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2023—2024 学年度下期高 2024 届入学考试
理科数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 的真子集的个数为（
）
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
2. 若函数 是定义在 上的偶函数，则 （ ）
A. B. C. D. 2
.
3 已知复数z满足 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D.
4. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. 30 D. 60
5. 已知正项等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．则（ ）
.
A B.
C. D.
6. 已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
第1页/共9页
学科网（北京）股份有限公司7. 对于数列 ，若满足： ，则称 为数列 的“优值”，现已
知数列 的“优值” ，记数列 的前 项和为 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 在平面直角坐标系 中，已知圆 ，若圆 上存在点
P，由点P向圆C引一条切线，切点为M，且满足 ，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
9. 设函数 若存在 且 ，使得 ，
则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10. 在四面体 中， ， ，且 ，则该四面体的
外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
11. 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字中任意取出三个不同的数，若这三个数的和为不小于9
的奇数，则不同的取法有（ ）种.
A. 54 B. 53 C. 47 D. 46
12. 定义在 上的可导函数 满足 ，当 时， ，若实数a
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学科网（北京）股份有限公司满足 ，则a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若双曲线 的一条渐近线与直线 平行，则双曲线的右焦点到一条渐近
线的距离为__________．
14. 在正方体 中， ，点 平面 ，点 F 是线段 的中点，若
，则当 的面积取得最小值时， _____________．
15. 设 数 列 满 足 ， ， ， 令
，则数列 的前100项和为___________．
16. 已知函数 ， ，若函数 有三个零点
，则 的取值范围是__________.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新
闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，
得到如下列联表：
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学科网（北京）股份有限公司比较了
不太了解 合计
解
男生 20 40 60
女生 20 20 40
合计 40 60 100
（1）判断是否有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异；
（2）若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取
的2人中女生数为 ，求 的分布列及 .
附：① ，其中 ；
②当 时有95%的把握认为两变量有关联.
18. 在锐角 中，角 所对应的边分别为 ，已知 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 面积的取值范围．
19. 如图，在多面体 中，四边形 为平行四边形，且 平
面 ，且 .点 分别为线段 上的动点，满足
.
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学科网（北京）股份有限公司（1）证明：直线 平面 ；
（2）是否存在 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？请说明理由.
20. 设点 是椭圆 上任意一点，过点 作椭圆的切线，与椭圆
交于 两点.
（1）求证： ;
（2） 的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
21. 设函数 ．
（1）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求a，b的值；
的
（2）若当 时，恒有 ，求实数a 取值范围；
（3）设 时，求证： ．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选一题作答．如果多选，则按所做的第一
题记分．
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学科网（北京）股份有限公司【选修4-4：坐标系与参数方程】
22. 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）写出曲线 的极坐标方程，曲线 的直角坐标方程；
（2）曲线 与曲线 ，如有公共点，求出公共点坐标；如无公共点，设 分别为曲线 与曲线 上
的动点，求线段 的最小值．
【选修4-5：不等式选讲】
23. 已知函数 ．
（1）求不等式 的解集；
（2）设函数 的最小值为 ，若 且 ，求证： ．
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学科网（北京）股份有限公司2023—2024 学年度下期高 2024 届入学考试
理科数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】D
【9题答案】
【答案】A
【10题答案】
【答案】B
【11题答案】
【答案】B
【12题答案】
【答案】C
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
【13题答案】
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 ##0.5
【14题答案】
【答案】 ##
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
【答案】
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
【17题答案】
【答案】（1）没有 （2）分布列见解析，
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，理由见解析
【20题答案】
【答案】（1）见解析 （2）是定值，定值为
【21题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选一题作答．如果多选，则按所做的第一
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学科网（北京）股份有限公司题记分．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
【22题答案】
【答案】（1）曲线 极坐标方程 ，曲线 的直角坐标方程为
（2）无公共点，
【选修4-5：不等式选讲】
【23题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析
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