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第七章 随机变量及其分布（提高卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间1200分钟，试题共23题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将
自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1.随机变量X～B（4， ），则D（3X+1）等于（ ）
A． B． C．6 D．8
2.设随机变量ξ的概率分布列为P（ξ=k）=a（ ）k，其中k=0，1，2，那么a的值为（ ）
A． B． C． D．
3.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为
“第二次取到的是3的整数倍”，则P（B|A）＝（ ）
A． B． C． D．
4.设X～N（ ，σ2），Y～N（ ，σ2），这两个正态曲线如图所示，下列说法正确的是（ ）
1 1 2 2
μ μ
A．P（Y≤ ）≥P（Y≤ ） B．P（X≥σ）≥P（X≥σ）
1 2 1 2
C．若t＜0，μ则P（X≤t）μ≤P（Y≤t） D．若t＜0，则P（X≥t）≤P（Y≥t）
5.设10≤x ＜x ＜x ＜x≤104，x ＝105，随机变量 取值x 、x 、x 、x 、x 的概率均为0.2，随机变量 取
1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 2
值 、 、 、 、 的概率也均为0.2，若记ξ D 、D 分别为 、 的方差，则（ ） ξ
1 2 1 2
A．D 1 ＞D 2 B．D 1 ＝D 2 ξ ξ ξ ξ
ξ ξ ξ ξC．D ＜D D．D 与D 的大小关系与x、x、x、x 的取值有关
1 2 1 2 1 2 3 4
ξ ξ ξ ξ
6.设0＜p＜1，随机变量 的分布列是
ξ 0 1 2
Pξ
则当p在（0，1）内增大时，（ ）
A．D（ ）减小 B．D（ ）增大
C．D（ξ）先减小后增大 D．D（ξ）先增大后减小
ξ ξ
7.如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院，有甲、乙两人想根据
该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶中的两个动作，每人模仿一
个动作，若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿
“扶”或“检”的概率是（ ）
A． B． C． D．
8.某商场经营的某种包装的大米质量 （单位：kg）服从正态分布N（10，σ2），根据检测结果可知P
（9.9≤ ≤10.1）＝0.96，某公司为每ξ 位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有 1000名职
工，则分ξ 发到的大米质量在9.9kg以下的职工数大约为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
9.设一个正三棱柱ABC﹣DEF，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC的某顶点出发，每次只沿着棱爬
行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上
底面的概率为P ，则P 为（ ）
10 10
A． B．
C． D．
10.随机变量 的分布列如下：
ξn n+1 n+2
Pξ a b c
其中a，b，c成等差数列，则D（ ）（ ）
A．与n有关，有最大值 ξ B．与n有关，有最小值
C．与n无关，有最大值 D．与n无关，有最小值
11.一台机器在一天内发生故障的概率为0.1，若这台机器一周5个工作日不发生故障，可获利4万元；发
生1次故障获利为0万元；发生2次或2次以上故障要亏损1万元，这台机器一周5个工作日内可能获
利的数学期望是（ ）万元．（已知0.94＝0.6561，0.95＝0.5905）
A．3.4736 B．3 C．2.2805 D．1.231
12.1654年，法国贵族德•梅雷骑士偶遇数学家布莱兹•帕斯卡，在闲聊时梅雷谈了最近遇到的一件事：某
天在一酒吧中，肖恩和尤瑟纳尔两人进行角力比赛，约定胜者可以喝杯酒，当肖恩赢20局且尤瑟纳尔
赢得40局时他们发现桌子上还剩最后一杯酒．此时酒吧老板和伙计提议两人中先胜四局的可以喝最后
那杯酒，如果四局、五局、六局、七局后可以决出胜负那么分别由肖恩、尤瑟纳尔、酒吧伙计和酒吧
老板付费，梅雷由于接到命令需要觐见国王，没有等到比赛结束就匆匆离开了酒馆．请利用数学知识
做出合理假设，猜测最后付酒资的最有可能是（ ）
A．肖恩 B．尤瑟纳尔 C．酒吧伙计 D．酒吧老板
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线
上）
13.已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（X＜2c+2）＝P（X＞c+4），则c＝ ．
14.某地区气象台统计，该地区下雨的概率是 ，刮风的概率为 ，既刮风又下雨的概率为 ，设A为下雨，B
为刮风，那么P（B|A）等于 ．
15.若离散型随机变量X的分布列为
X 1 0
P 2a a
则常数a＝ ，X的数学期望E（X）＝ ．
16.某校举行知识比赛，比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答 一题的方式进行
每位选手最多有 5 次答题机会，选手累计答对 3 题或答错 3 题即终止比赛，答对 3 题者直接进入复赛，答错 3 题 者则被淘汰．已知选手甲答对每题的概率均 ，且相互之间没有影响，则选手甲进入
复赛的概率是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤）
17.某中学高中毕业的三名同学甲、乙、丙参加某大学的自主招生考核，在本次考核中只有合格和优秀两
个等次，若考核为合格，则给子10分的降分资格：若考核为优秀，则给予20分的降分资格．假设甲、
乙、丙考核为优秀的概率分别为 、 、 ，他们考核所得的等次相互独立．
（Ⅰ）求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率．
（Ⅱ）记在这次考核中．甲、乙、丙三名同学所得降分之和为随机变量 X，写出X所有可能的取值，并求
P（X≥50）的值．
18.某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动．
（1）求男生甲被选中的概率；
（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；
（3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率．19.某工厂加工某种零件需要经过A，B，C三道工序，且每道工序的加工都相互独立，三道工序加工合格
的概率分别为p， ， ．三道工序都合格的零件为一级品；恰有两道工序合格的零件为二级品；其它均
为废品，且加工一个零件为二级品的概率为 ．
（1）求p；
（2）若该零件的一级品每个可获利200元，二级品每个可获利100元，每个废品将使工厂损失50元，设
一个零件经过三道工序加工后最终获利为X元，求X的分布列及数学期望．
20.某医院体检中心为回馈大众，推出优惠活动：对首次参加体检的人员，按 200元/次收费，并注册成为
会员，对会员的后续体检给予相应优惠，标准如下：
体检次序 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次及以上
收费比例 1 0.95 0.90 0.85 0.8
该休检中心从所有会员中随机选取了100位对他们在本中心参加体检的次数进行统计，得到数据如表：
检次数 一次 两次 三次 四次 五次及以上
频数 60 20 12 4 4
假设该体检中心为顾客体检一次的成本费用为150元，根据所给数据，解答下列问题：
（Ⅰ）已知某顾客在此体检中心参加了3次体检，求这3次体检，该体检中心的平均利润；
（Ⅱ）该体检中心要从这100人里至少体检3次的会员中，按体检次数用分层抽样的方法抽出5人，再从
这5人中抽取2人，每人发放现金200元．用5表示体检3次的会员所得现金和，求 的分布列及E
（ ）． ξ
ξ21.某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了 50名学生，获得了他们某一
个月课外阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），
[16，18），[18，20]，整理得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求频率分布直方图中的x的值；
（Ⅱ）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；
（Ⅲ）已知课外阅读时间在[10，12）的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在[10，12）的样本学生中
随机抽取3人，记X为抽到女生的人数，求X的分布列与数学期望E（X）．
22.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了
解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100人，发现样本中
A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
（0，1000] （1000，2000] 大于2000
仅使用A 18人 9人 3人
仅使用B 10人 14人 1人
（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000
元的人数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发
现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
