2024 年浙江省高考数学模拟卷
命题：浙江省温州中学
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
z
1．已知复数z满足 =1+i，则z的共轭复数z在复平面上对应的点位于（ ）
3−i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设集合M = { x x=2k+1,k∈Z } ，N = { x x=3k−1,k∈Z } ，则M N =（ ）
{ } { }
A． x x=2k+1,k∈Z B． x x=3k−1,k∈Z
{ } { }
C． x x=6k+1,k∈Z D． x x=6k−1,k∈Z
( ) ( )
3．已知不共线的平面向量a，b满足 a+λb ∥ λa+2b ，则正数λ=（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
4．传输信号会受到各种随机干扰，为了在强干扰背景下提取微弱信号，可用同步累积法．设s是需提取的
确定信号的值，每隔一段时间重复发送一次信号，共发送m次，每次接收端收到的信号
X =s+ε( i =1,2,3,,m )，其中干扰信号ε为服从正态分布N ( 0,σ2 ) 的随机变量，令累积信号
i i i
m
Y =∑X ，则Y服从正态分布N ( ms,mσ2 ) ，定义信噪比为信号的均值与标准差之比的平方，例如X 的
i 1
i=1
2
s
信噪比为
，则累积信号Y的信噪比是接收一次信号的（ ）倍
σ
3
A． m B．m C．m2 D．m2
π π
5．已知函数 f ( x )=cos2x+ ，则“θ= +kπ ( k∈Z )”是“ f ( x+θ)为奇函数且 f ( x−θ)为偶
4 8
函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在平面直角坐标系xOy中，直线y =2x+t与圆C：x2 + y2 −2x+4y =0相交于点A，B，若
2π
∠ACB= ，则t =（ ）
3
1 11 3 13
A．− 或− B．－1或－6 C．− 或− D．－2或－7
2 2 2 2
7．已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高从低到高，互不相同，将他们排成相对身高为“高低高低高”或
“低高低高低”的队形，则甲、丁不相邻的不同排法种数为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
学科网（北京）股份有限公司x2 y2
8．已知双曲线 − =1 ( a,b>0 )上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，
a2 b2
使得△ABC为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． ( 2,+∞ ) B． ( 3,+∞ ) C．( 2,+∞) D． 2 3 ,+∞
3
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．已知函数 f ( x )=( x+1 ) ex，则下列结论正确的是（ ）
1
A． f ( x )在区间(−2,+∞)上单调递增 B． f ( x )的最小值为−
e2
C．方程 f ( x )=2的解有2个 D．导函数 f′( x )的极值点为－3
10．南丁格尔是一位英国护士、统计学家及社会改革者，被誉为现代护理学的奠基人．1854年，在克里米
亚战争期间，她在接到英国政府的请求后，带领由38名志愿女护士组成的团队前往克里米亚救治伤员，
并收集士兵死亡原因数据绘制了如下“玫瑰图”．图中圆圈被划分为12个扇形，按顺时针方向代表一年中
的各个月份．每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例．扇形中的白色部分代表因疾病或其他原因导致的
死亡，灰色部分代表因战争受伤导致的死亡．右侧图像为1854年4月至1855年3月的数据，左侧图像为
1855年4月至1856年3月的数据．下列选项正确的为（ ）
A．由于疾病或其他原因而死的士兵远少于战场上因伤死亡的士兵
B．1854年4月至1855年3月，冬季（12月至来年2月）死亡人数相较其他季节显著增加
C．1855年12月之后，因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降
D．此玫瑰图可以佐证，通过改善军队和医院的卫生状况，可以大幅度降低不必要的死亡
11．如图，平面直角坐标系上的一条动直线l和x，y轴的非负半轴交于A，B两点，若 OA + OB =1恒成
立，则l始终和曲线C： x + y =1相切，关于曲线C的说法正确的有（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．曲线C关于直线y = x和y =−x都对称
1 1
B．曲线C上的点到 , 和到直线y =−x的距离相等
2 2
2
C．曲线C上任意一点到原点距离的取值范围是 ,1
4
π
D．曲线C和坐标轴围成的曲边三角形面积小于1−
4
三、填空题：本小题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
