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安徽省安庆市怀宁县高河中学 2024-2025 学年高二上学期期末数学试
卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知−2，𝑥，𝑦，𝑧，−4成等比数列，则𝑥𝑦𝑧 =( )
A. ±16√ 2 B. −16√ 2 C. ±16 D. −16
𝑥2 𝑦2 1
2.已知双曲线 − = 1(𝑎> 0,𝑏> 0)的左焦点𝐹(−𝑐,0)到其渐近线的距离为 𝑐，则该双曲线的离心率为
𝑎2 𝑏 2 2
( )
2√ 3
A. 2 B. 2√ 2 C. D. 2√ 3
3
3.“𝑎 =−5”是“直线𝑙：𝑥+√ 3𝑦+𝑎 = 0被圆(𝑥−1)2+(𝑦−2√ 3)2 =5截得的弦长为4”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知{𝑎 }是公差为2的等差数列，且𝑎 ，𝑎 ，𝑎 成等比数列，则𝑆 等于( )
𝑛 1 2 5 8
A. 44 B. 48 C. 64 D. 108
5.如图的平行六面体𝐴𝐵𝐶𝐷 −𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 中，点𝑀在𝐵𝐵上，点𝑁在𝐷𝐷 上，且𝐵𝑀 =
1 1 1 1 𝑙 1
1 1
𝐵𝐵 ,𝐷 𝑁= 𝐷 𝐷，若𝑀⃗⃗⃗⃗⃗𝑁⃗⃗ =𝑥𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ +𝑦𝐴⃗⃗⃗⃗𝐷⃗⃗ +𝑧𝐴⃗⃗⃗⃗𝐴⃗⃗⃗ ，则𝑥+𝑦 +𝑧 =( )
2 1 1 3 1 1
1
A.
7
1
B.
6
2
C.
3
3
D.
2
𝑎 =𝑎 −2(𝑛为奇数)
6.已知数列{𝑎 }，𝑎 =2，𝑎 =0，且{ 𝑛+2 𝑛 ，则数列{𝑎 }的前2023项之和为( )
𝑛 1 2 𝑛
𝑎 =𝑎 +2(𝑛为偶数)
𝑛+2 𝑛
A. 0 B. 2 C. 2024 D. 4048
𝑥2 𝑦2
7.已知双曲线𝐶： − = 1(𝑎> 0,𝑏> 0)的左，右焦点分别为𝐹 ，𝐹 ，𝑂为坐标原点，点𝑃是双曲线𝐶上的
𝑎2 𝑏 2 1 2
一点，|𝑂𝑃|= |𝑂𝐹 |，且△𝑃𝑂𝐹 的面积为4，则实数𝑏 =( )
2 1
A. √ 2 B. 2 C. 2√ 2 D. 4
第1页，共7页8.已知𝐹是椭圆𝐶： 𝑥2 + 𝑦2 = 1(𝑎>𝑏 > 0)的右焦点，点𝑃在椭圆𝐶上，线段𝑃𝐹与圆(𝑥− 𝑐 )2+𝑦2 = 𝑏 2 相切于
𝑎2 𝑏 2 2 16
点𝑄，且𝑃⃗⃗⃗⃗𝑄⃗ = 3𝑄⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ ，则椭圆𝐶的离心率等于( )
