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秘密★启用前
眉山市高中 2024 届第三次诊断性考试
数学（理科）
本试卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､座位号和准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.在复平面内， 对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.设全集 ，集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
3.采购经理指数（PMI），是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测､预警作
用.综合PMI产出指数是PMI指标体系中反映当期全行业（制造业和非制造业）产出变化情况的综合指数，
指数高于 时，反映企业生产经营活动较上月扩张；低于 ，则反映企业生产经营活动较上月收
缩.2023年我国综合PMI产出指数折线图如下图所示：
根据该折线图判断，下列结论正确的是（ ）
A.2023年各月综合PMI产出指数的中位数高于
B.2023年各月，我国企业生产经营活动景气水平持续扩张
C.2023年第3月至12月，我国企业生产经营活动景气水平持续收缩
D.2023年上半年各月综合PMI产出指数的方差小于下半年各月综合PMI产出指数的方差
学科网（北京）股份有限公司4.已知向量 满足 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 的展开式中 的系数为（ ）
A.20 B.10 C.-10 D.-20
6.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7.设 为坐标原点，过点 的直线与抛物线 交于 两点，若 ，
则 的值为（ ）
A. B. C.2 D.4
8.如图，该组合体由一个正四棱柱 和一个正四棱锥 组合而成，已知
，则（ ）
A. 平面 B. 平面
C. 平面 D. 平面
9.四名同学参加社会实践，他们中的每个人都可以从 三个项目中随机选择一个参加，且每人的选择
相互独立.这三个项目中恰有一个项目没有被任何人选择的概率为（ ）
A. B. C. D.
学科网（北京）股份有限公司10.给出下述三个结论：①函数 的最小正周期为 ；②函数 在区间 单
调递增；③函数 的图象关于直线 对称.其中所有正确结论的编号是（ ）
A.①②③ B.②③ C.①③ D.②
11.已知双曲线 的左，右焦点分别为 .点 在 上，点 在 轴上，
，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
12.若关于 的不等式 恒成立，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若 满足约束条件 ，则 的最小值为__________.
14.已知 的三边长 ，则 的面积为__________ .
15.若 为奇函数，则 __________.（填写符合要求的一个值）
16.已知球 的半径为3，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆 ，其半径分别为 ，若
，两圆的公共弦的中点为 ，则 __________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个
试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生依据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
某公司为改进生产，现对近5年来生产经营情况进行分析.收集了近5年的利润 （单位：亿元）与年份代
学科网（北京）股份有限公司码 共5组数据（其中年份代码 分别指2019年，2020年， 年），并得到如下值：
（1）若用线性回归模型拟合变量 与 的相关关系，计算该样本相关系数 ，并判断变量 与 的相关程
度（ 精确到0.01）；
（2）求变量 关于 的线性回归方程，并求2024年利润 的预报值.
附：① ；
②若 ，相关程度很强； ，相关程度一般； ，相关程度较弱；
③一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
；相关系数
18.（12分）
已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若__________，求数列 的前 项和 .
从① ② ；③ ，这三个条件中任选一个补充在上面的横线上并
解答问题.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19.（12分）
如图，在多面体 中，四边形 为菱形，平面 平面 ，平面 平面
是等腰直角三角形，且 .
学科网（北京）股份有限公司（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值的取值范围.
20.（12分）
已知椭圆 的离心率是 ，左､右顶点分别为 ，过线段 上的点
的直线与 交于 两点，且 与 的面积比为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与 交于点 .证明：点 在定直线上.
21.（12分）
已知函数 .
（1）若过点 可作曲线 两条切线，求 的取值范围；
（2）若 有两个不同极值点 .
①求 的取值范围；
②当 时，证明： .
（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
记分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系 中， 的圆心为 ，半径为2，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立
极坐标系.
（1）求 的极坐标方程；
（2）过点 的直线交 于 两点，求 的最大值.
学科网（北京）股份有限公司23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数 .
（1）若对任意 ，使得 恒成立，求 的取值范围；
（2）令 的最小值为 .若正数 满足 ，求证： .
