文档内容
2023—2024 学年度下期高 2024届二诊模拟考试
理科数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
第 I卷（选择题）
一、选择题：本题共12小题，毎小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．已知集合
试卷第1页，共4页
A = − 2 , − 1 , 0 ,1 , 2 ， B =
x y = x + l o g
3
( 3 − x )
，则 A B = （ ）
A． 0 ,1 , 2 B． 1 , 2 C． − 1 , 0 D． 0 ,1
2．已知直线 l 的方向向量是 a = ( 3 , 2 ,1 ) ，平面的一个法向量是n=(1,−1,−1)，则l与的位置关系是（ ）
A． l ⊥ B． l / / C． l 与相交但不垂直 D． l / / 或 l
3．已知i是虚数单位，aR，则“(a+i)2 =2i”是“a2 =1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．用反证法证明“平面四边形中至少有一个内角不超过 9 0 ”，下列假设中正确的是（ ）
A．假设有两个内角超过 9 0 B．假设四个内角均超过 9 0
C．假设至多有两个内角超过 9 0 D．假设有三个内角超过90
5．2023年7月28日，第31届世界大学生夏季运动会（简称大运会）在四川成都开幕，这是继2001北京
大运会，2011深圳大运会之后，中国第三次举办夏季大运会；在成都大运会中，中国代表团取得了骄人的
成绩．为向大学生普及大运会的相关知识，某高校进行“大运会知识竞赛”，
并随机从中抽取了100名学生的成绩（满分100分）进行统计，成绩均在
50,100内，将其分成5组： 5 0 , 6 0 ) ， 6 0 , 7 0 ) ， 7 0 , 8 0 ) ，80,90)， 9 0 ,1 0 0 ，
并整理得到如下的频率分布直方图，则在被抽取的学生中，成绩落在区间
80,90)内的人数为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
6．华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏
定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他
曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”
结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常
用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数y= f (x)的图象如图所示，则 f (x)的解析式可能是（ ）
{#{QQABIYyQgggoABBAAQhCAwHoCkKQkACACIoOxEAIIAIByBFABAA=}#}{#{QQABIYyQgggoABBAAQhCAwHoCkKQkACACIoOxEAIIAIByBFABAA=}#}且
试卷第3页，共4页
A B = 2 ，则圆 C 的方程为 .
15．已知直线l经过点P(0,1)，且被两条平行直线l ：
1
3 x + y + 1 = 0 和l ：
2
3 x + y + 5 = 0 截得的线段长
为2 2，则直线l的方程为
16．已知椭圆 C :
x
a
2
2
+
y
b
2
2
= 1 ( a b 0 )
2
的左、右焦点分别为F ，F ，离心率为 ，若A和B为椭圆C上
1 2
3
在x轴上方的两点，且 B F
1
= 2 A F
2
，则直线AF 的斜率为 ．
2
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（本小题满分12分）已知等差数列 a
n
的首项 a
1
0 ，公差为d( d 0 )， S
n
为 a
n
的前 n
S
项和， n
a
n
为等差数列．
（1）求 a
1
与d的关系；
（2）若 a
1
= 1 ， T
n
为数列
a
n
1
a
n + 1
的前 n 项和，求使得 T
n
8
9
成立的 n 的最大值．
18．（本小题满分12分）在四棱锥 P A B C D − 中，已知 A B //C D ，AB⊥ AD，
B C ⊥ P A ，AB=2AD=2CD=2，PA= 6， P C = 2 ， E 是线段PB上的点．
(1)求证：PC ⊥底面 A B C D ；
(2)是否存在点 E 使得 P A 与平面 E A C 所成角的余弦值为
5
3
？若存在，求出
B
B
E
P
的值；若不存在，请说明理由．
19．（本小题满分12分）2022年二十国集团领导人第十七次峰会11月16日在印度尼西亚巴厘岛闭幕，峰
会通过《二十国集团领导人巴厘岛峰会宣言》.宣言说，值此全球经济关键时刻，二十国集团采取切实、精
准、迅速和必要的行动至关重要，基于主席国印尼提出的“共同复苏、强劲复苏”主题，各国将采取协调行动，
推进强劲、包容、韧性的全球复苏以及创造就业和增长的可持续发展、中国采取负责任的态度，积极推动
产业的可持续发展，并对友好国家进行技术援助。非洲某芯片企业生产芯片Ⅰ有四道工序，前三道工序的生
产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.
1 1 1
(1)在中国企业援助前，该芯片企业生产芯片Ⅰ的前三道工序的次品率分别为P = ,P = ,P = .
1 50 2 49 3 48
①求生产该芯片I的前三道工序的次品率P ；
I
②第四道工序中，智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检
验.已知芯片Ⅰ智能自动检测显示合格率为98%，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片，该芯片恰
{#{QQABIYyQgggoABBAAQhCAwHoCkKQkACACIoOxEAIIAIByBFABAA=}#}为合格品的概率；
(2)该芯片企业在中国企业援助下，改进生产工艺并生产了芯片Ⅱ. 某手机生产厂商获得芯片Ⅰ与芯片Ⅱ，并在
某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查，据统计，回访的100名
用户中，安装芯片Ⅰ的有40 部，其中对开机速度满意的占70%；安装芯片Ⅱ的有60部，其中对开机速度满
意的占
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1
1
4
5
.现采用分层抽样的方法从开机速度满意的人群中抽取6人，再从这6人中选取3人进行座谈，记
抽到对安装芯片Ⅱ的手机开机速度满意的人数为X，求X 的分布列及其数学期望.
x2 y2 1
20．（本小题满分12分）已知椭圆M : + =1(ab0)的离心率为 ，短轴长为2 3，过点P(1,0)斜
a2 b2 2
率存在且不为0的直线 l 与椭圆有两个不同的交点A，B．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆左右顶点为M，N，设AB中点为Q，直线 O Q 交直线x=4于点R，k (k −k )是否为定值？若是
BN AM PR
请求出定值，若不是请说明理由．
1 1
21．（本小题满分12分）已知函数 f (x)= x2 lnx− +ax(lnx−1)，其中
2 2
a 0 ．
(1)讨论函数 f ( x ) 的单调性；
(2)若 f (x)0，求实数a的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中选一题作答。如果多选，则按所做的第一题记分。
22.【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在直角坐标系 x O y 中，直线 C
1
的参数方程为
x=tcos π
（t为参数，0 ），把
y=tsin 2
C
1
π
绕坐标原点逆时针旋转 得到C ，以坐标原点O为极点，x轴正
2 2
半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．
(1)写出 C
1
，C 的极坐标方程；
2
(2)若曲线C 的极坐标方程为
3
8 s in = ，且C 与C 交于点A，
1 3
C
2
与C 交于点B（A，B与点O不重合），求AOB
3
面积的最大值．
23．【选修4—5:不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数 f ( x ) = 2 x − 1 − x + 1 的最小值为m．
(1)求实数m的值；
5 1
(2)若实数a，b，c满足a−2b+2c=m+ ，证明：a2+b2+c2 ．
2 9
{#{QQABIYyQgggoABBAAQhCAwHoCkKQkACACIoOxEAIIAIByBFABAA=}#}