2 1 √ 2 √ 5
A. B. C. D.
3 2 2 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.等差数列{𝑎 }的前𝑛项和为𝑆 ，若𝑎 >0，公差𝑑 ≠0，则( )
𝑛 𝑛 1
A. 若𝑆 > 𝑆 ，则𝑆 < 0 B. 若𝑆 =𝑆 ，则𝑆 是𝑆 中最大的项
4 8 12 4 8 6 𝑛
C. 若𝑆 >𝑆 ，则𝑆 >𝑆 D. 若𝑆 > 𝑆 ，则𝑆 >𝑆
5 6 4 5 3 4 4 5
10.下列结论正确的是( )
A. 直线(3+𝑚)𝑥+4𝑦−3+3𝑚= 0(𝑚∈ 𝑅)恒过定点(−3,−3)
B. 直线√ 3𝑥+𝑦+1= 0的倾斜角为120°
C. 圆𝑥2 +𝑦2= 4上有且仅有3个点到直线𝑙：𝑥 −𝑦 +√ 2 =0的距离都等于1
D. 与圆(𝑥−2)2+𝑦2 =2相切，且在𝑥轴、𝑦轴上的截距相等的直线有两条
𝑥2 𝑦2
11.已知椭圆𝐶： + =1的左、右焦点分别为𝐹 ，𝐹 ，直线𝑙与椭圆𝐶交于𝑀，𝑁两点，且点𝑃(1,1)为线段𝑀𝑁
6 2 1 2
的中点，则下列说法正确的是( )
A. 椭圆𝐶的离心率为√ 6 B. △𝑃𝐹 𝐹 的面积为1
3 1 2
C. 直线𝑙的方程为𝑥+3𝑦−4 =0 D. |𝑀𝑁|=
2√ 10
3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.等差数列{𝑎 }的前𝑛项和𝑆 =𝑛2+2𝑛+𝑎，等比数列{𝑏 }的前𝑛项和𝑇 =3𝑛+𝑏(其中𝑎，𝑏为实数)则𝑎+𝑏
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛
的值为______．
13.已知抛物线𝐶：𝑦 = √ 2 𝑥2的焦点为𝐹，𝑂为坐标原点，𝑃为抛物线𝐶上一点，且满足|𝑃𝐹|= 3√ 2，则△𝑃𝑂𝐹
8
的面积为______．
14.已知数列{𝑎 }满足𝑎 =12，𝑎 −𝑎 = 2𝑛，则
𝑎𝑛的最小值为______．
𝑛 1 𝑛+1 𝑛 𝑛
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知直线𝑙 ：4𝑥−3𝑦+10 =0与𝑙 垂直，且𝑙 经过点(1,1)．
1 2 2
(1)求𝑙 的方程；
2
(2)若𝑙 与圆𝐶：𝑥2+(𝑦− 11 )2 =25相交于𝐴，𝐵两点，求|𝐴𝐵|．
2 2
第2页，共7页16.(本小题12分)
已知{𝑎 }为等差数列，{𝑏 }是公比为正数的等比数列，𝑎 =𝑏 = 2，𝑎 = 2𝑏 −1，𝑏 = 2𝑎 +2．
𝑛 𝑛 1 1 2 1 3 2
(1)求{𝑎 }和{𝑏 }的通项公式；
𝑛 𝑛
(2)求数列{𝑎 ⋅𝑏 }的前𝑛项和．
𝑛 𝑛
17.(本小题12分)
如图，在三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶中，平面𝑃𝐴𝐵⊥平面𝐴𝐵𝐶，𝑃𝐴 =𝑃𝐵，𝐵𝐶 ⊥𝑃𝐴．
(1)求证：𝐴𝐵 ⊥𝐵𝐶；
(2)若𝐴𝐵 =𝐵𝐶 =𝑃𝐴 =2，𝐷是线段𝑃𝐵上的一点，若直线𝑃𝐶与平面𝐴𝐶𝐷所成角的正弦值为√ 10 ，求𝑃𝐷的长．