理科数学参考解答及评分参考
一､选择题
1.【答案】B
【解析】由 ，对应的点位于第二象限，选择B.
【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计复数运算问题，主要考查复数的除法运算，复数的几何
意义等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想；考查数学运算､直观想象等数学核心素养.
学科网（北京）股份有限公司2.【答案】D
【解析】由 ，选项 错误；
，选项 错误；
，选项C错误；因为 ，所以
，所以选项D正确.
【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计集合运算问题，主要考查集合的交集与并集，补集运算
等基础知识；考查运算求解能力，数学运算等数学核心素养.
3.【答案】B
【解析】根据图表可知，各月PMI的中位数小于 ，A错误；2023年各月，2023年我国综合PMI产出
指数均大于 ，表明我国企业生产经营活动持续扩张，C错误，B正确；2023年上半年各月PMI比下半
年各月PMI的波动大，则方差也大，故D错误.
【考查意图】本小题设置数学应用情境，主要考查统计图表的应用等基础知识，考查概率统计等思想方法，
考查数据分析等数学核心素养.
4.【答案】A
【解析】由题意得 ，则 有 ，解得 ，又由
，则 有 ，解得 ，同理可得 ，所以
所以 .
注：本小题也可以利用向量线性运算的几何意义，利用数形结合思想求解.
【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计平面向量运算问题，主要考查向量的坐标运算，数量积，夹
角公式等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，数学建模（可构造三角形或取特值解答）思想；
考查数学运算､直观想象､数学建模等数学核心素养.
5.【答案】C
【解析】因为 ，相加的两项二项式展开后的通项分别为
学科网（北京）股份有限公司与 ，所以 的系数为 .
【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计二项式展开式的通项问题，主要考查二项式展开式特定项的
系数等基础知识；考查运算求解能力，分类讨论思想，数学运算等数学核心素养.
6.【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，有 ，所以
.
【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计三角恒等变换求值问题，主要考查同角三角函数关系，两角
和的正弦公式，三角函数符号确定等基础知识；考查运算求解能力，化归与转化思想，数学运算等数学核
心素养.
7.【答案】C
【解析】设 ，直线 的方程为： ，联立方程 得，
，故 ，从而 -4，
即 ，故选C.
【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计直线与抛物线交点问题，主要考查直线与抛物线的位置
关系，向量的坐标运算，抛物线性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想；
考查数学运算，逻辑推理等数学核心素养.
8.【答案】C
【解析】如图，因为 ，在平面 中有
，所以 平面 不平行于平面 ；
同理 不平行于平面 ；易得 ，
，所以 ，又 ，所以 平面 .
学科网（北京）股份有限公司【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计正四棱柱与正四棱锥的组合体问题，主要考查空间线面平行，
线面垂直的判断等基础知识；考查推理论证能力，空间想象能力；考查逻辑推理，直观想象等数学核心素
养.
9.【答案】C
【解析】 .
【命题意图】本小题设置实践应用情境，主要考查计数原理､分组排列､组合､古典概型等基础知识，考查
分类与整合等数学思想，考查逻辑推理，数学建模等数学核心素养.
10.【答案】B
【解析】对于①由 ，最小正周期为 ，结论①不正确；对于②，由 ，
有 ，此时 在区间 单调递增，结论②正确；对于
③， ，对称轴由 确定，当 时， ，结论
③正确.
【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计三角函数图象性质问题，主要考查含绝对值的余弦函数图象，
降幂公式，余弦函数的最小正周期，单调区间，图象的轴对称等基础知识；考查逻辑推理能力，数形结合
思想，化归与转化思想，推理论证等数学核心素养.
11.【答案】A
【解析】设 ，则 ，由于 关于 轴对称，故 ，又因
为 ，所以 ，所以 ，所以 ，故选A.
【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计双曲线焦点弦问题，主要考查双曲线的方程与性质，双
曲线焦点弦，离心率等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想，数形结合思想；
考查数学运算，逻辑推理等数学核心素养.
