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成都石室中学 2023-2024 年度下期高 2024 届三诊模拟
数学试题（理）参考答案
（总分：150分，时间：120分钟 ）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1.B【解析】由 可得： ， .又因为 ，
所以 或 .故选：B
2.C【解析】“ ”等价于“ ”，
所以
从而 ，显然A，B，C不共线，原条件等价于 是钝角.故选：C．
3. C【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，甲得分的极差为31， ，解得： ，A正确；
对于B，乙的平均数为 ，解得 ，B正确；
对于C，乙的数据为：12、25、26、26、31，其中位数是26，C错误；
对于D，甲的平均数 ，与乙的平均数相同，但根据茎叶图可得乙得分比较集
中，则乙得分的方差小于甲得分的方差，D正确；故选：C．
4.D【解析】因为 ，所以 ，共 项，
则 共 项，所以 比 共增加了 项，故选：
D
5. B【解析】由函数 ，
由此可作出 的函数图象，如图所示，
1
学科网（北京）股份有限公司对于A中，由 ，
所以 关于直线 不对称，所以A错误；
对于B中，由 ，所以B正确；
对于C中，由函数 图象可知， 不存在对称中心，所以C错误；
对于D中，因为 ， ， ，
所以函数 在 上不是单调递增函数，所以D错误.故选：B.
6. C【解析】 ，
而 ，故 ．故选：C．
7.D【解析】由 ，则 ，则 ， ，
依题意可得 且 、 、 ，所以 ，所以 ，
经验证，当 、 分别取 、 时 满足题意.故选：D
8.B【解析】将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个 底
面，且 两点重合，所以 与 相交， 故选：B
9. C【解析】设甲船到达泊位的时间为 ，乙船到达泊位的时间为 ，则 ，
2
学科网（北京）股份有限公司这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待，则 ，
画出不等式组 表示的平面区域，如图中的阴影部分，
，
则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为 .故选：C
10. D【解析】由于向量 ，且 ，则点 的轨迹为 ，
与双曲线其中一条渐行线 ，联立 ，得 ，同理得 ，
因此 .故选：D
11. C【详解】由圆 可得圆 的极坐标方程为 ，
化简得到 ，联立方程组 ，
得到方程 ，
则 ，即 ，故选：C.
3
学科网（北京）股份有限公司12.B【解析】画出不等式组 表示的平面区域，如图所示， ， ， ，
由 知 ，并可转化为 ，
设 ，根据可行域可知 ， ，
设 ，（ ），
则 ， ，
因为 ，所以 恒成立，则 单调递增，且 ，
所以令 ，得 ，则 在 时单调递减；令 ，得 ，则 在
时单调递增，又 ， ， ，
所以 ，所以 ，解得 ，故选：B.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13. 【解析】因为 ，所以 .故答案为：
.
14. 【解析】因为 是 的等差中项，所以 ，因为 是 ， 的等比中项，所以 ，
，所以 .故答案为： .
4
学科网（北京）股份有限公司15. 【解析】令 即可求出 ，
令 即可求出 ，
，
结合 ， ， ， ， 可猜想 .
下面用数学归纳法证明：
当 时，由上述知 成立.
假设当 时有 ，
则当 时，不妨设 ，
.
所以 成立，所以 .
故答案为： .
16. 【解析】由教材章头图知识知道，用平面截对接圆锥所得截面边缘曲线是圆锥曲线.对于本题，如图，
水面到达杯底（底面圆“最高处”）的瞬间，水面边缘曲线是椭圆 ，作纸杯（圆台）的与水面垂直的轴截面
，则 是椭圆的长轴， 是椭圆的短轴. 是圆台的轴线，作 于
，则
，
，
5
学科网（北京）股份有限公司记 与 的交点为 的中点为 ，则 ，
，
，
，
由实际情形知，点 在圆台的过轴线 的中点 且与轴线垂直的截面圆上， .
由垂径定理知 垂直平分 ， ，
记椭圆的离心率为 ，长半轴长､短半轴长､半焦距为 ，
则 .故答案为： .