10
18.(本小题12分)
𝑥2 𝑦2
已知椭圆𝐶： + = 1的长轴长为4，短轴长与焦距相等．
𝑎2 𝑏 2
(1)求椭圆𝐶的标准方程和离心率；
2
(2)已知直线𝑦 = 𝑘𝑥+2与椭圆𝐶有两个不同的交点𝐴，𝐵，𝑃(− ,0)，是否存在实数𝑘，使得△𝑃𝐴𝐵是以𝐴𝐵为
3
底边的等腰三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
19.(本小题12分)
已知数列{𝑎 }的前𝑛项和𝑆 = 1 (1−𝑎 )(𝑛∈ 𝑁∗).若2+𝑏 =3𝑙𝑜𝑔 𝑎 ，且数列{𝑐 }满足𝑐 =𝑎 ⋅𝑏 ．
𝑛 𝑛 3 𝑛 𝑛 1 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛
4
(1)求证：数列{𝑏 }是等差数列；
𝑛
2
(2)求证：数列{𝑐 }的前𝑛项和𝑇 < ．
𝑛 𝑛 3
(3)若𝑐 ≤ 1 (𝑡2+𝑡−1)对一切𝑛∈ 𝑁∗恒成立，求实数𝑡的取值范围．
𝑛 4
第3页，共7页1.【答案】𝐵
2.【答案】𝐶
3.【答案】𝐴
4.【答案】𝐶
5.【答案】𝐵
6.【答案】𝐵
7.【答案】𝐶
8.【答案】𝐷
9.【答案】𝐴𝐵𝐷
10.【答案】𝐵𝐶
11.【答案】𝐴𝐶
12.【答案】−1
13.【答案】2√ 2
14.【答案】6
15.【答案】解：(1)由直线𝑙 ：4𝑥−3𝑦+10=0，因为𝑙 ⊥𝑙 ，
1 1 2
设直线𝑙 的方程为3𝑥+4𝑦+𝑎 =0，又因为直线𝑙 过点(1,1)，
2 2
则3+4+𝑎 =0，解得𝑎 =−7，
所以直线𝑙 的方程为3𝑥+4𝑦−7= 0；
2
(2)由圆𝐶：𝑥2+(𝑦− 11 )2= 25，可得圆心𝐶(0, 11 )，半径𝑟 =5，
2 2
11
|4× −7|
则圆心𝐶到直线𝑙 ：3𝑥+4𝑦−7= 0的距离为𝑑 = 2 =3，
2
√ 32+42
又由圆的弦长公式，可得弦长|𝐴𝐵|= 2√ 𝑟2−𝑑2 =2√ 25−9 =8．
16.【答案】解：(1)由题意设等差数列等比数列的公差公比分别为𝑑，𝑞 >0，
则由题意有2+𝑑 =3，2𝑞2=2(2+𝑑)+2，解得𝑑 =1，𝑞= 2，
所以{𝑎 }和{𝑏 }的通项公式分别为𝑎 =2+(𝑛−1)=𝑛+1,𝑏 =2⋅2𝑛−1 =2𝑛,(𝑛∈ 𝑁∗)；
𝑛 𝑛 𝑛 𝑛
(2)设数列{𝑎 ⋅𝑏 }的前𝑛项和为𝑆 ，
𝑛 𝑛 𝑛
由(1)可得𝑎 ⋅𝑏 =(𝑛+1)⋅2𝑛,(𝑛∈𝑁∗)，
𝑛 𝑛
所以𝑆 =2⋅21+3⋅22+⋯+(𝑛+1)⋅2𝑛，
𝑛
第4页，共7页2𝑆 =2⋅22+3⋅23+⋯+(𝑛 +1)⋅2𝑛+1，
𝑛
4×(1−2𝑛−1)
两式相减得−𝑆 = 2⋅21+22+⋯+2𝑛−(𝑛+1)2𝑛+1 =4+ −(𝑛+1)2𝑛+1= −𝑛⋅ 2𝑛+1，
𝑛 1−2
所以数列{𝑎 ⋅𝑏 }的前𝑛项和为𝑆 =𝑛⋅2𝑛+1,(𝑛∈𝑁∗)．
𝑛 𝑛 𝑛
17.【答案】(1)证明：取𝐴𝐵的中点𝑂，连接𝑃𝑂，如图所示，
因为𝑃𝐴 =𝑃𝐵，𝑂是𝐴𝐵的中点，所以𝑃𝑂 ⊥𝐴𝐵，
