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第七章 随机变量及其分布（基础训练）A 卷
姓名： 班级：
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的。
1．种植两株不同的花卉，它们的存活率分别为 和 ，则恰有一株存活的概率为 （ ）。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】由题意可知 ，故选A。
2．若随机变量 服从正态分布 ，则 （ ）。
附： ， 。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】 ，故选B。
3．设 ，则 （ ）。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】 ， ，故选C。
4．已知随机变量 ，且数学期望 ，方差 ，则 （ ）。
A、
B、
Ｃ、Ｄ、
【答案】C
【解析】由二项分布的期望和方差的计算公式知， ，解得 ，
则 ，故选C。
5．已知随机变量 的分布列为 ， ，则 （ ）。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】由题给出了 概率公式，则 ，
故选C。
6．有 件产品，其中有 件次品，从中不放回地抽 件产品，抽到的次品数的数学期望值是（ ）。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】设抽到的次品数为 ，则有 件产品，其中有 件次品，
从中不放回地抽 件产品，抽到的次品数 服从超几何分布即
∴抽到的次品数的数学期望值 ，故选C。
7．一台 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为 ，有 台这种型号的自动机床各自独立工
作，则在一小时内至多 台机床需要工人照看的概率是（ ）。
A、
B、C、
D、
【答案】D
【解析】设在一个小时内有 台机床需要工人照看，则 ，
∴
，故选D。
8．某电子元件生产厂家新引进一条产品质量检测线，现对检测线进行上线的检测试验：从装有 个正品和
个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出 个，再将电子元件放回。重复 次这样的试验，那么“取
出的 个电子元件中有 个正品， 个次品”的结果恰好发生 次的概率是（ ）。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】从装有 个正品和 个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出 个，再将电子元件放回，
取出的 个电子元件中有 个正品， 个次品的概率 ，重复 次这样的试验，
那么“取出的 个电子元件中有 个正品， 个次品”的结果恰好发生 次的概率是：
，故选B。
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．下列说法不正确的是（ ）。
A、甲、乙二人比赛，甲胜的概率为 ，则比赛 场，甲胜 场
B、某医院治疗一种疾病的治愈率为 ，前 个病人没有治愈，则第 个病人一定治愈
C、随机试验的频率与概率相等
D、用某种药物对患有胃溃疡的 名病人治疗，结果有 人有明显疗效，现有胃溃疡的病人服用此
药，则估计其会有明显疗效的可能性为
【答案】ABC
【解析】概率只是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性，则ABC都是错的，
而可以把频率视为概率，则D对，故选ABC。
10．设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有 、 、 、 的正四面体一次，记事件
，事件 ，事件，则下列说法正确的是（ ）。
A、
B、
C、
D、
【答案】ABD
【解析】依题意 、 、 ，
∴ ， ，AD对，
， ，
，
∴ ，B对，
又事件 、 、 不可能同时发生，∴ ，C错，
故选ABD。
11．红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者近距离接触，从而降低了潜在的感染风险，为防控新
冠肺炎，某厂家生产了一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设 表示其体温误差，且
，则下列结论正确的是（ ）。
（ 附 ： 若 随 机 变 量 ， 则 ，
）
A、 、
B、
C、
D、
【答案】BD
【解析】测量体温误差 服从正态分布，且 ，其中 、 ，
∴ 、 ，A选项错误，
，B选项正确，
C选项正确，，D选项正确，
故选BD。
12．骰子通常作为桌上游戏的小道具，最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀的正方体，六个面上分
