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成都石室中学 2023-2024 年度下期高 2024 届二诊模拟考试
数学试题（文）（A 卷）
（总分：150分，时间：120分钟 ）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1
z=
1.已知复数 1+i（其中i为虚数单位），则z的虚部是
1 1 1 1
− − i i
2 2 2 2
A. B. C. D.
{ 1}
A={1,2},B= y|y=x2
2.若集合 ，则 a∈A 是a∈B的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.如图是根据某校高三8位同学的数学月考成绩（单位：分）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学
生数学月考成绩的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生数学月考成绩的个位数字，则下列结论正确的是
A.这8位同学数学月考成绩的极差是14 11 8 7 7
B.这8位同学数学月考成绩的中位数是122
12 5 1 3
C.这8位同学数学月考成绩的众数是118
13 1 2
D.这8位同学数学月考成绩的平均数是124
4.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩
形组成，则这个几何体的体积是
3 5 7 9
π π π π
2 3 3 2
A. B. C. D.
5.已知数列 为等差数列，且 ，则 的值为
A.2 B.4 C.6 D.8
1 1
+ =1
6.若 a,b 是正实数，且3a+b 2a+4b ，则a+b的最小值为
4 2
A．5 B．3 C．1 D．2
π
0<x≤
7.当 2 时，关于x的不等式 (2asinx+cos2x−3)(sinx−x)≤0 有解，则a的最小值是
A．2 B． 3 C．4 D． 4√2
8.已知函数 ，则下列结论中不正确的是
1
学科网（北京）股份有限公司A． 为函数 的一个周期
B．点 是曲线 的一个对称中心点
C．在区间 上单调递增，则实数a的最大值为
D．将函数 的图象向右平移 个长度单位后，得到一个偶函数的图象
9. 已知抛物线 y2 =4x ，弦AB过其焦点，分别过弦的端点 A,B 的两条切线交于点C，点C到直线AB距离的最小
值是
1 1
4 2
A． B． C．1 D．2
10.如图，四棱柱
ABCD−A
1
B
1
C
1
D
1中，E为棱
A
1
B
1的中点，F为四边形
DCC
1
D
1对角线的交点，下列说法：
BCC B
① EF //平面 1 1；
②若EF //平面 ADD 1 A 1，则 BC//AD ；
ABCD EF⊥D C ABCD−A B C D
③若四边形 矩形，且 1 1，则四棱柱 1 1 1 1为直四棱
柱.
其中正确说法的个数是
A. 0 B.1 C.2 D.3
1 1
11.已知函数 ，若
a=f(√2)
,
b=f(−ee
) ,
c=f(ππ
)，则
A. B. C. D.
x2 y2
C: − =1(a>0,b>0)
12.若双曲线 a2 b2 的左、右焦点分别为 F 1 ,F 2，过右焦点 F 2的直线 与双曲线C交于 A,B 两点，
(b )
已知 的斜率为k，
k∈
a
,+∞
，且 |AF 2 |=2|F 2 B| ， ∠F 1 AB=600 ，则直线AB的斜率是
√3
A. 2√3 B. √3 C. 3 D.2
2
学科网（北京）股份有限公司第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13.已知向量
⃗a=(1,−2)
，
⃗b=(2,x)
，若
⃗a⊥ ⃗b
，则实数x= .
14.已知实数x,y满足约束条件 ，则 z=3x+2y 的最大值是 .
(1) n
S =x⋅ +27
n 3 a a ⋯a
15.已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 1 2 n取最大值时，n的值为 ．
x2 +1
ln ≤ex −x2 −mx−1
16.若 x≥1 ，恒有 ex −mx ，则m的取值范围是 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分12分）
某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将他们的期中成绩（均为整数）分成六段， ，
后得到如图所示的频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：
(1)求 ，并估计此次期中考试成绩的众数.
(2)利用分层抽样的方法从样本中成绩在 和 两个分数段内的学生中抽5人，再从这5人中随机抽取2
人，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.
3
学科网（北京）股份有限公司18. （本小题满分12分）
f(x)=λ
已知 ，设 .
f(x)
（Ⅰ）求函数 的对称中心；
2√3 √3
f(A)=
（Ⅱ）若ΔABC中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ， 3 ，且ΔABC外接圆的半径为 3 ，D是 BC 边的
中点，求线段AD长度的最大值.
19（本小题满分12分）
3
ABCD−A B C D CE=2EC
如图，棱长为 的正方体 1 1 1 1中, 1.
（Ⅰ）若F是线段 AB 的中点，求证：
C
1
F//
平面 BDE ；
D−BB E
（Ⅱ）求三棱锥 1 的体积.
20. （本小题满分12分）
x2 y2
E: + =1(a>b>0)
已知点F是椭圆 a2 b2 的右焦点，过原点的直线交椭圆E于 A,B 两点,ΔABF面积的最大值为 √3 ，
.
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）已知过点 P(4,y 0 ) 的直线l与椭圆E交于 M,N 两点，是否存在定点P，使得直线 FM,FN 的斜率之和为定值？
若存在，求出定点P的坐标及该定值.若不存在，请说明理由.
21. （本小题满分12分）
已知函数
f(x)=x2 −ax,x>0.
[a,2a+1]
（Ⅰ）是否存在实数a使得 在区间 上恒成立，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明
理由；
4
学科网（北京）股份有限公司h(x)=f(x)−a2lnx (1,ea
)
（Ⅱ）求函数 在区间 上的零点个数(e为自然对数的底数).
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22. （本小题满分10分）
(1,0)
在平面直角坐标系 中，倾斜角为α的直线 过定点 ，以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，
ρsin2θ=4cosθ
曲线 的极坐标方程为 ，直线 与曲线 相交于不同的两点 .
（Ⅰ）若 ，求线段 中点 的直角坐标；
（Ⅱ）若 ，求 的最小值.
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23. （本小题满分10分）
f(x)=|x+1|
已知函数 .
f(x)+f(2x−1)<x+7
（Ⅰ）求不等式 的解集；
1 1 1
+ + =1
（Ⅱ）若对于正实数a，b，c，满足a b c ,证明: f(x−a)+f(x+b+c)≥9 .
5
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