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定远育才学校 2025-2026 学年高二上学期 12 月月考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点A(1,4)，B(3,-1)，若直线l：mx+ y+2m-1=0与线段AB相交，则m的取值范围是( )
2 2
A. (-∞,-1]∪[ ,+∞) B. [-1, ]
5 5
2 2
C. (-∞,- ]∪[1,+∞) D. [- ,1]
5 5
2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E，F分别为PB，PD的中点，若
⃗ 1 ⃗
PG= GC，且 A ⃗ G=x A ⃗ E+ y A ⃗ F ，则x+ y=( )
2
3 4
A. 1 B. 2 C. D.
2 3
3.已知点 是直线 ： 上的动点，过点 引圆 ： 的两条切线 ．
P l 3x+4 y-7=0 P C (x+1) 2+ y2=r2(r>0) PM,PN
π
M,N为切点，当∠MPN的最大值为 时，则r的值为( )
3
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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1 94.已知正方体ABCD-A B C D 的棱长为1，下列结论中错误的是( )
1 1 1 1
A. 直线B C与直线AD 所成的角为90∘
1 1
√3
B. 直线B C与平面ACD 所成角的余弦值为
1 1 3
C. B D⊥平面ACD
1 1
√3
D. 点B 到平面ACD 的距离为
1 1 2
5.如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C.若
|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为( )
A. y2=9x B. y2=6x C. y2=3x D. y2=x
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2 96.已知椭圆x2 y2 的左、右顶点分别为 ， ，上、下顶点分别为 ， ，右焦点为 ，
+ =1(a>b>0) A A B B F
a2 b2 1 2 1 2
直线A B 与直线B F相交于点T.若A T垂直于x轴，则椭圆的离心率e=( )
1 1 2 2
1 √3 1 √2
A. B. C. D.
3 3 2 2
7.在图形设计和创作中，常常需要用不同的形状和线条进行组合，以创造出独特的视觉效果.某校数学兴趣
小组设计了一个如图所示的“螺旋线”：点A ，C 在直线l上，△A B C 是边长为1的等边三角形，
1 1 1 1 1
C ⌢ A 是以点A 1 为圆心，A 1 C 1 为半径的圆弧，A ⌢ B 是以点B 1 为圆心，B 1 A 2 为半径的圆弧，B C ⌢ 是以点
1 2 2 2 2 2
C 1 为圆心，C 1 B 2 为半径的圆弧，C ⌢ A 是以点A 1 为圆心，A 1 C 2 为半径的圆弧，…，依次类推(其中点A 1 ，
2 3
C ，C ，C ，…共线，点B ，A ，A ，A ，…共线，点C ，B ，B ，B ，…共线).由上述圆弧组成的
1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3
曲线H与直线l恰有9个交点时，曲线H长度的最小值为
A. 30π B. 44π C. 52π D. 70π
x2 y2
8.若双曲线C： - =1，F ，F 分别为左､右焦点，设点P是在双曲线上且在第一象限的动点，点I为
4 5 1 2
△PF F 的内心，A(0,4)，则下列说法正确的是( )
1 2
x y
A. 双曲线C的渐近线方程为 ± =0
4 5
B. 点I的运动轨迹为双曲线的一部分
C. 若|PF 1 |=2|PF 2 |， P ⃗ I=xP ⃗ F 1 + yP ⃗ F 2 ，则y-x= 9 2
D. 不存在点 ，使得 取得最小值
P |PA|+|PF |
1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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3 99.在递增的等比数列{a }中，S 是数列{a }的前n项和，若a a =32,a +a =12，则下列说法正确的是
n n n 1 4 2 3
( )
A. B. 数列 是等比数列
q=1 {S +2}
n
C. D. 数列 是公差为 的等差数列
S =510 {lga } 2
8 n
10.在平面直角坐标系 中，已知点 ，动点 满足 ，
xOy M(2,-1),N(-2,1) P |PM|2-|PN|2=a(a∈R)
记点P的轨迹为曲线C，则( )
A. 存在实数a，使得曲线C上所有的点到点 的距离大于2
B. 存在实数a，使得曲线C上有两点到点(-√5,0)与(√5,0)的距离之和为6
C. 存在实数a，使得曲线C上有两点到点(-√5,0)与(√5,0)的距离之差为2
D. 存在实数a，使得曲线C上有两点到点(a,0)的距离与到直线x=-a的距离相等
11.已知△ABC的顶点A(5,1)，边AB上的中线CM所在直线方程为2x- y-5=0，边AC上的高BH所在
直线方程为x-2y-5=0，则下列说法正确的有( )
A. 过点A且平行于CM的直线的方程为2x- y-9=0
B. 直线AC的方程为2x+ y-11=0
C. 点C的坐标为(4,3)
D. 边AC的垂直平分线的方程为x-2y-1=0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列 首项为 ，公差为 ，等比数列 首项为 ，公比为 ，其中 都是大于 的正整数，
