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2025 年春高河中学高二第一次月考数学试题 B．函数 在区间 上的最大值为1
C．函数 在点 处的切线方程为
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知函数在 处的导数为4，则 （ ） D．若关于 的方程 在区间 上有两解，则
A． B．2 C． D．4
10．已知抛物线 ： 的焦点为 ，过 的直线 交抛物线于 ， 两点，且 ，
2．下列求导运算不正确的是（ ）
在其准线上的射影分别为 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
A.若直线 轴，则 B. C. D.
C． D． 11．已知函数 的导函数为 （ ）
A．若 有三个零点，则 B．
3．已知等比数列 是递增数列，其前n项和为 ， ， ，则 （ ）
C． 是 的极小值点 D．当 时，则
A．1 B．2 C．3 D．4 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
4．已知P是椭圆E： 上异于点 ， 的一点，E的离心率为 ， 12．已知函数 ，则 _____________.
则直线AP与BP的斜率之积为
13．已知曲线 与 的公切线为 ，则实数 __________.
A． B． C． D．
14．已知 ，对任意的 ，不等式 恒成立，则k的取值范围是_____．
5．已知函数 为连续可导函数， 的图像如右
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
图所示，以下命题正确的是（ ） 15.（13分）设函数 ．
A． 是函数的极大值 B． 是函数的极小值
(1)讨论函数 的单调性；
C． 在区间 上单调递增 D． 的零点是 和
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围．
6．一个矩形铁皮的长为 ，宽为 ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖
的小盒子，若记小正方形的边长为 ，小盒子的容积为 ，则（ ） 16．（15分）已知函数 ．
A．当 时， 有极小值 B．当 时， 有极大值 (1)若 ，求函数 在 上的最大值和最小值；
(2)讨论函数 的单调性．
C．当 时， 有极小值 D．当 时， 有极大值
7．已知等差数列 （ ）的前n项和为 ，公差 ， ，则使得 的最大整
17．（15分）如图1，在矩形 中，
是 中点，将 沿直线
数n为（ ）
A．9 B．10 C．17 D．18 翻折到 的位置，使得 ，如图2.
（1）求证：面PCE 面ABCE；
8．函数 与函数 有两个不同的交点，则 的取值范围是（ ）
（2）求 与面 所成角的正弦值.
A． B． C． D．
18．（17分）已知正项数列 的前 项和为 ，且满足 .
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） (1)证明： 为等差数列.
9．（多选题）已知函数 ，则（ ） (2)求 的值和 的通项公式.
A．函数 在区间 上单调递减
(3)若数列 满足 ，其前 项和为 ，证明： .所以当 ， ， 在 单调递减，
19．（17分）已知函数 . 所以当 ， ， 在 单调递增，
所以 在 时取到极小值，且 ，
(1)当 时，讨论 的单调性；
又因为 ， ，
(2)若 ，讨论方程 的根的个数. 综上，函数 在 上的最大值为 ，最小值为 .
（2）因为 ，所以 ，
高二月考数学参考答案
当 ，即 时， ，
在 单调递增，
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
当 ，即 时，
答案 A C D C B B C D AC CD
题号 11 令 ，则 ，
答案 ABD
所以当 ， ， 在 单调递增，
12． 13． 14．
当 ， ， 在 单调递减，
当 ， ， 在 单调递增.
15．(1)答案见解析 (2)
综上所述，当 时， 在 单调递增，
【详解】（1）由 ，则
当 时， 在 ， 单调递增，在 单调递减.
当 时， 恒成立，则 在 上单调递增；
17．（1）证明见解析；（2） .
当 时，令 ，解得 ，
【详解】（1）证明：连结 ，
时， ，则 在 上单调递增；
时， ，则 在 上单调递减．
（2） 由题意 恒成立，
由图1可得
因为 ，即得 恒成立，即 ， ，
在图2中
又 面PEC
记 则 ，
面ABCE 面PCE 面ABCE
（2）以点 为原点，分别以 直线为 轴， 轴，以经过点 且垂直于平面 的直线为
令 ，得 ，令 ，得 ，即 在 上单调递减，
轴建立直角坐标系.
令 可得 ，即 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，即实数 的取值范围为 ．
16．(1)最大值为 ，最小值为 ；(2)答案见解析.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
由题意可知，
令 ，得 或 ，
由于 ，19． 【详解】（1） 的定义域为 ，则 ，
设面 的法向量为 因 ，由 ，解得 ，
则 令 得 所以
①当 时， 恒成立，
所以 的无递增区间，递减区间为 ；
②当 时， ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以直线 与面 所成角的正弦值为 .
所以 的递增区间为 ，递减区间为 ；
18．(1)证明过程见解析；(2) ， ；(3)证明过程见解析
③当 时， ，
【详解】（1） ①，
当 时， ②，
令 ，得 ；令 ，得 ，
式子①-②得 ，
所以 的递增区间为 ，递减区间为 ；
故 ，故 ，
为正项数列，故 ，所以 ， 综上所述，
当 时， 无递增区间，递减区间为 ；
即 ， 为公差为2的等差数列；
（2）由（1）知， 为公差为2的等差数列， 当 时， 的递增区间为 ，递减区间为 ；
，故 ，
当 时， 的递增区间为 ，递减区间为 ；
中，令 得 ，
即 ，
（2）由题设 ，
将 代入上式得 ，解得 ，
的通项公式为 ；
令 ，则 ，即 在 上单调递增，
（3） ，
故上式 中满足 ，则有 ，可得 ，
③，
故 ④，
式子③-④得
令 ，则 ，由 解得 .
，
当 时， ，当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
故 .当 时， 且 ，当 时， ，
故 .
结合图象，可知，
当 时，方程 有0个实根；
当 或 时，方程 有1个实根；
当 时，方程 有2个实根.
