文档内容
浙江省高考科目考试绍兴市适应性试卷
（2024年4月）
数学试题
本科试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共 6页，选择题部分1至3页，非选择题部分3
至6页，满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：
1.答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、座位号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写
在试题卷和答题纸规定的位置上。
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试
题卷上的作答一律无效。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1.已知 ，则 （ ）
A. B.3 C. D.5
2.已知椭圆 的离心率为 ，长轴长为4，则该椭圆的短轴长为（ ）
A. B. C. D.
3.已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）
A.9 B.10 C.11 D.12
4.已知四边形 是平行四边形， ， ，记 ， ，则
（ ）
A. B.
C. D.
5.过点 作圆 的切线 ， 为切点， ，则 的最大值是（ ）
A. B. C. D.
6.已知 ， ，则 （ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
7.在边长为4的正三角形 中，E，F分别是 ， 的中点，将 沿着 翻折至 ，
使得 ，则四棱锥 的外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
8.已知点A，B，C都在双曲线 ： 上，且点A，B关于原点对称， .
过A作垂直于x轴的直线分别交 ， 于点M，N.若 ，则双曲线 的离心率是（ ）
A. B. C.2 D.
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.国家统计局统计了2024年1月全国多个大中城市二手住宅销售价格的分类指数，其中北方和南方各4个
城市的90m²及以下二手住宅销售价格的环比数据如下：
北 方 城 环比（单位：%，上月=100） 南方城市 环比（单位：%，上月=100）
市
北京 99.5 上海 99.5
天津 99.6 南京 99.5
石家庄 99.6 南昌 99.6
沈阳 99.7 福州 99.8
则（ ）
A.4个北方城市的环比数据的极差小于4个南方城市的环比数据的极差
B.4个北方城市的环比数据的均值小于4个南方城市的环比数据的均值
C.4个北方城市的环比数据的方差大于4个南方城市的环比数据的方差
D.4个北方城市的环比数据的中位数大于4个南方城市的环比数据的中位数
10.已知等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，前 项积为 ，且 ， ，则（ ）
A.数列 是递增数列 B.数列 是递减数列
C.若数列 是递增数列，则 D.若数列 是递增数列，则
11. 已 知 定 义 在 上 的 函 数 在 区 间 上 单 调 递 增 ， 且 满 足 ，
，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 的展开式中 的系数是___________.（用数字作答）
13.已知集合 ， ，且 有 4 个子集，则实数 的最小值是
___________.
14.已知函数 ，若 ， ， ，则实数 的取值范
围是__________.
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（13分）
如图，在三棱锥 中， ， ， ， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ， ，求二面角 的平面角的正切值.
16.（15分）
盒中有标记数字1，2的小球各2个.
（1）若有放回地随机取出2个小球，求取出的2个小球上的数字不同的概率；
（2）若不放回地依次随机取出4个小球，记相邻小球上的数字相同的对数为 （如1122，则 ），
求 的分布列及数学期望 .
17.（15分）
学科网（北京）股份有限公司已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时， ，求实数 的取值范围.
18.（17分）
已知抛物线 ： 的焦点到准线的距离为2，过点 作直线交 于M，N两点，点
，记直线 ， 的斜率分别为 ， .
（1）求 的方程：
（2）求 的值；
（3）设直线 交C于另一点Q，求点B到直线 距离的最大值.
19.（17分）
已知 ，集合 .
（1）求 中最小的元素；
（2）设 ， ，且 ，求 的值；
（3）记 ， ，若集合 中的元素个数为 ，求 .
学科网（北京）股份有限公司浙江省高考科目考试绍兴市适应性试卷
（2024年4月）
数学参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1.C 2.B 3.D 4.A 5.D 6.B 7.C 8.B
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对的得6分，部分选对的得3
分，有选错的得0分）
9.AD 10.ACD 11.BCD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.-80 13. 14. 或
四、解答题（本大题共5小题，共77分）
15.（本题满分13分）
（1）证明：在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，所以 ，
又 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 .
（2）解法1：过点 作 交 于点 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 .
过点 作 交 于点 ，连接 ，则 ，
所以 是二面角 的平面角.
由（1）知， ，所以 ，
又 ，所以，三角形 是正三角形，
所以， ， .
在直角三角形 中， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 .
所以，二面角 的平面角的正切值是2.
解法2：以 为原点， ， 所在直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ，设 ，其中 ，
由 ， 得
所以 ， ，即 ，
所以， ， .
设平面 的法向量为 ，则
取 ，则 ， ，所以 .
又平面 的法向量为 ，
设二面角 的大小为 ，
因为 为锐角，所以 ，
所以 ， ，
所以，二面角 的平面角的正切值为2.
学科网（北京）股份有限公司16.（本题满分15分）
解：（1）设事件 “取出的2个小球上的数字不同”，
则 .
（2） 的所有可能取值为0，1，2.
①当相邻小球上的数字都不同时，如1212，有 种，
则 .
②当相邻小球上的数字只有1对相同时，如1221，有 种，
则 .
③当相邻小球上的数字有2对相同时，如1122，有 种，
则 .
所以 的分布列为
0 1 2
所以 的数学期望 .
17.（本题满分15分）
解：（1）设切线斜率为 ，因为 ，所以 ，
又 ，
所以，切线方程是 .
学科网（北京）股份有限公司（2）①当 时，因为 ，所以 ，
所以 .
记 ，则 ， .
因为当 时， ，所以 在区间 上单调递增，
所以， ，
所以， 在区间 上单调递增，
所以， ，所以 .
②当 时， ，
因为当 时， ，所以 ，
所以 在区间 上单调递增.
因为 ， ，
所以，存在 ，使得 ，
所以，当 时， ，即 在区间 上单调递减，
所以 ，不满足题意.
综上可知， .
18.（本题满分17分）
解：（1）因为焦点到准线的距离为2，所以 ，
所以抛物线 的方程为 .
（2）设 ， ，直线 的方程为 ，
学科网（北京）股份有限公司由 得 ，所以
因为
，
，
所以， .
（3）设 ， ， ，
则直线 的斜率 ，
所以直线 的方程为 ，
即 .
同理，直线 方程为 ，
直线 方程为 .
因为直线 经过 ，所以 ，
解得 ，
因为直线 经过 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司解得 ，
所以 ，整理得 .
又因为直线 的方程为 ，
所以直线 经过定点 ，
所以，当 时，点 到直线 距离取得最大值为 .
19.（本题满分17分）
解：（1） 中的最小元素为 .
（2）由题得 ，设 ， .
①当 时， 或 或 或 或
或 .
经检验，当 时， ，符合题意，
所以 .
②当 时， 或 或 或 .
经检验，当 时， ，符合题意，
所以 .
③当 时，不符合题意.
因此， 或10.
（3）设 ，则 ，其中 ，
，所以 ，
设 ，则 .
学科网（北京）股份有限公司因为 ，
所以
.
因为 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 .
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