{a } a b {b } b a a,b 1
n n
且a 0) x+ y=0 2√2 M
x2
14.已知双曲线C: - y2=1的左、右焦点分别为F 、F ，点A为双曲线C的右顶点，直线l过点A且与x
4 1 2
轴垂直，点B为直线l上异于点A的任意一点，以点B为圆心，线段BA长为半径作圆，过点F 、F 分别作
1 2
圆B的切线m和n(m、n与x轴不重合)，切线m和n相交于点P，则点P到直线y=x的最小距离为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
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4 93 1
已知数列{a }满足a = ，4a a +a =3a ，S 为数列{ }的前n项和．
n 1 5 n n+1 n+1 n n a
n
1
(1)求证：数列{ -2}是等比数列;
a
n
(2)求数列{a }的通项公式;
n
1
(3)求数列{ }的前n项和S ．
a n
n
16. (本小题15分)
已知圆C ：x²+ y²-4x-2y-3=0，圆C :x²+ y²-2x+m=0，其中-5b>0) F F
a2 b2 1 2 2
两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F 作直线PF 的垂线l ，过点F 作直线
1 1 1 2
PF 的垂线l ．
2 2
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5 9(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线l ，l 的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
1 2
19.(本小题17分)
4x2
已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线 -4 y2=1的一个焦点重合，过焦点F的直线l交抛物
3
线于A，B两点。
(1)求抛物线C的方程；
记抛物线 的准线与 轴的交点为 ，试问是否存在常数 ，使得 ⃗ ⃗ 且
(2) C x N λ∈R
AF=λFB
85
|NA|2+|NB|2= 都成立？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由。
4
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6 9答案
1.B 2.D 3.D 4.D 5.C 6.A 7.C 8.C
9.BC 10.BD 11.ABC
12.5n-3
13.x2+ y2-4 y=0
√6
14.
2
15. (1)证明：对4a a +a =3a ，
n n+1 n+1 n
1 3
等式两边同时除以a a 可得4+ = ，
n+1 n a a
n n+1
等式两边再同时减 得 1 ( 1 )，
6 -2=3 -2
a a
n n+1
即 1 1( 1 )，
-2= -2
a 3 a
n+1 n
3 1 1 1
又由a = ，可得 -2=- ≠0，故 -2≠0，
1 5 a 3 a
1 n
则数列{1 }是首项为 1，公比为1的等比数列．
-2 -
a 3 3
n
由 得{1 }的通项公式为 1 1 ，
(2) (1) -2 -2=-
a a 3n
n n
得 1 1 ，所以 3n ．
=2- a =
a
n
3n n 2⋅3n-1
1 1
(3)由(2)知 =2- ，
a 3n
n
所以 ( 1) ( 1 ) ( 1 ) (1 1 1 )
S = 2- + 2- +⋅⋅⋅+ 2- =2n- + +⋅⋅⋅+
n 3 32 3n 3 32 3n
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7 91
3 ( 1 ) 1 1
=2n- 1- =2n- + ．
1 3n 2 2⋅3n
1-
3
16.解：(1)当m=-1时，
圆 的圆心 ，半径 ，
C C (2,1) r =2√2
1 1 1
圆 的圆心 ，半径 ，
C C (1,0) r =√2
2 2 2
圆心距 ，所以两圆内切；
C C =√2=r -r
1 2 1 2
因为两圆内切，所以公切线只有一条，
且两圆的公切线方程可由两圆方程相减得到，即为：x+ y+1=0，
故两圆公切线方程为：x+ y+1=0；
(2)两圆公共弦所在直线l的方程为：2x+2y+m+3=0，
|2+m+3| √2
圆C 的圆心C (1,0)到直线l的距离 = ，
2 2 2√2 2
于是|m+5|=2,m=-3或-7(舍)，所以直线l的方程为x+ y=0 ；
√2
因为圆C 半径r =2 ，弦心距d= ，
2 2 2
√14
由勾股定理可得半弦长为√r2-d2= ，所以公共弦长为√14．
2 2
17. 解：作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标
系，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，
√2 √2 √2
P(0, ,0)，D(- , ,0)，
2 2 2
√2 √2
O(0,0,2)，M(0,0,1)，N(1- , ,0)．
4 4
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8 9√2 √2
(1)⃗MN=(1- , ,-1)，
4 4
√2 √2 √2
⃗OP=(0, ,-2)，⃗OD=(- , ,-2)，
2 2 2
设平面OCD的法向量为⃗n=(x,y,z)，
则⃗n⋅⃗OP=0，⃗n⋅⃗OD=0，
{ √2 y-2z=0
2
即 ，
√2 √2
- x+ y-2z=0
2 2
⃗
取z=√2，解得n=(0,4,√2).