别写有数字 、 、 、 、 、 ，现有一款闯关游戏，共有 关，规则如下：在第 关要抛掷六面骰 次，
每次观察向上面的点数并做记录，如果这 次抛掷所出现的点数之和大于 ，则算闯过第 关， 、
、 、 ，假定每次闯关互不影响，则（ ）。
A、直接挑战第 关并过关的概率为
B、连续挑战前两关并过关的概率为
C、若直接挑战第三关，设 “三个点数之和等于 ”， “至少出现一个 点”，则
D、若直接挑战第 关，则过关的概率是
【答案】AC
【解析】 ，两次点数之和应大于 ，第一个点数为 时，符合的有 ，
第 一 个 点 数 为 时 ， 符 合 的 有 、 ， 以 此 类 推 符 合 的 共 有
种，
则直接挑战第 关并过关的概率为 ，A选项对，
闯过第一关需点数大于 ，有 的可能通过，∴ ，B选项错，
若三个点数之和等于 ，符合的有一个 、六个 、三个 ，
∴ ，对于事件 ，可先求对立事件“一个 点都没有”，
则 ，则 ， ，
∴ ，C选项对，
直接挑战第四关，则 ，点数之和应大于 ，
则符合的有一个 、四个 、四个 、六个
、
四个 、十二个 共 种，∴ ，D选项错，
故选AC。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知随机变量 ，则 。
【答案】
【解析】由题意知 。
14．某飞碟运动员每次射击中靶的概率为 ，该运动员连续 次射击，中靶 次的概率是 。
【答案】
【解析】由题意知 。
15．由数字 、 、 、 、 、 组成没有重复数字的四位数，定义个位数字比十位数字大、千位数字是偶
数、百位数字为奇数的没有重复数字的四位数为“特征数”。从组成的所有没有重复数字的四位数中任取
一个，则这个四位数是“特征数”的概率为 。
【答案】
【解析】由数字 、 、 、 、 、 组成没有重复数字的四位数，共有
（个），
第一步，考虑千位数字，情况有 （种），
第二步，考虑百位数字，情况有 （种），
第三步，同时考虑个位数字和十位数字，情况有 （种），
故共有 （种），
从所有没有重复数字的四位数中任取一个，则这个数是“特征数”的概率为 。
16．袋中装有 个大小相同的球，其中 个白球、 个黑球、 个红球。现从中依次取球，每次取 球，且
取后不放回，直到取出的球中有两种不同颜色的球时结束。用 表示终止取球时已取球的次数，则随机变
量 的数学期望 。
【答案】
【解析】根据题意 可取 、 、 ，
，
，
，
∴ 。
四、解答题：本题共6小题，共70分。应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）已知 个乒乓球，其中 个新的， 个旧的，每次取 个，不放回的取两次，求：（1）第一次取到新球的概率；
（2）第二次取到新球的概率；
（3）在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率。
【解析】设第 次取到新球为事件 ，第 次取到新球为事件 ， 2分
（1） ； 4
分
（2）第二次取到新球为事件 ， ；
7分
（ 3 ） 。
10分
18．（本小题满分12分）为发展业务，某调研组对 、 两个公司的产品需求量进行调研，准备从国内
个人口超过 万的超级大城市和 个人口低于 万的小城市中随机抽取若干个城市进行统计。若一次
抽取 个城市，每个城市抽取的可能性均相等。
（1）假设取出小城市的个数为 ，求 的分布列及数学期望 ；
（2）若取出的 个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率。
【解析】（1）由题意知 可取 、 、 、 、 ， 1分
， ， ，
， ， 6
分
∴ 的分布列如下：
数 学 期 望 ；
9分
（2）取出的 个城市是同一类城市，
则全为超大城市的概率为 。 12
分19．（本小题满分12分）当前，我国防控“新型冠状病毒”疫情的工作重点已经调整为“外防输入，内防
反弹”。为此，国家有关部门加强了对各个入境口岸中入境人员的管理。在一次境外入境的航班上，已经
确认有 名旅客患有新冠肺炎，经机组人员紧急处理，仍有 人为接触者。航班到达后，由于联络出现失误，
地面检查人员只知道这 人中有 名确诊患者和 名接触者，但因为个人原因，这 人都不承认自己是确诊
患者，同时也拒绝相互指认，检查人员只好对他们逐一进行核酸检测，直到检出两名确诊患者为止。确诊
患者的核酸检测呈阳性，假设其他 人由于以前无接触史所以检测时一定呈阴性。
（1）在第一次就检出一名呈阳性患者的条件下，求检测进行 次就停止的概率；
（2）求检测进行了 次才停止的概率；
（3）若检测前发现检测试剂只剩下 盒，每盒只能检测 人，当检测试剂用去 盒后检测工作还没有停止，
此时工作人员小张预测：“检测试剂够用，并且至多能余一盒”，求小张预测准确的概率。
【解析】（1）设 为阳性， 为阴性，则符合题意的排列情况为 ，
∵第一位为 ，后面三位全部情况为 ，符合 排列的为 个，
∴ ； 4
分
（2）无论前五位如何，只需保证后两位一阴一阳，即 或 ，
后两位全部情况有 种，一阴一阳的情况有 种，
∴ ； 8
分
