成都市第七中学 2024 届高三下学期热身考试
数学(理)
本试卷分第 1 卷 (选择题) 和第 11 卷 (非选择题) 两部分, 共 150 分, 考试时间 120 分钟.
第 1 卷
一、选择题(本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有 一
项是符合题目要求的)
1. 设全集 U={x∈N∣x≤7} ,集合 M、N 满足 M={3,7} , ( C M )∩N={4,5} ,则 {0,1,2,6}=
U
（ ）
A. M∪(
∁ N
) B. (
∁ M
)∪(
∁ N
) C. M∩(
∁ N
) D. (
∁ M
)∩(
∁ N
)
U U U U U U
2. 设向量 a , b 满足 (a−b)⊥(a+2b) ,且 2|a|=3|b|≠0 ,则 cos<a,b>=（ ）
1 3 1 3
A. − B. − C. D.
6 8 6 8
1−y≤0,
3. 设 x,y 满足约束条件 x−y≤0, 则 z=x+5y 的最小值为 （ ）
x+y≥−1,
A . 3 B . 6 C. -3 D . -6
4. 一个多面体的三视图如右, 图中所示外轮廓都是边长为 1 的正方形
则该多面体的体积为（ ）
1 2 1 5
A. B. C. D.
3 3 6 6
5. 函数 y=3 2x 与 y=3 1−2x 的图象 （ ）
A . 关于 x=2 对称 B. 关于 x=1 对称
学科网（北京）股份有限公司1 1
C. 关于 x= 对称 D. 关于 x= 对称
2 4
6. 设点 A( 2,3 ) ,动点 P 在抛物线 C:y 2=4x 上,记 P 到直线 x=−2 的距离为 d ,则 | AP |+d 的
最小值为（ ）
A . 1 B . 3 C. 10−1 D. 10+1
7. 圆 O :x 2+y 2+2x+8y−8=0 与圆 O :x 2+y 2−4x−4y−2=0 的位置关系为 （ ）
1 2
A. 外切 B. 相交 C . 内切 D．相离
8.下列说法中，正确的为（ ）
A . 在研究数据的离散程度时，一组数据中添加新数据，其极差与标准差都可能变小
B. 在研究变量间的相关关系时，两个变量的相关系数越小，则两者的线性相关程度越弱
C. 在实施独立性检验时,显著增加分类变量的样本容量,随机变量 K 2 的观测值 k 会减小
D . 在回归分析中，模型样本数据的 2 值越大，其残差平方和就越小，拟合效果就越好
R
9. 已知圆锥 PO 的母线长为 3,表面积为 4π , O 为底面圆心, AB 为底面圆直径, C 为底面 圆周
上一点， ∠BOC=60 ∘ ， M 为 PB 中点，则 △MOC 的面积为（ ）
35 5 35 5
A . B. C. D.
4 4 8 8
10. 内切球半径为 1 的正四棱台其上、下底面边长可能分别为（ ）
A . 1 , 3 B . 1 , 4 C. 2,3 2 D. 2,4 2
11. 设函数 f( x )=sin( ωx+φ )( ω>0,0<φ<π ) ,则 “ 0<ω< 2 “是” f( x ) 在 π , 3π 上单调递增
3 6 4
“的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
12. 双曲线 C 的两个焦点为 F 、 F ,对称中心为 O ,在 C 的一条渐近线上取一点 M ,使得
1 2
| OM | 等于 C 的半实轴长，当 △MF F 的最小角取最大值时， C 的离心率为 （ ）
1 2
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
学科网（北京）股份有限公司第 11 卷
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13. 设 z=2−i ，则
|z|2
的虚部为___________
z2
14. ( 4x−3y )( 2x+y )5 的展开式中 x 3 y 3 的系数为___________
1
15. 在 △ABC 中，已知 BC=1,AC=2,cosC= ,则 sin2A=___________
4
16. 曲线 y=lnx 上有相异三点到点 M( 3,t ) 的距离相同，则 t 的取值范围为__________
三、解答题(共 70 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17 21 题为必考 题，
每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答
17. (12 分) 记数列 { a } 的前 n 项和为 S ,已知 2S =n 2+a +a −1 .
n n n n 1
(1) 若 a ≠1 ,证明: { a −n } 是等比数列;
1 n
1
(2)若 a 是 a 和 a 的等差中项,设 b = ,求数列 { b } 的前 n 项和为 T .
