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江淮十校 2024 届高三第二次联考
数学试题
2023.11
命审单位：安庆一中 命审人：洪汪宝 吴礼琴 陈晨
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求.
1.已知 为虚数单位，复数 满足 ，则
A. B. C. D.
2.已知集合 ，集合 ，则
A. B. C. D.
3.已知点 是 的重心， ， ，则
A. B. C. D.
4.已知幂函数 是 上的偶函数，且函数 在区间 上
单调递增，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
5.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则使 成立的 的最大值为
A.16 B.17 C.18 D.19
6.已知角 为第二象限角，且满足 ，则
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
7.在正四棱台 中， ，点 是底面 的中心，若该四棱台的侧面积为
，则异面直线 与 所成角的余弦值为
A. B. C. D.
8.已知函数 ，若函数 有四个不同的零点 ， ， ，
且 ，则 的取值范围是
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知 且 ，则下列不等关系一定成立的是
A. B.
C. D.
10.在正四棱柱 中， ， ， 分别为棱 ， 的中点，则下列判断正确的
是
A.直线 与直线 互为异面直线
B. 平面
C.平面 截该四棱柱得到的截面是五边形
D.平面 与棱 的交点是棱 的中点
学科网（北京）股份有限公司11.将函数 的图象向左平移 个单位可得到函数 的图象，若 在
区间 内有最值，则实数 的取值范围可能为
A. B. C. D.
12.已知数列 的前 项和为 ，且 ，则下列判断正确的是
A.
B.当 为奇数时，
C.当 为偶数时，
D.数列 的前 项和等于
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知平面向量 ， 满足 ， ， ，则向量 ， 夹角的余弦值为______.
14.已知 ， 且 ，则 的最小值为______.
15.内接于球 的四棱锥 的底面 是等腰梯形，四条侧棱均相等， ， ，
， ，侧棱 与底面 所成角的大小为 ，则球 的表面积为______.
16.设正整数 满足不等式 ，则 的最小值等于______.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知集合 ，函数 的值域为集合 .
（1）当 时，求 ；
学科网（北京）股份有限公司（2）若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求正数 的取值范围.
18.（本小题满分12分）
已知函数 （其中 且 ）是奇函数.
（1）求 ， 的值并判断函数 的单调性；
（2）已知二次函数 满足 ，且其最小值为 .若对 ，
都 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
19.（本小题满分12分）
在锐角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 为其外接圆的圆心， ，
.
（1）求 的大小；
（2）若 ，求边长 的最值.
20.（本小题满分12分）
如图（1），在边长为4的菱形 中， ，点 是边 的中点，连 交对角线 于点
，将 沿对角线 折起得到如图（2）所示的三棱锥 .
（1）点 是边 上一点且 ，连 ，求证： 平面 ；
（2）若二面角 的大小为 ，求二面角 的正弦值.
学科网（北京）股份有限公司图（1） 图（2）
21.（本小题满分12分）
各项均为正数的数列 的首项 ，且满足 .
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
22.（本小题满分12分）
已知函数 .
（1）若 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）若函数 有两个零点 且 ，求证： .
江淮十校 2024 届高三第二次联考
数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 B D D B B C A C BD AC ACD BCD
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1.B【解析】由条件可知 ，所以 ，故选B.
2.D【解析】由已知得 ， ，则 ，故选D.
3.D 【 解 析 】 由 条 件 知 ， 所 以 ， 所 以
，故选D.
4.B【解析】由条件知 解得 或 ，又函数 是 上的偶函数，所以 ，
， ，其对称轴方程为 ，根据条件可知 ，解得 ，故选
学科网（北京）股份有限公司B.
5.B【解析】设等差数列 的公差为 ，根据条件 得 ，解得 ，
又 ， 解 得 ， 于 是 ， 显 然 ， ， 所 以
， ，当 时， ，故选B.
6.C 【 解 析 】 由 条 件 可 知 ， 整 理 得
，因角 为第二象限角，所以 ，于是两边同除以 ，得
，因 ，解得 ，故选C.
7.A【解析】由已知条件得该四棱台的斜高为 ，侧棱长为 ，根据 得
，又 ，所以四边形 是平行四边形，于是 ， ，所以
（ 或 其 补 角 ） 是 异 面 直 线 与 所 成 的 角 ， 根 据 余 弦 定 理 可 知
，故选A.
