文档内容
赤峰市高三年级 11·20 模拟考试试题
数学
2024.11
本试卷共6页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名和准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生
信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工
整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草
稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.
1.已知 ， 是两个实数， ， ，则 是 的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.结合不等式的性质，下列说法中正确的是
A.若 ，则 B.若 ，则
C.若 ，则 D.若 ，则
3.已知 ， ， ，则 的最小值为
A. B. C. D.
4.已知 ， ，则 的值为
A.－2 B.2 C.－3 D.3
5.已知集合 ，集合 ，集合 ，则以
下元素属于集合 的是
A. B. C. D.
学科网（北京）股份有限公司6.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是
A. B. C. D.
7.已知函数 在区间 上存在极值点，则 的取值范围是
A. B. C. D.
8.在锐角三角形 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ，点 为 的
中点，则中线 的取值范围是
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在同一直角坐标系中，函数 ， 可能的图象是
A. B. C. D.
10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列
为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则
称为高斯函数，如 ， .若 ，则
A.当 时， B.
C.函数 是堵函数 D.函数 的值域为
11.已知函数 的周期为 ，且满足 ，则下列说法正
确的是
学科网（北京）股份有限公司A. 在区间 上单调递减
B.直线 是函数 图象的对称轴
C. 在区间 上有两个对称中心
D.若 在区间 上有2024个根，则 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上.
12.已知函数 ，则不等式 的解集是________.
13.函数 在 上的导数为 ，若 ，且 ，则
________.
14.在半径为1，圆心角为 的扇形中， 是弧上的动点， 是扇形的内接矩形，则矩形 面
积的最大值为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知 ， ， 分别为 三个内角 ， ， 的对边， .
（1）求 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 ， .
16.（本小题满分15分）已知幂函数 的图象过点 ， .
（1）求 的解析式；
（2）记 ， 在区间 上的值域分别为 ， ，若 是 的必要条件，求实数 的取
值范围；
（3）设 ，对 ， 使得 成立，求正实数 的
最小值.
学科网（北京）股份有限公司17.（本小题满分15分）已知函数 在一个周期内的
图象如图所示，其中点 为图象上的最高点，点 ， 为图象与 轴的两个相邻交点，且 是边长
为4的正三角形.
（1）求 与 的值；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标变为原来的 （纵坐标不变），得到函数
的图象.若 ， ，求 的值.
18.（本小题满分17分）某同学设计了如图2所示的徽章图案，其由三块全等的矩形经过如图 1所示的方
式折叠后拼接而成.已知矩形 的周长为8cm，设其中较长边 为 ，将 沿 向
折叠， 折过后交 于点 .
图1 图2
（1）用 表示图1中 的面积：
（2）现决定按此方案制作一枚徽章，要求将徽章的六个直角（如图 2阴影部分）双面镀金（厚度忽略不
计），已知镀金的价格是2元/cm2，试求将这枚徽章镀金所需的最大费用.
19.（本小题满分17分）2024年9月25日，我国向太平洋发射了一发洲际导弹，我国洲际导弹技术先进，
飞行轨迹复杂，飞行时需要导弹上的计算机不断计算导弹飞行轨迹的弯曲程度，导弹的陀螺仪才能引导导
弹精准命中目标.为此我们需要刻画导弹飞行轨迹的弯曲程度.
学科网（北京）股份有限公司如图所示的光滑曲线 上的曲线段 ，其弧长为 ，当动点从 沿曲线段 运动到 点
时， 点的切线 也随着转动到 点的切线 ，记这两条切线之间的夹角为 （它等于 的倾斜角与
的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则
弯曲程度越大，因此可以定义 为曲线段 的平均曲率；显然当 越接近 ，即 越小，
y
K lim
s0 s
1
y2 3
2
就越能精确刻画曲线 在点 处的弯曲程度，因此定义 （若极限存在）为曲线
在点 处的曲率.（其中 ， 分别表示 在点 处的一阶、二阶导数）
（1）求函数 在点 处的曲率；
（2）已知函数 ，求函数 的曲率 的最大值.
（3）设函数 ， ，若存在 ， 使得 的曲率为 0，求证：
.
学科网（北京）股份有限公司赤峰市 2024 年高三 11·20 模拟测试
参考答案与评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D A C A B C
题号 9 10 11
答案 ABD AD ACD
12. 13.2025 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.【详解答案】（1）由正弦定理可将
化为 ，
其中 ， …………（2分）
可得 ， …………（4分）
在 中， ，可得 ，由辅助角公式可得 ，（6分）
可得 . …………（7分）
（2） 的面积为 ，可得 ， …………（9分）
由余弦定理 ，可得 ， …………（11分）
综上 ， 或 ， . …………（13分）
16.【详解答案】（1）设幂函数 ，由题意 ，即 ，
即函数 的解析式为 . …………（2分）
（2）由题意 在区间 上的值域为 ， …………（3分）
而函数 区间 上的值域为 ， …………（4分）
学科网（北京）股份有限公司由 是 的必要条件可知 ， …………（6分）
即 且 ，解得 . …………（8分）
（3）由题意 ， …………（9分）
对 ， 使得 成立，可得 ， …………（11分）
在区间 上， 的最大值为 ， …………（12分）
在区间 上， 的最大值为 ， …………（13分）
令 ，可得 ，解得 （舍）或 ，即 ，
即正实数 的最小值为1. …………（15分）
17.【详解答案】
（1）由已知可得 ， …………（3分）
由题图可知，正三角形 的高即为函数 的最大值 ，则 . …………（6分）
（2）由（1）可知 ，由函数 的图象向右平移 个单位长度，
再把横坐标变为原来的 ，得 图象可知： ， …………（10分）
由 得， ， …………（11分）
由 得， ，
从而 ， …………（13分）
学科网（北京）股份有限公司故 . …………（15分）
18.【详解答案】（1）因为 ，所以 ，
又因为 为较长边，所以 ，即 . …………（3分）
设 ，则
因为 ， ，
所以 ，所以 ， …………（5分）
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，解得 ， …………（7分）
所以 ， …………（8分）
所以 的面积 （单位： ）
…………（10分）
（2）设一枚徽章的镀金费用为 元，则 …………（13分）
由基本不等式可知： ，当且仅当 ，即 时等号成立， …………（15分）
所以当 时，一枚徽章的镀金部分所需的最大费用为 元. …………（17分）
19. 【 详 解 答 案 】 （ 1 ） ， ， ， ，
，（2分）
所以函数 在点 处的曲率为 . …………（3分）
（2） ， ， ，
学科网（北京）股份有限公司由 定义知 为非负数，由题意得，
，
， ，
…………（5分）
令 ， ，令 ， …………（6分）
则 在 上恒成立， …………（8分）
在 上单调递增，即 ，
，当且仅当 时取到，所以曲率 的最大值为 . …………（9分）
（3）证明：由题意可得 ， ，
若 曲率为0，则 ，即 ，即 ， …………（10分）
令 ，则 ，得 ， …………（11分）
所以在 上， ， 单调递增，且 ；
在 上， ， 单调递减，且 .
又 ，所以 有两个解.
设为 ， ， ， …………（13分）
又 ，所以 ，可设 ， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ， ， ，
化简可得 ，则 . …………（15分）
要证 ，即证 ，
需要证 ，即证 ， …………（16分）
令 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，得证. …………（17分）
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