6
a
12．若 2x−
展开式中的常数项为－160，则实数a=______．
x
13．已知公差为正数的等差数列{ a }的前n项和为S ，{ b }是等比数列，且S =−2 ( b +b )2，
n n n 2 3 4
S =6 ( b +b )( b +b )，则{ S }的最小项是第______项．
6 1 2 5 6 n
2π
14．已知正三角形ABC的边长为2，中心为O，将△ABC绕点O逆时针旋转角θ 0<θ<
，然后沿
3
2 6
垂直于平面ABC的方向向上平移至△A′B′C′，使得两三角形所在平面的距离为 ，连接AA′，
3
AC′，BA′，BB′，CB′，CC′，得到八面体ABCA′B′C′，则该八面体体积的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1 1 1
15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知 ， ， 是等差数列．
tanA cosB tanC
（1）若a，b，c是等比数列，求tanB；
π
（2）若B = ，求cos ( A−C )．
3
x2 y2
16．（15分）已知椭圆 + =1 ( a >b>0 )的左焦点为F，椭圆上的点到点F距离的最大值和最小值分
a2 b2
别为 2+1和 2−1．
（1）求该椭圆的方程；
学科网（北京）股份有限公司（2）对椭圆上不在上下顶点的任意一点P，其关于y轴的对称点记为P′，求 PF + P′F ；
（3）过点Q ( 2,0 )作直线交椭圆于不同的两点A，B，求△FAB面积的最大值．
17．（15分）如图，已知三棱台ABC−ABC ，AB= BC =CA= AA = BB =2，AB =4，点O为线
1 1 1 1 1 1 1
段AB 的中点，点D为线段OA 的中点．
1 1 1
（1）证明：直线AD∥平面OCC ；
1
（2）若平面BCC B ⊥平面ACC A ，求直线AA 与平面BCC B 所成线面角的大小.
1 1 1 1 1 1 1
18．（17分）第二次世界大战期间，了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义．已知德军
的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号．假设德军某月生产的坦克总数为N，随机缴获该
月生产的n辆（n< N ）坦克的编号为X ，X ，…，X ，记M =max { X ,X ,,X }，即缴获坦克
1 2 n 1 2 n
中的最大编号．现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N．
X + X ++ X
甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用X = 1 2 n 估计总体的均值，因此
n
N N ( N +1 ) N +1
NX ≈∑i = ，得X ≈ ，故可用Y =2X −1作为N的估计．
2 2
i=1
乙同学对此提出异议，认为这种方法可能出现Y <M 的无意义结果．例如，当N =5，n=3时，若
1+2+4 11
X =1，X =2，X =4，则M =4，此时Y =2⋅ −1= <M ．
1 2 3 3 3
（1）当N =5，n=3时，求条件概率P ( Y <M M =5 ) ；
（2）为了避免甲同学方法的缺点，乙同学提出直接用M作为N的估计值．当N =8，n=4时，求随机
变量M的分布列和均值E ( M )；
（3）丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现E ( M )与N存在明确的大小关系，因
此乙同学的方法也存在缺陷．请判断E ( M )与N的大小关系，并给出证明．
19．（17分）卷积运算在图像处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一般地，对无穷数列
学科网（北京）股份有限公司n
{ a }，{ b }，定义无穷数列c =∑a b ( n∈N )，记作{ a } * { b }={ c }，称为{ a }与{ b }的卷
n n n k n+1−k + n n n n n
k=1
积．卷积运算有如图所示的直观含义，即{
c
}中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的
n
和，易知有交换律{
a
}
*
{
b
}={
b
}
*
{
a
}．
n n n n
（1）若a =n，b =2n，{ a } * { b }={ c }，求c ，c ，c ，c ；
n n n n n 1 2 3 4
（2）对i∈N ，定义T { a }如下：①当i =1时，T { a }={ a }；②当i≥2时，T { a }为满足通项
+ i n i n n i n
0,n<i
d = 的数列{ d }，即将{ a }的每一项向后平移i−1项，前i−1项都取为0．试找到数列
n a ,n≥i n n
n+1−i
{
t
(i)}
，使得
{
t
(i)}
⋅{ a }=T { a }；
n n n i n
