文档内容
2024 年天津市十二区重点学校高三毕业班联考（一）
数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场/座位号填涂在答题卡规定位置上。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将答题卡交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；
2．本卷共9小题，每小题共5分，共45分。
参考公式：·如果事件 互斥，那么
·柱体的体积公式 ，其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．如图是函数 的部分图象，则 的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数 ，若 ， ，则 的大小关系为（）
A． B． C． D．
5．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）
A．6 B．9 C．11 D．14
6．下列说法正确的是（ ）
A．一组数据 的第80百分位数为17；
B．根据分类变量 与 的成对样本数据，计算得到 ，根据小概率值 的独立性检验
，可判断 与 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05；
C．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0；
D．若随机变量 满足 ，则 ．
7．如图是函数 的部分图象， 是图象的一个最高点，
是图象与 轴的交点， 是图象与 轴的交点，且 的面积等于 ，则下列说法正确
的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称；
B．函数 的最小正周期为 ；
C．函数 的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到；
D．函数 的单调递增区间是 。8．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幕势既同，则积不
容异”。这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高。这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高
处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高
的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线 和 均是以2为半径的半
圆，平面 和平面 均垂直于平面 ，用任意平行于帐篷底面 的平面截帐簿，所得截面
四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一
个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．已知双曲线 与抛物线 ，抛物线 的准线过双曲线
的焦点 ，过点 作双曲线 的一条渐近线的垂线，垂足为点 ，延长 与抛物线 相交于点 ，若
，则双曲线 的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共11小题，共105分。
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对一个的给3
分，全部答对的给5分。
10．已知集合 ，则 _________。11．在 的展开式中， 的系数为_________。
12．已知圆 与圆 外切，此时直线 被圆 所截
的弦长为_________。
13．甲和乙两个箱子中各装有4个大小相同的小球，其中甲箱中有2个红球、2个白球，乙箱中有3个红球、
1个白球，从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到白球的条件下，则2个球都是白球的概率为_________；掷
一枚质地均匀的骰子，如果点数大于等于2，就从甲箱子重随机抽出1个球；如果点数大于等于3，就从乙箱
子中随机抽出1个球，则抽到红球的概率为_________。
14．在平行四边形 中， 是线段 的中点，点 满足 ，若设 ， ，则
可用 表示为_________；点 是线段 上一点，且 ，若 ，则
的最大值为_________。
15．己知函数 有且仅有2个零点，则实数 的取值范围为_________。
三、解答题：本大题5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分14分）
已知 的内角 的对边分别为 ，且 。
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）若 ，求 的面积；
（Ⅲ）若 ，求 。
17．（本小题满分15分）
如图所示，在三棱柱 中， 平面 ， 。 是棱
的中点， 为棱 中点， 是 的延长线与 的延长线的交点。
（Ⅰ）求证： 平面 ；（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（Ⅲ）求平面 与平面 夹角的余弦值。
18．（本小题满分15分）
已知椭圆 过点 ，焦距是短半轴长的 倍，
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）点 是椭圆 上的三个不同点，线段 交 轴于点 异于坐标原点 ，且总有 的
面积与 的面积相等，直线 分别交 轴于点 两点，求 的值。
19．（本小题满分15分）
若某类数列 满足“ ，且 ” ，则称这个数列 为“ 型数列”。
（Ⅰ）若数列 满足 ，求 的值并证明：数列 是“ 型数列”；
（Ⅱ）若数列 的各项均为正整数，且 为“ 型数列”，记 ，数列 为等比数
列，公比 为正整数，当 不是“ 型数列”时，
（i）求数列 的通项公式；（ii）求证： 。
20．（本小题满分16分）
意大利画家达 芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?