三、解答题（本题共6道小题，共70分）
17.(1) (2)
【解析】（1）因为C点关于直线BD的对称点在直线AD上，
所以DB平分 ，所以 ，因为 ，所以 ，BC=CD，
所以 ‖ ，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，……3分
所以 ．……6分
（2）因为在 中，由正弦定理得 ,
所以 ， ，
6
学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 ，……9分
在 中，由余弦定理得，
．……12分
18.(1) ；(2)分布列见解析， ；(3)
【解析】（1）依题意可得 ，解得 ；……2分
（2）由（1）可得高度在 和 的频率分别为 和 ，所以分层抽取的5株中，高度在
和 的株数分别为2和3，所以 可取0，1，2. ……4分
所以 ， ， ……6分
所以 的分布列为：
所以 ……8分
(3)从所有花卉中随机抽取 株，记至少有 株高度在 为事件 ，至多 株高度低于 为事件 ，
则 ， ，……10分
7
学科网（北京）股份有限公司所以 .……12分
19. 【解析】（1）函数 的定义域为 ，求导得 ，
当 时， 恒成立， 在 上单调递减，……2分
当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
即函数 在 上单调递减，在 上单调递增，……5分
所以当 时，函数 在 上单调递减，
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增. ……6分
（2）函数 的定义域为 ，求导得 ，
由 是 的极值点，得 ，即 ，……7分
，
而 ，则当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
所以当 时， 取得极小值. ……8分
设 ，求导得 ，
当 时， ，当 时， ，则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
因此 ，所以 .……12分
20.（1）证明见解析；（2） .
8
学科网（北京）股份有限公司【解析】（1）如图，平移线段 使得 与 重合，并将四面体 补成一个斜三棱柱.
则该斜棱柱的底面积 ，高 ，所以该斜棱柱的体积为定值. …….2分
此斜棱柱恰好可以分为两两底面积相同，高相同的三个三棱锥.
于是这三个三棱锥的体积都相等，都是斜棱柱的 .
所以四面体 的体积为 ，是定值. …….5分
（2）设球心是 ，并设 与平面 ，平面 的距离分别是 ， .
由 可知， 在 ， 的中垂面和 ， 的中垂面的交线上.
设 的中点是 ， 的中点是 .则由勾股定理得 .
注意到 ，所以 ， ， 共线，
且 平面 . …….8分
因为 ，且 ， 与平面 的夹角均为 ，所以 .
而 、 、 、 、 均在球 上，所以 在以 点为圆心、以 为直径的
圆上(除去 、 两点).所以 .…….10分
于是 ， ，所以 .…….12分
21.【解析】（1）由题意，得 且 ，又 ，
解得 ，所以椭圆 的标准方程为 . ……4分
9
学科网（北京）股份有限公司（2）设切线 的方程为 ，切线 的方程为 ，“环绕圆”的圆心D为 .
由“环绕圆”的定义，可得“环绕圆”的半径为1，所以“环绕圆”的标准方程为 .
因为直线 与“环绕圆”相切，则由点到直线的距离公式可得： ，……6分
化简得 .
同理可得 .
所以 是方程 的两个不相等的实数根，
所以 . ……8分
又因为“环绕圆”的圆心 在椭圆 上，所以代入椭圆方程 中，
可得 ，解得 .
所以 .……10分
又因为 且 ，所以 或 .
所以 或 ，所以 或 ，
所以 或 .
所以 的取值范围是 .……12分
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
10
学科网（北京）股份有限公司22. 【解析】（1）因为直线 的参数方程为 ，曲线 的极坐标方程为 ，
消去参数，直线 的普通方程为 ， ……2分
曲线 的普通方程为： ，所以 的参数方程为 （ 为参数）. ……4分
（2）由（1）有： 的参数方程为 （ 为参数），
由题意知，曲线 的参数方程为 （ 为参数），……6分
所以可设点 ，又直线 的普通方程为 ，
故点 到直线 的距离为： ，……8分
所以当 时， ，即点 到直线 的距离的最小值为 .……10分
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．【解析】（1）由 得： ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
综上，不等式的解集为 .……4分
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学科网（北京）股份有限公司（2）证明： ，
因为 ， ，即 ， ，……6分
所以 ，
所以 ，即 ，所以原不等式成立. ……10分
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