又平面𝑃𝐴𝐵⊥平面𝐴𝐵𝐶，平面𝑃𝐴𝐵∩平面𝐴𝐵𝐶 =𝐴𝐵，𝑃𝑂⊂平面𝑃𝐴𝐵，所以𝑃𝑂⊥平面𝐴𝐵𝐶，
又𝐵𝐶 ⊂平面𝐴𝐵𝐶，所以𝑃𝑂⊥𝐵𝐶，
又𝐵𝐶 ⊥𝑃𝐴，𝑃𝐴∩𝑃𝑂 =𝑃，𝑃𝐴，𝑃𝑂⊂平面𝑃𝐴𝐵，所以𝐵𝐶 ⊥平面𝑃𝐴𝐵，
又𝐴𝐵⊂平面𝑃𝐴𝐵，所以𝐴𝐵⊥𝐵𝐶；
(2)解：设𝐴𝐶的中点为𝐸，则𝑂𝐸//𝐵𝐶，又𝐴𝐵⊥ 𝐵𝐶，所以𝑂𝐸 ⊥ 𝐴𝐵，
以𝑂为坐标原点，以𝑂𝐸，𝑂𝐵，𝑂𝑃所在直线分别为𝑥轴、𝑦轴、𝑧轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则𝑃(0,0,√ 3)，𝐴(0,−1,0)，𝐶(2,1,0)，𝐵(0,1,0)，
设𝐵⃗⃗⃗⃗𝐷⃗⃗ = 𝜆𝐵⃗⃗⃗⃗𝑃⃗ (0≤ 𝜆≤1)，则𝐴⃗⃗⃗⃗𝐷⃗⃗ =𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ +𝐵⃗⃗⃗⃗𝐷⃗⃗ =(0,2,0)+𝜆(0,−1,√ 3) =(0,2−𝜆,√ 3𝜆)，
𝐶⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ = 𝐶⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ +𝐵⃗⃗⃗⃗𝐷⃗⃗ = (−2,0,0)+𝜆(0,−1,√ 3)=(−2,−𝜆,√ 3𝜆)，
设平面𝐴𝐶𝐷的一个法向量为𝑛⃗ = (𝑥,𝑦,𝑧)，
𝑛⃗⃗ ⋅𝐴⃗⃗⃗⃗𝐷⃗⃗ = (2−𝜆)𝑦+√ 3𝜆𝑧 =0
则{ ，令𝑧 =2−𝜆，解得𝑦 = −√ 3𝜆，𝑥= √ 3𝜆，
𝑛⃗⃗ ⋅𝐶⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ =−2𝑥−𝜆𝑦+√ 3𝜆𝑧 =0
所以平面𝐴𝐶𝐷的一个法向量为𝑛⃗⃗ = (√ 3𝜆,−√ 3𝜆,2−𝜆)，
又𝐶⃗⃗⃗⃗𝑃⃗ =(−2,−1,√ 3)，
所以|cos <𝑛⃗⃗ ,𝐶⃗⃗⃗⃗𝑃⃗ > |= | | 𝑛⃗⃗ 𝑛⃗⃗ |⋅ ⋅ | 𝐶⃗⃗⃗ 𝐶⃗ ⃗ ⃗⃗ 𝑃⃗⃗ ⃗𝑃 ⃗⃗ | | = √ 8⋅√ 3 2 𝜆 √ 2 + 3 3 |1 𝜆 − 2 + 𝜆| (2−𝜆) 2 = √ 1 1 0 0 ，
1 11
解得𝜆= 或𝜆= (舍去)，所以𝑃𝐷 =1．
2 4
18.【答案】解：(1)由题意可得：2𝑎 = 4，2𝑏 =2𝑐，𝑎2 =𝑏2 +𝑐2，
联立解得𝑎 =2，𝑏 =𝑐 =√ 2，
第5页，共7页∴椭圆𝐶的标准方程为： 𝑥2 + 𝑦2 =1，离心率𝑒 = 𝑐 = √ 2 ．
4 2 𝑎 2
(2)设𝐴(𝑥 ,𝑦 )，𝐵(𝑥 ,𝑦 )，线段𝐴𝐵的中点𝑀(𝑥 ,𝑦 )，
1 1 2 2 0 0
𝑦 =𝑘𝑥+2
联立{ 𝑥2 𝑦2 ，化为：(1+2𝑘2)𝑥2+8𝑘𝑥+4= 0，(𝑘≠ 0)，
+ =1
4 2
𝛥 =64𝑘2−16(1+2𝑘2)>0，化为𝑘2 > 1 ．
2
8𝑘 4
𝑥 +𝑥 =− ，𝑥 𝑥 = ，
1 2 2 1 2 2
1+2𝑘 1+2𝑘
1 4𝑘 2
∴𝑥 = (𝑥 +𝑥 )=− ，𝑦 = 𝑘𝑥 +2 = ，