2 1 3 n a a n n
n n+2
18. (12 分) “绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚 . 甲、乙、丙
三 人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划 6 月 1 日选择“共享单车”或“地铁”两种
1
出行 方式中的一种. 他们之间的出行互不影响,其中,甲选择“共享单车”的概率为 ,乙选择 “
2
2 3
共享单车”的概率为 ,丙选择“共享单车”的概率为 .
3 4
(1)若有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率；
(2)记甲、乙、丙三人中选择“共享单车”出行的人数为 X ，求 X 的分布列与数学期望
19. (12 分)如图,三棱柱 ABC−A B C 所有棱长都为 2,∠B BC=60 ∘,D 为 A C 与 AC 交点 (1)
1 1 1 1 1 1
证明: 平面 BCD⊥ 平面 AB C ;
1 1
(2)若 DB = 13 ,求二面角 A −CB −C 的余弦值.
1 1 1 1
2
学科网（北京）股份有限公司20. (12 分)已知椭圆 C :
x2
+y 2=1 与抛物线 C :y=ax 2−2 有四个公共点 A、B、C、D 分别
1 2 2
位于第一、二、三、四象限内.
(1)求实数 a 的取值范围；
(2)直线 AC、AD 与 y 轴分别交于 M、N 两点，求 | MN | 的取值集合
21. (12 分) (1)讨论函数 f( x )=tan x ⋅
ex+1
在区间 ( 0,π ) 内的单调性;
2
ex−1
(2)存在 x ,x ∈( 0,π ) ,满足 x <x ,且 e x 1sinx =e x 2sinx ,
1 2 1 2 2 1
i)证明: x +x <π ;
1 2
π 2π
ii) 若 x <x + ,证明: x +x < . (参考数据: 4.8< e π<4.9 )
2 1 2 1 2 3
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分
22.(10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的
极坐 标方程为 ρ= 2cos θ− π 0≤θ≤ 3π ,已知 M 1, 1 ,动直线 l 的参数方程为
4 4 2
x=1+tcosα,
π
1 ( t 为参数, 0≤α< ).
y= +tsinα
2
2
(1)写出 C 在直角坐标系下的普通方程；
(2)若直线 l 与曲线 C 有两个公共点 A 和 B ，线段 AB 上一点 K 满足 | KM |2=| AM |⋅| BM | ，
以 α 为参数写出 K 轨迹的参数方程.
23.(10 分)选修 4-5：不等式选讲
已知 a,b,c>0 ，且 a+b+c=abc 2 .
学科网（北京）股份有限公司(1)求 abc 2 的最小值 m ；
(2)证明: mabc+(
a+b
)c 2≥m 2 .
数学(理)参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D A A D D D B D C B B B
5. 提示：曲线 y=3 2x 关于 x=a 的对称曲线为 y=32(2a−x) ，即 y=3 4a−2x ，与 y=3 1−2x 对
1
比系数 可知 4a=1 ，故 a= .
4
10.提示: 如图,设上、下底面边长分别为 a,b ,内切球半径为 r ,过内切球球心作轴截面,利 用
a b
射影定理，可得 ⋅ =r 2 ,即 ab=4 ,B 选项满足题设.
2 2
11. 提示：对于 f( x ) 在 π , 3π 上单调递增,可得 3π − π = 7π ≤ 1 ⋅ 2π ,即 ω≤ 12 ,有 0<ω π +φ<
6 4 4 6 12 2 ω 7 6
2π 3π π π 3π π
+π< ，结合单调性，可知 0<ω +φ< ，仅需限定 ω +φ≤ ，又 考虑 φ>0 ，
7 2 6 2 4 2
2 π 2 3π π
则有 0<ω< ，故满足 “必要条件 “ ; 但当 ≤φ<π 时，对于 0<ω< ， ω +φ≤ 无法
3 2 3 4 2
成立,故不满足"充分条件".
12. 提示: 如图,设 △MF F 的最小角为 θ ,利用特征 Rt △MOF 可知 OH=
a2
,MH=
ab
, 其中
1 2 2 c c
ab
H 为垂足,则有 tanθ=
c+
c
a2
=
2a2
ab
+b2
≤
2
a
2
b
ab
=
4
2 ,取等条件为 2a 2=b 2 ,故 e= 3
c
学科网（北京）股份有限公司二、填空题
13. 4 14. -80 15. 7 15 16. −2<t<− 5 −ln2
5 32 4
16.提示: 设相异三点到 M 的距离为 d ,可知函数 f( x )=( x−3 )2+( lnx−t )2−d 2 至少有 3 个 零
点, f′( x )=2 (x−3)x+lnx−t ,令 g( x )=( x−3 )x+lnx−t, g′( x )=2x−3+ 1 , g′( x ) 在 0, 1 , 1 ,1 ,
x x 2 2
( 1,+∞ ) 符号正负正， g( x ) 对应增减增，为满足题设， g( x ) 符号必须负正负正，即 g 1 g
2
5
( 1 )<0 ,此时 −2<t<− −ln2 ,这样才有 f( x ) 减增减增,其图象为 W 型, f( x ) 有 3 或 4 个零点.