这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数 的图象，
定义双曲正弦函数 ，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①
平方关系： ，②倍元关系： 。
（Ⅰ）求曲线 在 处的切线斜率；
（Ⅱ）若对任意 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围：
（Ⅲ）（i）证明：当 时， ；
（ii）证明： 。2024 年天津市十二区重点学校高三毕业班联考（一）
数学参考答案
一、选择题：每小题5分，满分45分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B A D C B B D D C
二、填空题：每小题5分，共30分．（两空中对一个得3分，对两个得5分）
10． 11． 12． 13．
14． 15．
三、解答题：本大题5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分14分）
解析：（Ⅰ）由正弦定理得： ，1分
，
显然 则 ，3分
又 ，故 ；4分
（Ⅱ） ，
由余弦定理可得 ，整理可得 ，5分
又 ，解得 ，6分
8分
（Ⅲ）由正弦定理得： ，则 ，9分，即 ，则 ，故 为锐角，
，10分
，11分
，12分
14分
17．（本小题满分15分）
解析（Ⅰ）【方法1】在三棱柱 中，连接 ，连接 ，由 是棱
的中点，得 是 的中点，
由 为平行四边形，得 为线段 中点，于是 ，而 平面 平面 ，
所以 平面 。
【方法2】
在三棱柱 中， 平面 ，
，则直线 两两垂直，
以点 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，由 ，得 ，
2分
设平面 的法向量 ，则
则 ，令 ，得 ，4分
因为 ，所以
又因为 平面 ，所以 平面 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）平面 的法向量 ，又 ，
则 9分
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 10分
（Ⅲ）设平面 的一个法向量 ，
则 令 ，的
设平面 与平面 夹角为 ，
则 ，13分
所以平面 与平面 夹角的余弦值 ．15分
18．（本小题满分15分）
解（Ⅰ）：设制圆的半焦距 ，由题意知 ，解得 ，椭圆的方程 5分
（Ⅱ）分析得 两点关于 轴对称，由题意直线 斜率 存在且不为0，
并且纵截距不为0
设直线 ，6分
7分
，化简得 ， 8分
设 ， 10分
直线 ， 11分
令
14分
所以 。15分
19．（本小题满分15分）
解析：（Ⅰ） 令 ，则 ，
令 ，则 ；2分
由 ①， 当 时， ②，由① ②得，当 时， ，3分
所以数列 和数列 是等比数列。
因为 ，所以 ，
所以 ，因此 ，
从而 ，所以数列 是“ 型数列”。6分
（II）（i）因为数列 的各项均为正整数，且 为“G型数列”，
所以 ，所以 ，因此数列 递增。又 ，
所以 ，因此 递增，所以公比 。
又 不是“ 型数列”，所以存在 ，使得 ，所以 ， 8分
又公比 为正整数，所以 ，又 ，
所以 ，则 。 10分
（ii） ，
因为 ，所以 ，
所以 ， 13分
令 ，当 时， ，
当 时，15分（其他答案酌情给分）
20．（本小题满分16分）
解析：（Ⅰ） ，则 1分
所以 所以 在 处的切线斜率为 2分
（Ⅱ）令 ，则
3分
下面证明：对任意 恒成立
先证明：对任意 。
证明如下：设 ，则 ，
当 时， ，函数单调递减，
当 时， ，函数单调递增，
故 ，故 ， 5分
继续证明：对任意 。
证明如下：令 ，则 ，
因此 在 上单调递增；所以 ，
故 7分
当 时，对 ，都有 ，函数 在 上单调递增，则 ，解得 ； 8分
当 时，对 ，都有 ，对 ，都有 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则对 ，都有 成立，不符合题意，舍去。
综上所述，实数 的取值范围是 。 9分
（Ⅲ）（i） ，
令 ，则
所以 在 上单调递增，所以
所以当 时， 成立； 10分
（ii）下面证明：当 时， 成立，
令 ，则
由（II）解答过程，对任意 成立，所以
所以 在 上单调递增，所以
所以当 时， 成立
令 且 ，可得 ，
即 ，由题意 ，
令 且 ，可得 ，
因为 所以 12分
由①当 时， ，所以令 且 ，可得
所以 13分
由（Ⅱ）解答过程，对任意 成立
令 且 ，可得 14分
所以
又 且 ，所以 ，
所以 15分
所以可得
即可得 。 16分