8.C【解析】作出函数 的大致图象，可知 ， ，于是 ，
所 以 ， ， 即 ， 所 以
，于是 ，故选C.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
9.BD【解析】由条件知 ，又 ，所以B，D正确.
10.AC【解析】根据条件作出图形得到A正确，B错误，C正确，平面 与棱 的交点是棱 的一个
三等分点，D错误.故选AC.
学科网（北京）股份有限公司11.ACD【解析】由条件可知 ，由 ，解得
，于是 ，解得 ，因 ，所以当
时， ；当 时， ；当 时， .故选ACD.
12.BCD 【 解 析 】 由 条 件 知 ， ， 当 为 奇 数 且 时 ，
， 也符合，所以当 为奇数时， ，B正确；当 为偶
数时， ，A 错误，C 正确；于是 ，
， 所 以 数 列 的 前 项 和 为
，D正确.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.【答案】
【解析】由已知得 ，由 得 ，所以 ，于是
.
14.【答案】6
【解析】由 知 ，
所以 ，当且仅当
学科网（北京）股份有限公司， 时等号成立，最小值为6.
15.【答案】
【解析】作 于点 ，则根据条件可得 ， ，设四边形 的外接圆半径大小为 ，
圆心到 的距离为 ，则 ，解得 ， ，根据侧棱 与底面
所 成 角 的 大 小 为 知 点 到 平 面 的 距 离 为 . 设 球 的 半 径 为 ， 则
，解得 ，所以球 的表面积为 .
16.【答案】6
【解析】对所给不等式两边同时取自然对数，则 ，于是
.
构造函数 ， ，求导得 ，
令 ， ，求导得 ，
所以函数 在 上单调递减，则 ，
所以 ，于是函数 在 上单调递减，所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，于是 ，又 是正整数，所以 的
最小值等于6.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.
17.（本小题满分10分）
学科网（北京）股份有限公司解：因
所以
（1）当 时， ，解得 ，所以
于是
（2）由条件知集合 是集合 的真子集，
又
所以 且两等号不能同时成立，解得
又 ，所以正数 的取值范围为
18.（本小题满分12分）
解：（1）由条件可知函数 的定义域为 ，由 是奇函数知 ，
即 ，解得 ，
所以 ，
又 ，
于是 对任意的 恒成立，
即 对任意的 恒成立，解得 ，
所以 ，
又 ，
学科网（北京）股份有限公司因 在 上单调递增，且 ，所以 在 上单调递减， 在 上单调递增，于是函
数 在 上单调递增.
（2）由（1）知当 时，函数 的值域为
又根据条件得 且 ，
当 时， ，则函数 的值域为 ，
于是 ，所以 ，解得 ，
因此实数 的取值范围为 .
19.（本小题满分12分）
解：（1）延长 交外接圆于点 ，
则 ，
所以
由 ，
得 ，
解得 ，
因 ，所以 ，
（2）在 中，由正弦定理得 ，
学科网（北京）股份有限公司于是 ，
因 ，所以 ，
于是
所以边长 的最大值为 ，最小值为4.
解：（1）连 ，由条件知点 是 的重心，则 ，
又 ，所以 ，于是 .
因 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）设 ，以点 为原点，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴建立空间坐标系，
如图所示，
因 ， ，则 为二面角 的平面角，
于是 ，因 ， ，所以 ，
所以 ， ， ， ， ，
于是 ， ，
学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量为 ，则 ，
即 ，
解得 ，不妨取 ，
则
又平面 的法向量为
则 ，
所以二面角 大小的正弦值为 .
21.（本小题满分12分）
解：（1）由 得 ，
两边同除以 ，得 ，
即 ，
于是 ，
因 ，所以 ，因此 即 ，
又 ，所以数列 是首项为1，公比为2的等比数列.
（2）由（1）知 ，所以 ，
于是 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
，
上述两式相减得
所以 .
22.（本小题满分12分）
解：（1）函数 的定义域为 ，
对其求导得 ，
当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减
所以函数 的最大值为 ，解得 ，
因此实数 的取值范围是 .
（2）由题意可知 ，
所以 （*）
因 ，令 ，则
于是由（*）式可得 ，
构造函数 ，
学科网（北京）股份有限公司对其求导得 ，
令 ，
对其求导得
所以函数 在 上单调递增，所以 ，
于是 ，函数 在 上单调递增，所以 ，
因此 ，
于是 ，得证.
学科网（北京）股份有限公司
