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成都石室中学 2024-2025 年度下期高 2024 届二诊模拟考试
数学试题（文）（A 卷）参考答案
一、选择题：
1
z=
1.已知复数 1+i（其中i为虚数单位），则z的虚部是
1 1 1 1
− − i i
2 2 2 2
A. B. C. D.
1 1−i 1
z= = −
1.A 1+i 2 ,所以z的虚部是 2 .
{ 1}
A={1,2},B= y|y=x2
2.若集合 ，则 a∈A 是a∈B的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.A B=[0,+∞) ，则A是B的真子集，则 a∈A 是a∈B的充分不必要条件.
3.如图是根据某校高三8位同学的数学月考成绩（单位：分）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右
分别表示学生数学月考成绩的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生数学月考成绩的个位数字，则
下列结论正确的是 11 8 7 7
A.这8位同学数学月考成绩的极差是14
12 5 1 3
B.这8位同学数学月考成绩的中位数是122
13 1 2
C.这8位同学数学月考成绩的众数是118
D.这8位同学数学月考成绩的平均数是124
3.B 对于选项A,极差是 ，故A错误;
121+123
=122
2
对于选项B，中位数是 ，故B正确;
对于选项C，众数是117，故C错误;
对于选项D，平均数是 ，故D错误，故选B.
4.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由
半圆和矩形组成，则这个几何体的体积是
3 5 7 9
π π π π
2 3 3 2
A. B. C. D.
4.A 还原成直观图后，几何体由一个圆柱和八分之三个球组成，故这个
1
学科网（北京）股份有限公司几何体的体积 .
5.已知数列 为等差数列，且 ，则 的值为
A.2 B.4 C.6 D.8
a +a +a +a +a =10 5a =10 a =2 a +a =4
5.B 因为 2 3 6 9 10 ，由等差数列的性质，得 6 ， 6 ，所以 4 8 .
1 1
+ =1
6.若 a,b 是正实数，且3a+b 2a+4b ，则a+b的最小值为
4 2
A．5 B．3 C．1 D．2
1 1 ( 1 1 )
a+b= [(3a+b)+(2a+4b)]⋅1= [(3a+b)+(2a+4b)]⋅ +
6.A 因为
5 5 3a+b 2a+4b
1( 2a+4b 3a+b ) 4 3 1 4
= 2+ + ≥ a= ,b=
5 3a+b 2a+4b 5 ，当且仅当 5 5时取等号，所以a+b的最小值为5 .
π
00,b>0)
12.若双曲线 a2 b2 的左、右焦点分别为 F 1 ,F 2，过右焦点 F 2的直线 与双曲线C交于
(b )
A,B 两点，已知 的斜率为k，
k∈
a
,+∞
，且 |AF 2 |=2|F 2 B| ， ∠F 1 AB=600 ，则直线AB的斜率是
√3
A. 2√3 B. √3 C. 3 D.2
|F B|=x |F A|=2x |F A|=2a+2x,|F B|=2a+x
12.A 设 2 ，则 2 ，由双曲线定义，得 1 1 .
a
在 ΔAF 1 B 中，由余弦定理，得 |F 1 B| 2 =|F 1 A| 2 +|AB| 2 −2|F 1 A||AB|cos600 ，解得 x= 3 .
√13
ΔAF F 4c2 =|F A| 2 +|F A| 2 −2|F A||F A|cos600
e=
3
在 1 2中，由余弦定理，得 1 2 1 2 ,解得 .
7
学科网（北京）股份有限公司x2 y2 ( 2)
C: − =1 x=my−√13t 00)
，则
c=√13t,b=2t
，
9t2 4t2
，设 ：
3
，联立
x2 y2 8√13mt 16t2
− =1 y +y = ,y y =
9t2 4t2 ， ，得 (4m2 −9)y2 −8√13mty+16t2 =0 ， 1 2 4m2 −9 1 2 4m2 −9 .
1
|AF|=2|F B| y =−2y
m=
2√3 k =2√3
由 2 2 ，得 1 2，则 ，所以 AB .
b2 b2
a a
|AF|= |BF|=
法二：设直线倾斜角 为α，由双曲线第二定义得： 2 1−ecosα， 2 1+ecosα ，又
|AF
2
|=2|F
2
B|
，则
e=√1+k
A
2
B
| 2
1
−
+2
1 |
，又
k∈ (b
a
,+∞ )
，则
k
AB
=2√3
.
二、填空题：
13.已知向量
⃗a=(1,−2)
，
⃗b=(2,x)
，若
⃗a⊥ ⃗b
，则实数x= .
