C 的平面角的余弦值为 （12 分）
1 1 1 13
学科网（北京）股份有限公司20. 解：(1)由椭圆 C 及抛物线 C 的对称性，知 A 与 B、C 与 D 关于 y 轴对称，设其纵
1 2
x2
坐标分 别为 y 、y ,联立 + y2=1 与 y=ax2−2 ,消 x ,得 2a y2+ y+2−2a=0 ①,
1 2 2
{
a>0,
)
其两根即 y 、y ,由题设知 1−a 解得 a>1 . （4 分）
1 2 y y = <0,
1 2 a
(2) 设直线 l:x=t(y−m) ,
若 l 表示 AC ,联立 x=t(y−m) 与 y=ax2−2 ,消 x ,得 at2y2−(2mat2+1)y+at2m2−2=0 (2)
1 2mat2+1
其两根也是 y 、y ,故方程①与②为同解方程,有 y + y =− = ,即
1 2 1 2 2a at2
1 2 1−a at2m2−2 1 2
− =4m+ ③,亦有 y y = = ,即 −1=m2− ④, (8 分)
a at2 1 2 a at2 a at2
③与④相加，可得 m2+4m+1=0 ，有 m =−2+❑√3,m =−2−❑√3
1 2
考虑到 M 在 C 内部,取 y =m ;
1 M 1
若 l 表示 AD ,且 N 在 C 外部,类上可得 y =m ,即 |MN)=|m −m )=2❑√3 ,
1 N 2 1 2
故 |MN) 的取值集合为 {2❑√3} . （12 分）
(亦可用 y 、y 以点参形式直接表示直线 AC 与 AD ,可得到 y −y =2❑√(y +2)(y +2)
1 2 M N 1 2
x
sin
1 1 ex+1 2 −2ex ex
21. 解: (1) f′(x)= ⋅ + ⋅ = (ex−e−x−2sinx)
2 cos2 x ex−1 cos x (ex−1) 2 2(ex−1) 2 cos2 x
2 2 2
令 g(x)=ex−e−x−2sinx ,有 g′(x)=ex+e−x−2cosx ,
而当 x∈(0,π),g′(x)>2❑√ex ⋅e−x−2⋅1=0 ,则 g(x) 单增,有 g(x)>g(0)=0
即 f′(x)>0 ，则 f (x) 在区间 (0,π) 内单调递增. (4 分)
sinx sinx sinx cosx−sinx
(2) i) 由 ex 1sinx =ex 2sinx ,可令得 1= 2=m ,设 ℎ (x)= −m,ℎ ′ (x)=
2 1 ex
1
ex
2
1 ex 1 ex
当 x∈ ( 0, π) 时, ℎ ′ (x)>0,ℎ (x) 单增; 当 x∈ (π ,π ) 时, ℎ ′ (x)<0,ℎ (x) 单减. 由题设知
4 1 1 4 1 1
ℎ (0)= ℎ (π)<0 ,且 ℎ (π) >0 ,则有 x ∈ ( 0, π) ,x ∈ (π ,π ) ,m∈ ( 0, ❑√2 e − π 4 ) .