√2 √2
∵⃗MN⋅⃗n=(1- , ,-1)⋅(0,4,√2)=0，
4 4
又MN⊈平面OCD，
∴MN//平面OCD．
(2)设AB与MD所成的角为θ，
√2 √2
∵⃗AB=(1,0,0),⃗MD=(- , ,-1)，
2 2
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9 9⃗ ⃗
|AB⋅MD| 1
∴cosθ= = ，
⃗ ⃗ 2
|AB|⋅|MD|
π π
∴θ= ，即AB与MD所成角的大小为 ．
3 3
c 1
18.解：(1)由题意可知：椭圆的离心率e= = ，则a=2c，①
a 2
a2 a2
椭圆的准线方程x=± ，由2× =8，②
c c
由①②解得：a=2，c=1，
则b2=a2-c2=3，
x2 y2
∴椭圆的标准方程： + =1；
4 3
(2)设P(x ,y )，
0 0
当x =1时，直线PF 斜率不存在，此时直线l ，l 的交点为F ，不满足题意；
0 2 1 2 1
故x ≠1，
0
y
则直线PF 的斜率k = 0 ，
2 PF 2 x -1
0
x -1 x -1
则直线l 的斜率k =- 0 ，直线l 的方程y=- 0 (x-1)，
2 2 y 2 y
0 0
y
直线PF 的斜率k = 0 ，
1 PF 1 x +1
0
x +1 x +1
则直线l 的斜率k =- 0 ，直线l 的方程y=- 0 (x+1)，
1 1 y 1 y
0 0
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10 9x -1
{ y=- 0 (x-1)
{
x=-x
y 0 x2-1
联立 0 ，解得： x2-1，则Q(-x , 0 )，
x +1 y= 0 0 y
y=- 0 (x+1) y 0
y 0
0
x2-1
由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y = 0 ，
0 y
0
∴y2=x2-1，
0 0
{x2 y2 {x2= 16 { x =± 4√7
0+ 0=1 0 7 0 7
则 4 3 ，解得： ，则 ，
9 3√7
y2=x2-1 y2= y =±
0 0 0 7 0 7
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11 94√7 3√7
又P在第一象限，所以P的坐标为：P( , ).
7 7
p
19.解：(1)双曲线中c=1，所以F(1,0)， =1，所以p=2，
2
所以抛物线的方程为y2=4x．
(2)由题意可得，设直线l：x=ty+1，
设 ， 联立{y2=4x ，消去 ，得 ， ；
A(x ,y ) B(x ,y ) x y2-4ty-4=0 Δ=16t2+16>0
1 1 2 2 x=ty+1
所以{y
1
+ y
2
=4t
①
且{x
1
=t y
1
+1
，
y y =-4 x =t y +1
1 2 2 2
又 ⃗ ⃗ ，
AF=λFB
所以(1-x ,- y )=λ(x -1,y )，即y =-λ y ，
1 1 2 2 1 2
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12 9{(1-λ)y =4t
代入 ① 得 2 ，消去 y ，
-λ y 2=-4 2
2
1
得4t2=λ+ -2，易知N(-1,0)，则|NA| 2+|NB| 2=(x +1) 2+ y 2+(x +1) 2+ y 2
λ 1 1 2 2
=(t y +1) 2+(t y +1) 2+2(t y +t y +2)+2+ y2+ y2=(t2+1)(y 2+ y 2 )+4t(y + y )+8
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
=(t2+1)(16t2+8)+4t·4t+8
=16t4+40t2+16，
85 1 1
由16t4+40t2+16= ，解得t2= ，所以λ=2或 ，
4 8 2
1
故存在λ=2或 满足条件．
2
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13 9