13.1 因为 ⃗a⊥ ⃗b ，所以 ，解得x=1 .
14.已知实数x,y满足约束条件 ，则 z=3x+2y 的最大值是 .
14.3 作出x,y满足的可行域如图中阴影部分所示，作出直线 并平移，当直线过点 时，
z=3x+2y
，所以 的最大值是3.
8
学科网（北京）股份有限公司(1) n
S =x⋅ +27
n 3 a a ⋯a
15.已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 1 2 n取最大值时，n的值为
．
a a 1
S = 1 − 1 ⋅qn x=−27,q=
15.3 等比数列 的公比为 ，由等比数列前n项和公式 n 1−q 1−q ，得 3 .又
a 1 =18 ，则
a
n
=18⋅ (
3
1) n−1
， a 2 =6,a 3 =2,a 4 = 3
2
，所以 a 1 a 2 ⋯a n取最大值时，n的值是3.
x2 +1
ln ≤ex −x2 −mx−1
16.若 x≥1 ，恒有 ex −mx ，则m的取值范围是 .
x2 +1
ln ≤ex −x2 −mx−1
16. 由 ex −mx ，得 ex −mx>0 在 x≥1 上恒成立，即m≤e.
且 ，即 .因为
y=lnx+x
在 上是增函数，所以 ，所以 .令 ，则
，所以 在 上单调递增， ，所以 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（12分）
为了去库存，某商场举行如下促销活动：有两个摸奖箱， 箱内有1个红球、1个黑球、8个白球， 箱
内有4个红球、4个黑球、2个白球，每次摸奖后放回．消费额满300元有一次 箱内摸奖机会，消费额
满600元有一次 箱内摸奖机会.每次机会均为从箱子中摸出1个球，中奖规则如下：红球奖50元代金券、
黑球奖30元代金券、白球奖10元代金券．
ξ
（Ⅰ）某三位顾客各有一次 箱内摸奖机会，求中奖10元代金券人数 的分布列；
（Ⅱ）某顾客消费额为600元,请问：这位顾客如何抽奖所得的代金券期望值较大？
9
学科网（北京）股份有限公司1
解：（Ⅰ）三位顾客每人一次 箱内摸奖中10元代金券的概率都为5 ，
1
B(3, )
中奖10元代金券的人数 ξ 服从二项分布 5 ，
P(ξ=k)=Ck(1) k
⋅
(4) 3−k
,k=0,1,2,3
3 5 5
……………………………………4分
，
ξ
故 的分布列为
ξ 0 1 2 3
64 48 12 1
P
125 125 125 125
…………6分
（Ⅱ）可以在 箱摸奖2次，或者在 箱内摸奖1次
1 1 8
50× +30× +10× =16
10 10 10
箱摸奖1次所得奖金的期望值为 …………………………8分
，
4 4 2
50× +30× +10× =34
10 10 10
箱摸奖1次所得奖金的期望值为 ， ………………………10分
箱摸奖2次所得奖金的期望值为2×16=32
， 箱摸奖1次所得奖金的期望值为34，
所以这位顾客选 箱摸奖1次所得奖金的期望值较大．…………………………………………12分
17.（文）某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将他们的期中成绩（均为整数）分成六段，
， 后得到如图所示的频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：
(1)求 ，并估计此次期中考试成绩的众数.
(2)利用分层抽样的方法从样本中成绩在 和 两个分数段内的学生中抽5人，再从这5人中
随机抽取2人，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.
10
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）由直方图知： ，则 ，
由图知：区间 的频率最大，故众数为75. …………………………4分
（2）成绩在 分数段的人数有 ，成绩在 分数段的人数有 ，
采用分层抽样的方式，在 抽取 人，记为A，B，C， 抽取 人，记为1，2，
从这5人中随机抽取两人，所有的基本事件有
共10种，……………………………………8分
2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10等价于这2个同学在同一个分数段.
记“这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件N，
则事件N包含的基本事件有 共4种，…………10分
所以所求概率为 . ……………………………………………12分
18.（12分）
f(x)=λ
已知 ，设 .
f(x)
（Ⅰ）求函数 的对称中心；
2√3 √3
f(A)=
（Ⅱ）若ΔABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ， 3 ，且ΔABC 外接圆的半径为 3 ，D
是 BC 边的中点，求线段AD长度的最大值.
{
sinx=m
√3 √3 2√3 π
λ=m+ cosx f(x)=sinx+ cosx= sin(x+ )
3 3 3 6
解：（Ⅰ）由 ，得 .