（3）检测至多用 个试剂，检测试剂用了 盒的概率为 ，用了 盒的概率为 ，
则小张预测准确的概率为 ，
又 ， ，∴ 。 12
分
20．（本小题满分12分）某售报亭每天以每份 元的价格从报社购进若干份报纸，然后以每份 元的价
格出售，如果当天卖不完，剩下的报纸以每份 元的价格卖给废品收购站。
（1）若售报亭一天购进 份报纸，求当天的利润 （单位：元）关于当天需求量 （单位：份，
）的函数解析式；
（2）售报亭记录了 天报纸的日需求量（单位：份），整理得下表：以 天记录的需求量的频率作为
各销售量发生的概率。
日需求量
频数
①若售报亭一天购进 份报纸， 表示当天的利润（单位：元），求 的均值；
②若售报亭计划每天应购进 份或 份报纸，你认为购进 份报纸好，还是购进 份报纸好？请说明理由。
【解析】（1）当 且 时，
，
2分
当 且 时 ， ，
4分
∴ ；
5分
（2）① 可取 、 、 、 ， 6分
则 、 、 、
，8分
∴ ，
9分
②购进报纸 份，当天利润的均值为：
，
11分
又 ， ∴ 每 天 购 进 份 报 纸 好 。
12分
21．（本小题满分12分）某市小型机动车驾照“科二”考试中共有 项考查项目，分别记作①、②、③、
④、⑤。
（1）某教练将所带 名学员“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），并计算从恰有 项成绩不合
格的学员中任意抽出 人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过 项的概率。
（2）“科二”考试中，学员需缴纳 元的报名费，并进行 轮测试（按①、②、③、④、⑤的顺序进
行）；如果某项目不合格，可免费再进行 轮补测；若第 轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”；若补考则需缴纳 元补考费，并获得最多 轮补测机会，否则考试结束；每 轮补测都按①，②，
③，④，⑤的顺序进行，学员在任何 轮测试或补测中 个项目均合格，方可通过“科二”考试，每人最多
只能补考 次，某学员每轮测试或补考通过①、②、③、④、⑤各项测试的概率依次为 、 、 、 、 ，
且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考。求该学员能通过“科二”考试的概率并求该学员缴纳的考试
费用 的数学期望。
【解析】（1）根据题意，学员（1），（2），（4），（6），（9）恰有两项不合格，
从中任意抽出 人，所有可能的情况如下：
由表可知，全部 种可能的情况中，有 种情况补测项数不超过 ， 3分
故所求概率为 ； 4
分
（2）由题意可知，该学员顺利完成每 轮测试（或补测）的概率为：
，
5分
①由题意，该学员无法通过“科二”考试，
当且仅当其测试与 次补测均未能完成 项测试，相应概率为 ， 6分
故学员能通过“科二”考试的概率为 ，
7分
②根据题意，当且仅当该学员通过测试，或未通过测试但通过第 轮补测时 ，
， 9
分
其他情况时均有 ， ， 11
分
故 的分布列为：故 （元）。
12分
22．（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装 台发电机的水电站，过去 年的水文资料显示，
水库年入流量（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和。单位：亿立方米）都在 以上。其中不足
的年份有 年，不低于 且不超过 的年份有 年，超过 的年份有 年，将年入流量在以上三
段的频率视为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立。
（1）求未来 年中，至多有 年的年入流量超过 的概率；
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 限制，并有如下
关系：
年入流量
发电机最多可运行台数
若某台发电机运行，则该台发电机年利润为 万元。若某台发电机为运行，则该台发电机年亏损 万
元。欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安发电机多少台？
【解析】（1） ，
，
，
∴未来 年中，至多有 年的年入流量超过 的概率为：
，
综上所述，未来 年中，至多有 年的年入流量为 ； 4
分
（2）记水电站的总利润为 （单位，万元），
①安装 台发电机的情形，由于水库年入流量大于 ，
∴一台发电机运行的概率为 ，对应的年利润 ， ，
6分
②安装 台发电机的情形，
当 时，一台发电机运行，此时 ，
∴ ，
当 时，两台发电机运行，此时 ，
∴ ，
∴ ，
9分③安装 台发电机的情形，
当 时，一台发电机运行，此时 ，
∴ ，
当 时，两台发电机运行，此时 ，
∴ ，
当 时，三台发电机运行，此时 ，
∴ ，
∴ ，
11分
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机 台。 12分