12.【答案】C
学科网（北京）股份有限公司【解析】依题意， ，不等式化为 .设 ，则
，当 时， 单调递增；当
时， 单调递减，所以， 在 处取得极大值，也即最大值 .又
时， .由题知不等式 恒成立，所以 的图象恒在 的
图象的上方，显然 不符题意；当 时， 为直线 的横截距，其最大值为 的
横截距，再令 ，可得 ，且当直线 与 在点 处相切时，横截距
取得最大值.此时，切线方程为 ，所以 取得最大值为 .
【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查导数的应用等基础知识，考查化归与转化等数学思想，
考查数学抽象､逻辑推理､数学运算､直观想象等数学核心素养.
二､填空题
13.【答案】-6
【解析】作出约束条件表示的可行域为以 三点为顶点的 及其内部，作出
直线 并平移，当直线 经过点 时，在 轴上的截距最小，此时目标函数
取得最小值 .
【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计简单的线性规划问题，主要考查不等式组的解法，约束条件
表示的可行域，直线平移及几何意义等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，化归与转化思想；
考查数学运算､逻辑推理､直观想象等数学核心素养.
14.【答案
【解析】由余弦定理有 ，所以 ，所以 的
学科网（北京）股份有限公司面积 .
【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计解三角形问题，主要考查余弦定理，同角间的三角函数关系，
三角形面积等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，数形结合思想，化归与转化思想，应用意识；
考查数学运算､逻辑推理､直观想象等数学核心素养.
15.【答案】 ，填写符合 的一个值即可.
【解析】依题意， ，当
为奇函数，此时 ，则 ，故填 等等.
【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查函数奇偶性等基本性质､简单的三角变换等基础知识，
考查化归与转化等数学思想；考查数学抽象､逻辑推理､数学运算等数学核心素养.
16.【答案】1
【解析】如图，设 ，则在 中， ，在
中， ，在 中， ，联立得 ，所以在 中，
，所以 .
【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计球与截面问题，主要考查平面与球相截，空间线面位置
关系，球内三角形，矩形的性质，勾股定理等基础知识；考查运算求解能力，空间想象能力，方程思想等
基础知识；考查数学运算素养，直观想象，逻辑推理等数学核心素养.
三､解答题
17.【解析】（1）依题意， ，
，
学科网（北京）股份有限公司则 ，
则 ，故变量 与 的相关程度很强.
（2）令变量 与 的线性回归方程为 .
，
所以 ，
所以，变量 关于 的回归方程为 .
2024年，即 时， （亿元）.
所以，该公司2024年利润 的预报值为78（亿元）.
【命题意图】本小题设置生活实践情境，主要考查回归分析的基本思想及其初步应用，考查统计基本思想
以及抽象概括､数据处理等能力和应用意识；考查数学运算､数学建模等数学核心素养.
18.【解析】（1）由 ，
当 时， ，得 ，
当 时， ，
整理得， ，
又 ，所以 ，
所以数列 是首项为3，公比为3的等比数列，
所以 .
（2）若选①，由（1）可得， ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司，
两式相减得
，
所以 .
若选②，由（1）可得， .
若选③，由（1）可得， .
【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计结构性不良的数列问题，主要考查数列的前 项和与通项公
式，等比数列的性质，错位相减法求数列的和等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转
化思想；考查数学运算，逻辑推理等数学核心素养，应用意识.
19.【解析】（1）如图，取 的中点 ，连接 .
因为 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，
所以 平面 .
同理， 平面 .
所以 .
又 和 是等腰直角三角形，所以 ，
四边形 为平行四边形，所以 ，
又因为 ，
所以平面 平面 .
学科网（北京）股份有限公司（2）如图，以 点为原点， 所在直线为 轴，过 平行于 的直线为 轴，在平面
内垂直于 的直线为 轴，建立空间直角坐标系.
设 ，
则 .
所以 .
设平面 的法向量为 ，则
令 ，得 ，所以 .
设平面 的法向量为 ，则
令 ，得 ，所以 .
所以 .
设 ，则 ，
所以 在 上单调递减，所以
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以平面 与平面 所成锐二面角的取值范围是 .
【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计立体几何问题，主要考查空间线线､线面位置关系，空
间二面角等基础知识；考查推理论证能力，空间想象能力，运算求解能力；考查直观想象，逻辑推理等数
学核心素养，应用意识.