π π π
x+ =kπ,k∈Z x=kπ− ,k∈Z (kπ− ,0)，k∈Z.
6 6 f (x) 6
令 ,解得 ,所以函数 的对称中心为 ……
11
学科网（北京）股份有限公司6分
2√3 π 2√3 π √3
f(A)= sin(A+ )= A=
（Ⅱ）∵ 3 6 3 ， A∈(0,π) ∴ 3 ，又且ΔABC 外接圆的半径为 3 ，则
√3
a=2⋅ sinA=1
3
，
b2 +c2 −a2
cosA=
法一：∴由余弦定理
2bc
，得
b2 +c2 −bc=1
.
4| ⃗AD | 2 =| ⃗AB | 2 +| ⃗AC | 2 +2| ⃗AB |⋅| ⃗AC | cosA 4| ⃗AD | 2 =c 2 +b 2 + bc =2(c 2 +b 2) −1
2⃗AD= ⃗AB+ ⃗AC
， , .
由 b2 +c2 −bc=1 ， b2 +c2 ≥2bc ，得 c2 +b2 ≤2 ，即（当且仅当b=c=1时等号成立），
√3
4| ⃗AD | 2 ≤3 | ⃗AD| =
∴ ，即 max 2 ，此时，b=c=1 .………………………………12分
时，AD最大，此时ΔABC
为等边三角形，
法二：直接画出三角形的外接圆，由图可知，当
所以AD= ，所以
.
19.（12分）
如图，棱长为 3 的正方体 ABCD−A 1 B 1 C 1 D 1中,E是棱 CC 1上靠近 C 1的三等分点.
A C
（Ⅰ）求证： 1 与平面BDE不垂直；
BF
（Ⅱ）在线段BE上是否存在一点F使得平面 B 1 D 1 F ¿平面BDE？若存在，请计算 BE 的值；若不存在，
请说明理由.
12
学科网（北京）股份有限公司解：以D为坐标原点建立如图的空间直角坐标系，
B(3,3,0),D(0,0,0),E(0,3,2),B (3,3,3),D (0,0,3),A (3,0,3),C(0,3,0)
1 1 1 .
（Ⅰ） ,
因为 ，
A C
所以 1 与平面BDE不垂直..…………5分
BF 12
=
（Ⅱ）存在点F，且 BE 17 .
⃗BF=λ⃗BE F(3−3λ,3,2λ)，λ∈[0,1]
设 ，则 .
⃗DB=(3,3,0),⃗DE=(0,3,2)
，
设平面BDE的法向量为 ⃗n 1 =(x 1 ,y 1 ,z 1 ) ，
{⃗n⋅⃗DB=3x +3y =0
1 1 1
⃗n⋅⃗DE=3y +2z =0
则 2 1 1 ，
y =−2 ⃗n =(2,−2,3)
令 1 ，得 1 .
B D F ⃗n =(2λ−3,−2λ+3,3λ)
同理，平面 1 1 的一个法向量为 2 .
12
若平面 B 1 D 1 F ¿平面BDE，则 ⃗n 1 ⋅⃗n 2 =0 ，即 4λ−6+4λ−6+9λ=0,λ= 17 ， λ∈[0,1] .
12
⃗BF= ⃗BE
所以在线段BE上存在一点F使得平面 B 1 D 1 F 与平面BDE垂直，且 17 .…………12分
3
ABCD−A B C D CE=2EC
19（文科）如图，棱长为 的正方体 1 1 1 1中, 1.
（Ⅰ）若F是线段 AB 的中点，求证：
C
1
F//
平面 BDE ；
D−BB E
（Ⅱ）求三棱锥 1 的体积.
BB H,G C G GF
解：（Ⅰ）如图，分别作出线段 1的三等分点 ，连接 1 ， ，
AH
.
CE=2EC
∵ 1
∴BE//GC ,AH//DE
1
∵F,G BA,BH
分别是 的中点
∴FG//AH
13
学科网（北京）股份有限公司∴FG//DE
∵FG∩GC =G
又 1
GFC //
∴平面 1 平面EBD
∵C F⊂ GFC
1 平面 1
C F//
BDE
∴ 1 平面 …………………………………………………………………………………………6分
1 1 1 9
V = S ¿DC= × ×3×3×3=
（Ⅱ） D−BEB 1 3 ΔBEB 1 3 2 2 …………………………………………………12
分
20.（12分）
x2 y2
E: + =1(a>b>0)
已知点F是椭圆 a2 b2 的右焦点，过原点的直线交椭圆E于 A,B 两点,ΔABF面积的最
√3
大值为 ， .
