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成都石室中学 2023-2024 年度下期高 2024 届二诊模拟考试
数学试题（理）（A 卷）
（总分：150分，时间：120分钟 ）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1
z=
1.已知复数 1+i（其中i为虚数单位），则z的虚部是
1 1 1 1
− − i i
2 2 2 2
A. B. C. D.
{ 1}
A={1,2},B= y|y=x2
2.若集合 ，则 a∈A 是a∈B的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.如图是根据某校高三8位同学的数学月考成绩（单位：分）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右
分别表示学生数学月考成绩的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生数学月考成绩的个位数字，则
下列结论正确的是 11 8 7 7
A.这8位同学数学月考成绩的极差是14
12 5 1 3
B.这8位同学数学月考成绩的中位数是122
13 1 2
C.这8位同学数学月考成绩的众数是118
D.这8位同学数学月考成绩的平均数是124
4.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和
矩形组成，则这个几何体的体积是
3 5 7 9
π π π π
2 3 3 2
A. B. C. D.
5.已知数列 为等差数列，且 ，则 的值为
A.2 B.4 C.6 D.8
1 1
+ =1
6.若 a,b 是正实数，且3a+b 2a+4b ，则a+b的最小值为
4 2
A．5 B．3 C．1 D．2
π
00,b>0)
12.若双曲线 a2 b2 的左、右焦点分别为 F 1 ,F 2，过右焦点 F 2的直线 与双曲线C交于
(b )
A,B 两点，已知 的斜率为k，
k∈
a
,+∞
，且 |AF 2 |=2|F 2 B| ， ∠F 1 AB=600 ，则直线AB的斜率是
√3
A. 2√3 B. √3 C. 3 D.2
2
学科网（北京）股份有限公司第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13.已知向量
⃗a=(1,−2)
，
⃗b=(2,x)
，若
⃗a⊥ ⃗b
，则实数x= .
14.已知实数x,y满足约束条件 ，则 z=3x+2y 的最大值是 .
(1) n
S =x⋅ +27
n 3 a a ⋯a
15.已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 1 2 n取最大值时，n的值为
．
x2 +1
ln ≤ex −x2 −mx−1
16.若 x≥1 ，恒有 ex −mx ，则m的取值范围是 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分12分）
为了去库存，某商场举行如下促销活动：有两个摸奖箱， 箱内有1个红球、1个黑球、8个白球， 箱
内有4个红球、4个黑球、2个白球，每次摸奖后放回．消费额满300元有一次 箱内摸奖机会，消费额
满600元有一次 箱内摸奖机会.每次机会均为从箱子中摸出1个球，中奖规则如下：红球奖50元代金券、
黑球奖30元代金券、白球奖10元代金券．
ξ
（Ⅰ）某三位顾客各有一次 箱内摸奖机会，求中奖10元代金券人数 的分布列；
（Ⅱ）某顾客消费额为600元,请问：这位顾客如何抽奖所得的代金券期望值较大？
18. （本小题满分12分）
f(x)=λ
已知 ，设 .
f(x)
（Ⅰ）求函数 的对称中心；
3
学科网（北京）股份有限公司2√3 √3
f(A)=
（Ⅱ）若ΔABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ， 3 ，且ΔABC 外接圆的半径为 3 ，D
是 BC 边的中点，求线段AD长度的最大值.
19. （本小题满分12分）
如图，棱长为 3 的正方体 ABCD−A 1 B 1 C 1 D 1中,E是棱 CC 1上靠近 C 1的三等分点.
A C
（Ⅰ）求证： 1 与平面BDE不垂直；
B D F
（Ⅱ）在线段BE上是否存在一点F使得平面
1 1
¿平面BDE？若存在，
BF
BE
请计算 的值；若不存在，请说明理由.
20. （本小题满分12分）
x2 y2
E: + =1(a>b>0)
已知点F是椭圆 a2 b2 的右焦点，过原点的直线交椭圆E于 A,B 两点,ΔABF面积的最
√3
大值为 ， .
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）已知过点 P(4,y 0 ) 的直线l与椭圆E交于 M,N 两点，是否存在定点P，使得直线 FM,FN 的斜率
之和为定值？若存在，求出定点P的坐标及该定值.若不存在，请说明理由.
21. （本小题满分12分）
已知函数
f(x)=x2 −ax,x>0.
[a,2a+1]
（Ⅰ）是否存在实数a使得 在区间 上恒成立，若存在，求出a的取值范围，若不存
在，请说明理由；
4
学科网（北京）股份有限公司h(x)=f(x)−a2lnx (1,ea
)
（Ⅱ）求函数 在区间 上的零点个数(e为自然对数的底数).
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22. （本小题满分10分）
(1,0)
在平面直角坐标系 中，倾斜角为α的直线 过定点 ，以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建
ρsin2θ=4cosθ
立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，直线 与曲线 相交于不同的两点 .
（Ⅰ）若 ，求线段 中点 的直角坐标；
（Ⅱ）若 ，求 的最小值.
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23. （本小题满分10分）
f(x)=|x+1|
已知函数 .
f(x)+f(2x−1)