（3）若a =n，{ a } * { b }={ c }，证明：当n≥3时，b =c −2c +c ．
n n n n n n n−1 n−2
2024 年浙江省高考数学模拟卷参考答案
命题：温州中学 审题：金华一中
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
D D B B A C B A
第8题解析：设点A ( x,y )，则可取C ( 3y,− 3x ) ，故1=
x2
−
y2
=
3y2
−
3x2
，得
a2 b2 a2 b2
y2 3a2 +b2 b2
= < ，解得b>a，故离心率e> 2．
x2 a2 +3b2 a2
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9 10 11
ABD BCD BCD
第11题解析：A．曲线C不关于直线y =−x对称；
学科网（北京）股份有限公司 1 2 1 2 x+ y
B．设C上一点P ( x,y )，则 x− + y− = ⇔ x2 + y2 −2x−2y−2xy+1=0，而
2 2 2
x + y =1⇔ x+ y+2 xy =1⇒4xy =( 1−x− y )2 ⇔ x2 + y2 −2x−2y−2xy+1=0，成立；
2
( )2
( x+ y )2 1 x + y 1
C．OP2 = x2 + y2 ≤ x + y =1，x2 + y2 ≥ ≥ = ，成立；
2 2 2 8
D．P ( x,y )到点A ( 1,1 )的距离 AP 2 =( x−1 )2 +( y−1 )2 = x2 + y2 −2x−2y+2=2xy+1≥1，故曲线C
π
位于圆( x−1 )2 +( y−1 )2 =1的左下部分四分之一圆弧的下方，故围成面积小于1− ．
4
三、填空题：本小题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12 13 14
8 2
1 2 2 2,
3
注：第14题区间开闭写错不扣分．
S S S
第13题解析：0= 2 + 6 =2⋅ 4 ⇒S =0，故{ S }的最小项是第2项．
2 6 4 4 n
第14题解析：V =V +V +V +V
ABCA′B′C′ A′−ABC C−A′B′C′ A′B′−BC A′C′−AC
1 3 2 6 1 π 2 6 1 2 6
= ⋅ ⋅22⋅ ⋅2+ ⋅2⋅2⋅sin θ+
⋅ + ⋅2⋅2⋅sinθ⋅
3 4 3 6 3 3 6 3
4 π 8 2
= 21+sin θ+ ∈ 2 2, ．
3 6 3
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
（1）由b2 =ac得sin2 B=sinAsinC，
2 1 1 2 cosA cosC sinB
= + ⇔ = + = ，
cosB tan A tanC cosB sin A sinC sin AsinC
2 sinB 1
故 = ⇔ tanB= ．
cosB sin2 B 2
π 1 3
（2）若B = ，则sinAsinC = sinBcosB= ，
3 2 8
1 3 1
又由cos ( A+C )=cosAcosC−sinAsinB=− 得cosAcosC = − ，
2 8 2
学科网（北京）股份有限公司3 1 3 3−2
故cos ( A−C )= − + = ．
8 2 8 4
1
注：第二问直接利用积化和差公式sinAsinC = ( cos ( A−C )−cos ( A+C )) ，写对公式给3分，条件代
2
入正确化简给3分，最终答案1分．
16．（15分）
（1）记c= a2 −b2 ，则a+c= 2+1，a−c= 2−1，
x2
解得a= 2，c=1，故椭圆的方程为 + y2 =1．
2
（2）记椭圆的右焦点为F′，则 PF + P′F = PF + PF′ =2a=2 2．
（3）设A ( x ,y )，B ( x ,y )，直线AB的方程为x=my+2，
1 1 2 2
x=my+2
( )
联立x2 ，得 m2 +2 y2 +4my+2=0，
+ y2 =1
2
2 2⋅ m2 −2 1 3 2⋅ m2 −2
故 y − y = ，S = ⋅3⋅ y − y = ，
1 2 m2 +2 △ABF 2 1 2 m2 +2
3 2t 3 2t 3 2
令t = m2 −2 >0，则S = ≤ = ，当m=± 6 时取到等号．
△ABF t2 +4 2⋅2t 4
17．（15分）
（1）取AB中点M，则CM∥CO，故O，M，C，C 共面，
1 1
由AM与OD平行且相等得平行四边形ODAM，故AD∥OM ，
故AD∥平面OCC ．
1
（2）法1（建系）：以O为原点，OM ，OA 为x，y轴正方向，垂直于平面ABB A 向上为z轴正方向，
1 1 1
建立空间直角坐标系Oxyz．
( ) 1+cosα
设C 3 ( 1−cosα) ,0, 3sinα ，表示出平面ACC A 的法向量n = 1, 3, ，
1 1 1 sinα
1+cosα
由对称性得平面BCC B 的法向量n = 1,− 3, ，
1 1 2 sinα
1
故n ⋅n =0，解得cosα= ，
1 2
3
学科网（北京）股份有限公司2 3 2 6 ( ) ( )