0 2 1 2 1+2𝑘 2 0 0 1+2𝑘 2
2 1 4𝑘
∴线段𝐴𝐵的垂直平分线方程为：𝑦 − =− (𝑥+ )，
1+2𝑘 2 𝑘 1+2𝑘 2
把𝑃(− 2 ,0)代入可得：− 2 =− 1 (− 2 + 4𝑘 )，化为：2𝑘2−3𝑘+1 =0，
3 1+2𝑘 2 𝑘 3 1+2𝑘 2
1
解得𝑘 =1或𝑘 = ，
2
∵𝑘2 > 1 ，∴ 𝑘 = 1 不符合题意，舍去．
2 2
∴𝑘 =1．
∴存在实数𝑘 =1，使得△𝑃𝐴𝐵是以𝐴𝐵为底边的等腰三角形，
2 4
直线的方程为𝑦− =−(𝑥+ )，化为：3𝑥+3𝑦+2 =0．
3 3
1 1
19.【答案】解：(1)证明：由题意知𝑆 = − 𝑎 ，
𝑛 3 3 𝑛
1 1 1
当𝑛≥ 2时，𝑎 = 𝑆 −𝑆 = 𝑎 − 𝑎 ，所以𝑎 = 𝑎 ．
𝑛 𝑛 𝑛−1 3 𝑛−1 3 𝑛 𝑛 4 𝑛−1
1 1 1
当𝑛= 1时，𝑆 = − 𝑎 =𝑎 ，所以𝑎 = ，
1 3 3 1 1 1 4
1 1
所以数列{𝑎 }是以 为首项， 为公比的等比数列，
𝑛 4 4
1
则𝑎 = ，
𝑛 4𝑛
因为2+𝑏 =3𝑙𝑜𝑔 𝑎 ，所以𝑏 =3𝑙𝑜𝑔 𝑎 −2 =3𝑙𝑜𝑔 ( 1 )𝑛−2 =3𝑛−2，
𝑛 1 𝑛 𝑛 1 𝑛 1 4
4 4 4
所以𝑏 =1，令𝑏 = 𝑏 +(𝑛−1)𝑑，可得𝑑 =3，
1 𝑛 1
所以数列{𝑏 }是以1为首项，3为公差的等差数列．
𝑛
(2)证明：由(1)知𝑐 =𝑎 ⋅ 𝑏 =( 1 )𝑛×(3𝑛−2)，
𝑛 𝑛 𝑛 4
所以𝑇 =𝑐 +𝑐 +⋯+𝑐 = 1 ×1+( 1 )2 ×4+⋯+( 1 )𝑛−1× (3𝑛−5)+( 1 )𝑛 ×(3𝑛−2)，
𝑛 1 2 𝑛 4 4 4 4
第6页，共7页所以 1 𝑇 = ( 1 )2×1+( 1 )3×4+⋯+( 1 )𝑛× (3𝑛−5)+( 1 )𝑛+1 ×(3𝑛−2)，
4 𝑛 4 4 4 4
两式相减，可得 3 𝑇 = 1 ×1+( 1 )2×3+( 1 )3 ×3+⋯+( 1 )𝑛×3−( 1 )𝑛+1×(3𝑛−2)
4 𝑛 4 4 4 4 4
1 2 1 𝑛−1
= 1 +3× ( 4 ) [1−( 4 ) ] −( 1 )𝑛+1 ×(3𝑛−2) = 1 − 1 − 3𝑛−2 ，
4 1− 1 4 2 4𝑛 4𝑛+1
4
所以𝑇 = 2 − 3𝑛+2 × ( 1 )𝑛，所以𝑇 < 2 ．
𝑛 3 3 4 𝑛 3
(3)若𝑐 ≤ 1 (𝑡2+𝑡−1)对一切𝑛∈ 𝑁∗恒成立，只需要𝑐 的最大值小于或等于 1 (𝑡2+𝑡−1)．
𝑛 4 𝑛 4
因为𝑐 −𝑐 = (3𝑛+1)×( 1 )𝑛+1−(3𝑛−2)×( 1 )𝑛 = 9−9𝑛 ≤0，
𝑛+1 𝑛 4 4 4𝑛+1
1
所以𝑐 =𝑐 >𝑐 > 𝑐 > ⋯𝑐 ，所以数列{𝑐 }的最大项为𝑐 和𝑐 ，且𝑐 =𝑐 = ．
1 2 3 4 𝑛 𝑛 1 2 1 2 4
所以 1 ≤ 1 (𝑡2+𝑡−1)，即𝑡2+𝑡−2 ≥0，
4 4
解得𝑡 ≥1或𝑡 ≤−2，即实数𝑡的取值范围是(−∞,−2]∪[1,+∞)．
第7页，共7页