4
三、解答题
17. 解: (1) 对 2S =n 2+a +a −1 ①,当 n≥2 时,有 2S =( n−1 )2+a +a −1 ②,
n n 1 n−1 n−1 1
①-②: 2( S −S )=2n−1+a −a ,即 2a =2n−1+a −a , （2 分）
n n−1 n n−1 n n n−1
经整理,可得 a −n=( −1 )[ a − ( n−1 )] , (4 分)
n n−1
故 { a −n } 是以 a −1( ≠0 ) 为首项、 -1 为公比的等比数列. （5 分）
n 1
(2)由(1)知 a −n=( −1 )n−1( a −1 ) ,有 a =3−a ,a =a +2 ,
n 1 2 1 3 1
题设知 2a =a +a ,即 2( 3−a )=a +( a +2 ) ,则 a =1 ,故 a =n (7 分)
2 1 3 1 1 1 1 n
而 b = 1 = 1 = 1 1 − 1 , （9 分）
n a n a n+2 n(n+2) 2 n n+2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
T =b +b +⋯+b +b = − + − +⋯+ − + −
n 1 2 n−1 n
2 1 3 2 4 n−1 n+1 n n+2
1 1 1 1 1
T = + − −
n
2 1 2 n+1 n+2
故 T = 3 − 1 1 + 1 （12 分）
n 4 2 n+1 n+2
18. 解：(1) 记甲、乙、丙三人选择“共享单车”出行分别为事件 A,B,C ，记三人中恰有两人
选择“共享单车”出行为事件 D ,
学科网（北京）股份有限公司1 2 1 1 1 3 1 2 3 11
则 P( D )=P( ABC)+P( ABC )+P(ABC )= × × + × × + × × = .
2 3 4 2 3 4 2 3 4 24
1 2 3 1 1 3 3
又 P( CD )=P(ABC )+P( ABC )= × × + × × = , （3 分）
2 3 4 2 3 4 8
3
P(CD) 9
所以 P( C∣D )= = 8 = ,
P(D) 11 11
24
9
即若有两人选择“共享单车”出行，丙选择“共享单车”的概率为 （5 分）
11
（2）由题意可知, X 的所有可能取值为 0,1,2,3 ,
1 1 1 1
则 P( X=0 )=P(ABC)= × × = ,
2 3 4 24
1 1 1 1 2 1 1 1 3 1
P( X=1 )=P( ABC)+P(ABC)+P(ABC )= × × + × × + × × = ,
2 3 4 2 3 4 2 3 4 4
11
P( X=2 )=P( D )= ,
24
1 2 3 1
P( X=3 )=P( ABC )= × × = , (9 分)
2 3 4 4
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
1 1 11 1
P 24 4 24 4
1 1 11 1 23
故 E( X )=0× +1× +2× +3× = ,
24 4 24 4 12
23
即 X 的数学期望为 . （12 分）
12
19. 解：(1) 取 BC 中点 O ,取 AB 中点 E ,连接 DE,BE ,
1
学科网（北京）股份有限公司OE ,因为三棱柱 ABC−A B C 所有棱长都为 2,∠B BC=60 ∘ , 有 AO=B O= 3,AB=BB ,E
1 1 1 1 1 1
为 AB 的中点, BCDE 四点 共面,所以 OE⊥AB ,且 BE⊥AB ,BE,BE,OE⊂ 平面 BCD,OE∩BE
1 1 1
=E ,即 AB ⊥ 平面 BCD ,又 AB ⊂ 平面 AB C ,故平面 BCD⊥ 平面 AB C （5 分）
1 1 1 1 1 1
（2）因为 BC//B C ,所以 B C ⊥ 平面 AOB ,AB ⊂ 平面 AOB ,所以 B C ⊥AB ,所以 △
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
AB C 为直角三角形,所以 AC =2DB = 13 ,所以
1 1 1 1
AB
1
= AC 2
1
−B
1
C 2
1
