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2024-2025 学年第一学期高三七诊考试（数学试卷）
考试时间：120分钟； 试卷分值：150分 命题人：薛梅
一、单选题（共8小题，每小题5分）
1. 集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知直线l经过点 ，且与直线 垂直，则直线l的方程为（ ）
A. B. C. D.
4. 设S 为等差数列{a}的前n项和，且 ，则S =（ ）
n n 13
A. 78 B. 91 C. 39 D. 26
5. 若 、 且 ，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 若向量 的夹角为 ， ，若 ，则实数 （ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数 ，则（ ）
A. 它的最小值为 B. 它的最大值为2
C. 它的图象关于直线 对称 D. 它的图象关于点 对称
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学科网（北京）股份有限公司8. 设椭圆 （ ）的左焦点为F，O为坐标原点．过点F且斜率为 的直线与C的
一个交点为Q（点Q在x轴上方），且 ，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（共3小题，每小题6分）
9. 年，是中国共产主义青年团成立 周年.为庆祝建团 周年，某中学全体学生参加了主题为
“赓续红色血脉·争当青春先锋”的知识竞赛，随机抽取了若干名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的
成绩都在 分至 分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，
则下列说法正确的是（ ）
A. 直方图中 的值为
B. 成绩在区间 内的学生最多
C. 估计全校学生的平均成绩为 分
的
D. 估计全校学生成绩 样本数据的 分位数约为 分
10. 如图，正方体 的棱长为1，线段 上有两个动点 ，且 ，下列选项正
确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A.
.
B 平面
C. 的面积与 的面积相等
D. 三棱锥 的体积为定值
11. 抛物线 的焦点为 、 为其上一动点，当 运动到 时， ，直线 与抛物线
相交于 、 两点，点 ，下列结论正确的是（ ）
A. 抛物线的方程为
B. 的最小值为4
C. 当直线 过焦点 时，以 为直径的圆与 轴相切
D. 存在直线 ，使得 两点关于 对称
三、填空题（共3小题，每小题5分）
12. 记 为递增等比数列 的前 项和，若 ， ，则 ___．
13. 为了落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某校开设 三门德育校本课程，现有甲､乙､丙､
丁四位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有
_____________.
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14. 设函数 是定义在 上 奇函数，且满足 对一切 都成立，又当
时， ，则下列四个命题：
的
①函数 是以4为周期 周期函数；
②当 时， ；
③函数 的图象关于 对称；
④函数 的图象关于 对称.
其中正确的命题是_______．
四、解答题（共77分）
15. 在ΔABC中，内角 的对边分别为 ，且 .
（1）求 ；
（2）若 ， ，求ΔABC的面积.
16. 如图，在三棱柱 中，四边形 是矩形， ，
．
（1）求证： 平面 ；
的
（2）求平面 与平面 所成角 余弦值．
17. 设函数 .
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学科网（北京）股份有限公司（1） 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）证明： 至多只有一个零点.
18. 已知椭圆 过点 ，且离心率 .
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线 与椭圆C相交于 两点( 不是左右顶点)，椭圆的右顶点为D，且满足
，试判断直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
19. 已知数列 的前 项和为 ，点 在函数 图象上；
（1）证明 是等差数列；
（2）若函数 ，数列 满足 ，记 ，求数列 前 项和 ；
（3）是否存在实数 ，使得当 时， 对任意 恒成立？若存在，求
出最大的实数 ，若不存在，说明理由.
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