文档内容
2023—2024 学年度下期高 2024 届入学考试
文科数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 的真子集的个数为（
）
.
A 9 B. 8 C. 7 D. 6
2. 若函数 是定义在 上的偶函数，则 （ ）
A. B. C. D. 2
3. 已知复数z满足 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D.
4. 设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，以下是真命题的为（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
5. 已知正项等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．则（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知 ， ，则 （ ）
第1页/共9页
学科网（北京）股份有限公司.
A B. C. D.
7. 口袋中共有3个白球4个黑球，从中随机取出两个球，则两个球颜色恰好相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 对于数列 ，若满足： ，则称 为数列 的“优值”，现已
知数列 的“优值” ，记数列 的前 项和为 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
9. 设函数 若存在 且 ，使得 ，
则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10. 在四面体 中， ， ，且 ，则该四面体的
外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
11. 在平面直角坐标系 中，已知圆 ，若圆 上存在
点P，由点P向圆C引一条切线，切点为M，且满足 ，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
第2页/共9页
学科网（北京）股份有限公司12. 已知函数 ，若不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范
围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若双曲线 的一条渐近线与直线 平行，则双曲线的右焦点到一条渐近
线的距离为__________．
14. 若x，y满足约束条件 ，则 的最大值与最小值的和为___________.
15. 在平面直角坐标系 内，O为坐标原点，对于任意两点 ，定义它们之间的“曼
哈顿距离”为 ，以对于平面上任意一点P，若 ，则动点P的轨迹长度为
______．
16. 设 数 列 满 足 ， ， ， 令
，则数列 的前100项和为___________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全
部介于50至100之间，将数据按照 ， ， ， ， 的分组作出频率
分布直方图如图所示.
第3页/共9页
学科网（北京）股份有限公司（1）求频率分布直方图中a的值，并估计本次竞赛成绩的中位数和平均数；
（2）若按照分层随机抽样从成绩在 的两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求
至少有1人的成绩在 内的概率.
18. 在锐角 中，角 所对应的边分别为 ，已知 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 面积的取值范围．
19. 如图，在四棱锥 中， ， ， ，平面
⊥平面 .
（1）求证： ；
（2）设 ，求三棱锥 的体积.
20. 设点 是椭圆 上任意一点，过点 作椭圆的切线，与椭圆
第4页/共9页
学科网（北京）股份有限公司交于 两点.
（1）求证： ;
（2） 的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
为
21. 已知函数 （a 实数）．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若函数 在 内存在两个极值点，求实数a的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选一题作答．如果多选，则按所做的第一
题记分．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22. 在平面直角坐标系 中，曲线 参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点，
的
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）写出曲线 的极坐标方程，曲线 的直角坐标方程；
（2）曲线 与曲线 ，如有公共点，求出公共点坐标；如无公共点，设 分别为曲线 与曲线 上
的
动点，求线段 的最小值．
【选修4-5：不等式选讲】
23. 已知函数 ．
（1）求不等式 的解集；
第5页/共9页
学科网（北京）股份有限公司（2）设函数 的最小值为 ，若 且 ，求证： ．
第6页/共9页
学科网（北京）股份有限公司2023—2024 学年度下期高 2024 届入学考试
文科数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】D
【9题答案】
【答案】A
【10题答案】
【答案】B
【11题答案】
【答案】D
【12题答案】
【答案】D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
【13题答案】
第7页/共9页
学科网（北京）股份有限公司【答案】 ##0.5
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
【答案】
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
【17题答案】
【答案】（1） ，中位数约为 ，平均数约为75；
（2） .
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【20题答案】
【答案】（1）见解析 （2）是定值，定值为
【21题答案】
【答案】21. 的单调递减区间为 ，递增区间为
第8页/共9页
学科网（北京）股份有限公司22.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选一题作答．如果多选，则按所做的第一
题记分．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
【22题答案】
【答案】（1）曲线 极坐标方程 ，曲线 的直角坐标方程为
（2）无公共点，
【选修4-5：不等式选讲】
【23题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析
第9页/共9页
学科网（北京）股份有限公司