20.【解析】（1）由 ，
故 ，则 .
由 ，得 ，
故椭圆 的方程为： .
（2）由（1）可得 ，设 .
显然直线 的斜率不为0，所以设直线 的方程为 .
将 与 联立，
可得 ，
其中 ，
则 .
因为直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立直线 与直线 的方程可得：
学科网（北京）股份有限公司.
由 可得 ，即 ，
故点 在定直线 上.
【命题意图】本小题设置数学课程学习情境，设计直线与椭圆问题，主要考查椭圆的方程，椭圆中的三角
形，直线过定点等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想，数形结合思想；考查
数学运算，逻辑推理等数学核心素养，应用意识.
21.【解析】（1）依题意， ，
设过点 的直线与曲线 相切时的切点为 ，斜率 ，则
，点 的坐标代入可得，
则 ，
即有
解法1：若过点 可作曲线 两条切线，只需方程 方程有两个不
相等的实数根即可.
令 ，只需函数 有2个零点即可.则
，
①若 ，则 时， 时， 时， ，
此时 时， 取极大值； 时， 取极小值，
又 ，
时， ，
学科网（北京）股份有限公司函数 只有1个零点，不合题意.
②若 ，同理可知，此时 时， 取极大值； 时， 取极小值，
又 时， ，
函数 只有1个零点，不合题意.
③若 ，则 时， 时， ，
所以 时， 取极大值 ，
又 时， 时， ，
函数 有2个零点，则必有 ，得 ，
故过点 可作曲线 两条切线时， 的取值范围是 .
解法 显然， .
若过点 可作曲线 两条切线，只需方程 方程有两个不相等的实数根即可.令
，
则 ，
令 ，则 ，
可知 时， 单调递增； 时， 单调递减，
所以 ，
故当 时， 单调递增； 时， 单调递减； 时，
单调递减.
学科网（北京）股份有限公司又 时，由 ，则 ；
由上可知 时， 取得极大值，也即为 时， 取得最大值 ，
又 时， 时， ，
函数 的大致图象如图所示.
所以 方程有两个不相等的实数根时， .
故过点 可作曲线 两条切线时，
的取值范围是 .
（2）①由（1）知， ，
因为 有两个极值点 即 有两个实数根 ，
令 ，
可知 时， 单调递增，此时 ；当 时， 单调递
减，此时 ，
所以 即 有两个实数根时， .
则 有两个极点时， .
学科网（北京）股份有限公司②由 即 得 ，
要证明 ，只需证明 .
由题， ，
令 ，则 ，
欲证明 ，也即证明 ，
只需证明 即可，
令 ，
可知 ，
则 在 时单调递增，故 ，则 ，令
在 时单调递增，则 ，
故 ，即
所以 .
【命题意图】本小题设置探究创新情境，主要考查导数几何意义､极值､函数的零点，函数与导数的综合应
用等基础知识，考查化归与转化､函数与方程等数学思想；考查数学抽象､逻辑推理､数学运算等数学核心
素养.
选考题
22.【解析】（1）由题知， 的直角坐标方程为 ，
学科网（北京）股份有限公司即
故 的极坐标方程为 .
（2）设 .
联立直线 和圆 的方程得：
，
则 .
故 ，
故当 时， 取得最大值 .
【命题意图】本小题设置课程数学情境，设计极坐标问题，主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，
直线与圆的位置关系，弦长等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识.
23.【解析】（1）当 时， ；当 时， ；当 时，
.则 的最小值为4.
由于对任意 ，使得 恒成立，
所以 ，解得 ，
故 的取值范围是 .
（2）由（1）可知 的最小值为 ，则 ，
则 .
学科网（北京）股份有限公司，
当且仅当 且 取“ ，即 取“=”.
所以 .
【命题意图】本小题设置课程学习情境，主要考查均值不等式应用､不等式的证明方法等基础知识，考查
分类与整合思想；考查数学抽象､逻辑推理､数学运算等数学核心素养.
学科网（北京）股份有限公司