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）已知过点 P(4,y 0 ) 的直线l与椭圆E交于 M,N 两点，是否存在定点P，使得直线 FM,FN 的斜率
之和为定值？若存在，求出定点P的坐标及该定值.若不存在，请说明理由.
1
S = |OF||y −y |≤bc
解：（Ⅰ）因为 ΔABF 2 A B ，当且仅当 A,B 是y轴与椭圆的交点时取等号，
bc=√3 b2 =3,a2 =4
所以 .又 ,所以 ，
所以椭圆E的标准方程为 ………………………4分
.
（Ⅱ）设直线 的方程为 由 在直线 上，得
联立 化简得
.
14
学科网（北京）股份有限公司由根与系数的关系，得 ………………7分
由 ，得 .
故直线 的斜率之和为
…………9分
……..11分
要使上式为定值，则 故 且 ……..12分
，
21.（12分）
已知函数
f(x)=x2 −ax,x>0.
[a,2a+1]
（Ⅰ）是否存在实数a使得 在区间 上恒成立，若存在，求出a的取值范围，若不存
在，请说明理由；
h(x)=f(x)−a2lnx (1,ea
)
（Ⅱ）求函数 在区间 上的零点个数(e为自然对数的底数).
解：（Ⅰ）
f(x)=x2 −ax,x>0.
，因为 在区间
[a,2a+1]
上恒成立，
{2a+1>a>0
f(a)≥0
f(2a+1)≥0
所以 ，所以a>0，
[a,2a+1]
故对任意的a>0都能满足 在区间 上恒成立.…………………………4分
（Ⅱ） 由区间
(1,ea )
得
ea >1
，所以
a>0
.
a2 2x2 −ax−a2 (2x+a)(x−a)
h' (x)=2x−a− = = (x>0)
x x x
15
学科网（北京）股份有限公司h(x) (0,a) (a，+∞) h(x) =h(a)=−a2lna
所以 在 上单调递减，在 上单调递增， min .……6分
下面先证明：
00) g' (a)=ea −1(a>0)
设 ，则 ，
[0,+∞)
由 得 ，所以 在 上是增函数，故 ．
所以
ea >a
．……………………………7分
h(x) =h(a)=−a2lna
min ，
①当−a2lna>0 ，即01时， 10(a>1)
下面证明 .
m(x)=e2x −xex −x3 (x>1) m' (x)=2e2x −ex −xex −3x2 (x>1)
令 ，则 ，
ϕ(x)=2e2x −ex −xex −3x2 (x>1) ϕ' (x)=4e2x −2ex −xex −6x(x>1)
令 ，则 ，
F(x)=4e2x −2ex −xex −6x(x>1)
令 ，
F' (x)=8e2x −3ex −xex −6=(3e2x −3ex )+(2e2x −xex )+(3e2x −6)>0
则 ，
F(x) (1,+∞) F(x)>F(1)=4e2 −3e−6>0
所以 在 上单调递增， ，
ϕ(x) (1,+∞)
所以 在 上单调递增， ，
m(x) (1,+∞) m(x)>m(1)=e2 −e−1>0
所以 在 上单调递增， ，
16
学科网（北京）股份有限公司h(ea )=e2a −aea −a3 >0(a>1)
所以 ，
h(x)
(1,ea
)
所以函数 在 上有一个零点. ……………………………………11分
h(x) h(x)
综上所述，当 时，函数 无零点；当 时，函数 有一个零点.…12分
22.（10分）
(1,0)
在平面直角坐标系 中，倾斜角为α的直线 过定点 ，以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建
ρsin2θ=4cosθ
立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，直线 与曲线 相交于不同的两点 .
（Ⅰ）若 ，求线段 中点 的直角坐标；
（Ⅱ）若 ，求 的最小值.
解析：（Ⅰ）曲线 的普通方程为 ……1分
时，直线 的参数方程为 （ 为参数），
当
代入 得 ……2分
，
设 ， 对应的参数为 ， ，则 ……3分
，
所以 对应的参数为 ， ……4分
代入参数方程，得点 的直角坐标 . ……5分
17
学科网（北京）股份有限公司（Ⅱ）将直线 的参数方程 （ 为参数）代入 得
， ，
∴ ，当且仅当 时取等号，
∴ 的最小值为 . ……10分
23.（10分）
f(x)=|x+1|
已知函数 .
f(x)+f(2x−1)