故C ,0, ，n = 1, 3, 2 ，n = 1,− 3, 2 ，
3 3 1 1
AA,n
2 π
记所求线面角为θ，则sinθ= 1 2 = ，故θ= ．
AA n 2 4
1 2
法2（综合法）：连接CA ，CB ，取AC 中点N，则CN = AA =1= NA = NC ，故CA ⊥CC ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
由平面BCC B ⊥平面ACC A ，CC =平面BCC B 平面ACC A ，故CA ⊥平面BCC B ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
故BC ⊥ AC，又由BC = AC，得BC = AC = 2，
1 1 1 1 1 1
AC 2
延长CC ，AA，BB交于点V，则所求线面角即∠AVC，而sin∠AVC = 1 = ，故直线AA 与
1 1 1 1 1 AV 2 1
1
π
平面BCC B 所成线面角的大小为 ．
1 1 4
π
法3（三余弦定理）：延长CC ，AA，BB交于点V，则∠BVA = ，∠AVC =∠BVC ，
1 1 1 1 1 3 1 1 1 1
由平面BCC B ⊥平面ACC A ，用三余弦定理得cos∠BVA =cos∠CVA ⋅cos∠CVB ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 π
因此cos∠CVA = ，故直线AA 与平面BCC B 所成线面角即为∠CVA = ．
1 1 2 1 1 1 1 1 4
18．（17分）
学科网（北京）股份有限公司C2 3
（1）M =5时，最大编号为5，另2辆坦克编号有C2种可能，故P ( M =5 )= 4 = ，
4 C3 5
5
由Y <M ，有2X −1<5⇔ X <3，故总编号和小于9，除最大编号5外另2个编号只能是1，2，
1 1
仅1种可能，故P ( Y <M且M =5 )= = ，
C3 10
5
P ( Y <M且M =5 ) 1
( )
因此P Y <M M =5 = = ．
P ( M =5 ) 6
（2）分布列如下：
M 4 5 6 7 8
C3 1 C3 4 2 C3 10 1 C3 20 2 C3 35 1
P 3 = 4 = = 5 = = 6 = = 7 = =
C4 70 C4 70 35 C4 70 7 C4 70 7 C4 70 2
8 8 8 8 8
36
故E ( M )= ．
5
（3）直观上可判断E ( M )< N ，
N N
证明：E ( M )=∑kP ( M =k )<∑NP ( M =k )= N ．
k=n k=n
19．（17分）
（1）c =2，c =8，c =22，c =52．
1 2 3 4
1,n=1 1,n=i
（2）t
(1)
= ，对一般的i∈N ，t
(i)
= ．
n 0,n≥2 + n 0,n≠i
n
（3）法1：记{ b }的前n项和为S ，由卷积运算的交换律有∑( n+1−k ) b =c ，
n n k n
k=1
n n
故( n+1 ) S −∑kb =c …①，因此( n+2 ) S −∑kb −( n+1 ) b =c …②，②－①得
n k n n+1 k n+1 n+1
k=1 k=1
S =c −c ，故当n≥3时，b =S −S =( c −c )−( c −c )=c −2c +c ．
n+1 n+1 n n n n−1 n n−1 n−1 n−2 n n−1 n−2
法2：记{ b }的前n项和为S ，常数列T =1 (∀n∈N )，注意
n n n +
……（Ⅰ）
学科网（北京）股份有限公司易证卷积关于数列加法有分配律，将（Ⅰ）中所有数列对应项相加，得{
T
}
*
{
b
}={
S
}，注意
n n n
……（Ⅱ）
注意{ T }是 { t (i)} 对所有i∈N 对应项相加所得的数列，{ a }是 { t (i)} * { T }对所有i∈N 对应项相加所得
n n + n n n +
的数列，易知卷积运算有结合律，因此将（Ⅱ）中所有数列对应项相加，得c ={ a } * { b }的通项即为
n n n
n
c =∑S ，故当n≥3时，b =S −S =( c −c )−( c −c )=c −2c +c ．
n i n n n−1 n n−1 n−1 n−2 n n−1 n−2
i=1
注：以上论证可用符号语言说明如下：
定义数列加法：{ z }={ x }+{ y }，其中z = x + y ．
n n n n n n
容易验证卷积运算满足结合律： ({ x } * { y }) * {ω}={ x } * ({ y } * {ω}) ，
n n n n n n
数列加法关于卷积满足分配律： ({ x }+{ y }) * {ω}={ x } * {ω}+{ y } * {ω}．
n n n n n n n
因此{ a n } * { b n }=
∑
∞
{
t n
(j)}
*∑
∞ {
t n
(i)}
* { b n }=∑
∞
{
t n
(j)}
*∑
∞ ({
t n
(i)}
* { b n }
)
=∑
n
S i ．
j=1 i=1 j=1 i=1 i=1
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