=3 ,在 △AOB
1
中, cos∠AOB
1
= 3
2
+
×
3
3
−9 =− 1
2
. （6 分）
以 O 为原点，作 Oz⊥ 平面 BCC B ，以 OB,OB ,Oz 方向为 x,y,z 轴正方向，建立空 间直角
1 1 1
坐标系，如图所示，则 C( −1,0,0 ) ， B ( 0, 3,0 )， C ( −2, 3,0 )，A 0,− 3 , 3 ，由 AA =
1 1 1
2 2
CC ,所以 A −1, 3 , 3 ,所以 CA = 0, 3 , 3 ,CB =( 1, 3,0 ) ,
1 1 1 1
2 2 2 2
x+ 3y=0
CB ⋅n=0
设平面 A CB 的一个法向量为 n=( x,y,z ) ,则 1 ,即 3 3 ,
1 1 CA ⋅n=0 y+ z=0
1 2 2
令 z=1 ,解得 n=( 3,− 3,1 ) ,所以平面 C CB 的一个法向量为 m=( 0,0,1 ) （10 分）
1 1
记二面角 A −CB −C 的大小为 θ ,且 θ 为锐角,
1 1 1
|m⋅n| 13
则 cosθ=| cosm,n|= = ,
|m|⋅|n| 13
即二面角 A −CB −C 的平面角的余弦值为 13 （12 分）
1 1 1
13
20. 解：(1)由椭圆 C 及抛物线 C 的对称性，知 A 与 B、C 与 D 关于 y 轴对称，设其纵坐
1 2
标分 别为 y 、 y ,联立
x2
+y 2=1 与 y=ax 2−2 ,消 x ,得 2ay 2+y+2−2a=0 ①,
1 2 2
a>0,
其两根即 y 1 、 y 2 ,由题设知 y y = 1−a <0, 解得 a>1 . （4 分）
1 2
a
(2) 设直线 l:x=t(
y−m
) ,
若 l 表示 AC ,联立 x=t( y−m ) 与 y=ax 2−2 ,消 x ,得 at 2 y 2−( 2mat 2 +1 )y+at 2 m 2−2=0 (2) 其
两根也是 y 、 y ,故方程①与②为同解方程,有 y +y =−
1
=
2mat2+1
,即
1 2 1 2 2a at2
−
1
=4m+
2
③,亦有 y y =
1−a
=
at2m2−2
,即
1
−1=m 2−
2
④, (8 分)
a at2 1 2 a at2 a at2
③与④相加，可得 m 2+4m+1=0 ，有 m =−2+ 3,m =−2− 3
1 2
考虑到 M 在 C 内部,取 y =m ;
1 M 1
若 l 表示 AD ,且 N 在 C 外部,类上可得 y =m ,即 | MN |=| m −m |=2 3 ,
1 N 2 1 2
学科网（北京）股份有限公司故 | MN | 的取值集合为 {2 3} . （12 分）
(亦可用 y 、 y 以点参形式直接表示直线 AC 与 AD ,可得到 y −y =2 ( y +2 )( y +2 )
1 2 M N 1 2
21. 解: (1) f′( x )= 1 2co 1 s2x⋅ e e x x + −1 1 + c s o in s 2 x x ⋅ (e − x 2 − e 1 x )2 = 2(ex−1 e ) x 2cos2x ( e x −e −x −2sinx )
2 2 2
令 g(
x
)=e x−e −x−2sinx ,有 g′(
x
)=e x+e −x−2cosx ,
而当 x∈( 0,π ),g′( x )>2 e x⋅e −x−2⋅1=0 ,则 g( x ) 单增,有 g( x )>g( 0 )=0
即 f′(
x
)>0 ，则 f(
x
) 在区间 (
0,π
) 内单调递增. (4 分)
sinx sinx sinx cosx−sinx
(2) i) 由 e x 1sinx =e x 2sinx ,可令得 1= 2=m ,设 ℎ ( x )= −m,ℎ′ ( x )= 当 x
2 1 ex1 ex2 1 ex 1 ex
∈ 0, π 时, ℎ′ ( x )>0,ℎ ( x ) 单增; 当 x∈ π ,π 时, ℎ′ ( x )<0,ℎ ( x ) 单减. 由题设知 ℎ ( 0 )=ℎ
1 1 1 1 1 1
4 4
( π )<0 ,且 ℎ 1 π >0 ,则有 x 1 ∈ 0, π , x 2 ∈ π ,π , m∈ 0, 2 e − π 4 .