1 1 1 4 1 4 2 4 2
π π π
若 x ≤ 时,则 x +x < + <π ; （6 分）
2 2 1 2 4 2
学科网（北京）股份有限公司sinx
若 x > π 时,设 ℎ 2 (x)= π −m ,易知其在 (0,π) 内有两零点 x∗ 和 x∗ ,其中 x∗∈ ( 0, π) ,
2 2 1 2 1 4
e4
sinx
x∗∈ (3π ,π ) ,而 ℎ (x) 关于 x= π 对称,且有 x∗+x∗=π . 由 π 在 ( 0, π) 单增,知
2 4 2 2 1 2 2
e4
sinx∗ sinx sinx sinx sinx∗ sinx sinx
m=
π
1 =
ex 1
1>
π
1
,有 x 1 <x∗ 1 ; 由 π 在
(π
2 ,π
)
单减,知
m=
π
2 =
ex 2
2<
π
2
, 有
e4 e4 e4 e4 e4
x <x∗ ,则 x +x <x∗+x∗ ,即 x +x <π . (8 分)
2 2 1 2 1 2 1 2
( π)
(证明亦可利用 f (x)>f (π−x),x∈ 0, )
4
(x +x x −x ) (x +x x −x )
ii) 由 ex 1sinx =ex 2sinx ,得 sin 1 2− 1 2 =ex 2 −x 1sin 1 2+ 1 2 ,利用正弦和 差角
2 1 2 2 2 2
x +x x −x ( x +x x −x )
公式,经过化切后得 tan 1 2−tan 1 2=ex 2 −x 1 tan 1 2+tan 1 2 ,
2 2 2 2
x +x x −x ex 2 −x 1+1
再整理可得 tan 2 1=tan 2 1 ⋅ , （10 分）
2 2 ex 2 −x 1−1
π
π x −x ex 2 −x 1+1 π e2+1
由题设知 0<x −x < ,利用（1）结论有 tan 2 1 ⋅ <tan ⋅ ,
2 1 2 2 ex 2 −x 1−1 4 π
e2−1
π
x +x e2+1 4.9+1 x +x π x +x π
则 tan 2 1< < <❑√3 ,由 i) 知 0< 1 2< ,即 1 2< ,
2 π 4.8−1 2 2 2 3
e2−1
2π
综上, x +x < . （12 分）
1 2 3
22. 解： (1) 由 ρ=cosθ+sinθ 得 ρ2=ρcosθ+ρsinθ ,即 x2+ y2=x+ y ,整理可得
( 1) 2 ( 1) 2 1 3π
x− + y− = ,而 0≤θ≤ ,图形分析可知 y≥0 ,
2 2 2 4
( 1) 2 ( 1) 2 1
故 C 在直角坐标系下的普通方程为 x− + y− = (y≥0) . (4 分)
2 2 2
(2) 将
{x=1
1
+tcosα,
) 代入 ( x− 1) 2 + ( y− 1) 2 = 1 ,消去 x,y ,整理得 t2+cosα⋅t− 1 =0 ,
y= +tsinα 2 2 2 4
2
学科网（北京）股份有限公司1
Δ=cos2α+1>0 ,考虑到 y≥0 ,由图形可知 0≤α<α ,α 为锐角且满足 tanα = ,由韦 达定理
0 0 0 2
1 1
及题设可知 t ❑ 2=|t )⋅|t )=|t t )= ,考虑点 K 在线段 AB 上, t =− ,则点 K 的坐 标为
K A B A B 4 K 2
( 1 )
1+t cosα, +t sinα , (8 分)
K 2 K
1
{x=1− cosα,)
2 1
故 K 轨迹的参数方程为 ( α 为参数, 0≤α<α ) ,其中锐角 α 满足 tanα = .
1 1 0 0 0 2
y= − sinα
2 2
（10 分）
c c √ c c √abc2
23. 解：(1) 由均值不等式可知 a+b+c=a+b+ + ≥4⋅ 4 a⋅b⋅ ⋅ ,即 abc2≥4 4 ,整
2 2 2 2 4
c
理得 abc2≥4 ,故 abc2 的最小值为 4,取最值条件为 a=b= =1 . (4 分)
2
1 1 1
(2) 由 (1) 知即证 4abc+(a+b)c2≥42 ,由 a+b+c=abc2 可得 + + =c ,即有
ab bc ac
4abc+(a+b)c2=(4ab+ac+bc)c=(4ab+ac+bc) ( 1 + 1 + 1 ) ,由柯西不等式可知
ab ac bc
2
(4ab+ac+bc) ( 1 + 1 + 1 ) ≥ ( ❑ √ 4ab⋅ 1 +❑ √ ac⋅ 1 +❑ √ bc⋅ 1 ) =(2+1+1) 2=42 ,取等条件为
ab ac bc ab ac bc
4ab ac bc
= = c
1 1 1 ,即 a=b= =1 . 故 4abc+(a+b)c2≥42 . （10 分）
2
ab bc bc
学科网（北京）股份有限公司