4 4 4 2
π π π
若 x ≤ 时,则 x +x < + <π ; （6 分）
2 2 1 2 4 2
π sinx
若 x > 时,设 ℎ ( x )= π −m ,易知其在 ( 0,π ) 内有两零点 x ∗ 和 x ∗ ,其中 x ∗ ∈ 0, π , x ∗ ∈
2 2 2 e4 1 2 1 4 2
3 4 π ,π ,而 ℎ 2 ( x ) 关于 x= π 2 对称,且有 x ∗ 1 +x ∗ 2 =π . 由 s e in π 4 x 在 0, π 2 单增,知 m= si e n π 4 x∗ 1 = si e n x x 1 1>
si e n π 4 x 1 ,有 x 1 <x ∗ 1 ; 由 s e in π 4 x 在 π 2 ,π 单减,知 m= si e n π 4 x∗ 2 = si e n x x 2 2< si e n π 4 x 2 , 有 x 2 <x ∗ 2 ,则 x 1 +x 2 <x ∗ 1 +
x ∗ ,即 x +x <π . (8 分)
2 1 2
(证明亦可利用 f(
x
)>f(
π−x
),x∈
0,
π )
4
ii) 由 e x 1sinx =e x 2sinx ,得 sin x 1 +x 2− x 1 −x 2 =e x 2 −x 1sin x 1 +x 2+ x 1 −x 2 ,利用正弦和 差角公
2 1
2 2 2 2
式,经过化切后得 tan x 1 +x 2−tan x 1 −x 2 =e x 2 −x 1 tan x 1 +x 2+tan x 1 −x 2 ,
2 2 2 2
再整理可得 tan x 2 +x 1=tan x 2 −x 1 ⋅ ex2−x1+1 , （10 分）
2 2 ex2−x1−1
π
由题设知 0<x −x < π ,利用（1）结论有 tan x 2 −x 1 ⋅ ex2−x1+1 <tan π ⋅ e2+1 ,
2 1 2 2 ex2−x1−1 4 π
e2−1
π
则 tan x 2 +x 1< e2+1 < 4.9+1 < 3 ,由 i) 知 0< x 1 +x 2< π ,即 x 1 +x 2< π ,
2 π 4.8−1 2 2 2 3
e2−1
2π
综上, x +x < . （12 分）
1 2 3
学科网（北京）股份有限公司2
22. 解： (1) 由 ρ=cosθ+sinθ 得 ρ 2=ρcosθ+ρsinθ ,即 x 2+y 2=x+y ,整理可得 x− 1 +
2
y− 1 2 = 1 ,而 0≤θ≤ 3π ,图形分析可知 y≥0 ,
2 2 4
故 C 在直角坐标系下的普通方程为 x− 1 2 + y− 1 2 = 1 ( y≥0 ) . (4 分)
2 2 2
(2) 将 x y = = 1 1 + + t t s c i o n s α α, 代入 x− 1 2 + y− 1 2 = 1 ,消去 x,y ,整理得 t 2+cosα⋅t− 1 =0 ,
2 2 2 4
2
1
Δ=cos 2α+1>0 ,考虑到 y≥0 ,由图形可知 0≤α<α ,α 为锐角且满足 tanα = ,由韦 达定
0 0 0 2
1 1
理及题设可知 t 2=| t |⋅| t |=| t t |= ,考虑点 K 在线段 AB 上, t =− ,则点 K 的坐 标为
K A B A B 4 K 2
1 , (8 分)
1+t cosα, +t sinα
K K
2
1
x=1− cosα,
1
故 K 轨迹的参数方程为 y= 1 − 2 1 sinα ( α 为参数, 0≤α<α 0 ) ,其中锐角 α 0 满足 tanα 0 = 2 .
2 2
（10 分）
23. 解：(1) 由均值不等式可知 a+b+c=a+b+ c + c ≥4⋅4 a⋅b⋅ c ⋅ c ,即 abc 2≥44 abc2 ,整
2 2 2 2 4
c
理得 abc 2≥4 ,故 abc 2 的最小值为 4,取最值条件为 a=b= =1 . (4 分)
2
1 1 1
(2) 由 (1) 知即证 4abc+( a+b )c 2≥4 2 ,由 a+b+c=abc 2 可得 + + =c ,即有 4abc+
ab bc ac
(
a+b
)c 2=(
4ab+ac+bc
)c=(
4ab+ac+bc
) 1
+
1
+
1 ,由柯西不等式可知
ab ac bc
2
( 4ab+ac+bc ) 1 + 1 + 1 ≥ 4ab⋅ 1 + ac⋅ 1 + bc⋅ 1 =( 2+1+1 )2=4 2 ,取等条件
ab ac bc ab ac bc
4ab ac bc c
为 1 = 1 = 1 ,即 a=b= =1 . 故 4abc+( a+b )c 2≥4 2 . （10 分）
2
ab bc bc
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