文档内容
永州市 2024 年高考第三次模拟考试
数 学
命题人：眭小军（永州一中） 杜艳秋（永州四中）
谢 军（江华二中） 田九三（祁阳二中）
审题人：席俊雄（永州市教科院）
注意事项：
1．本试卷共150分，考试时量120分钟．
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．
3．考试结束后，只交答题卡．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1． 已知集合 ， ，则
B． C． D．
A．
2． 样本数据16，24，14，10，20，15，12，14的上四分位数为
A．14 B．15 C．16 D．18
3． 已知非零数列 满足 ，则 =
A．8 B．16 C．32 D．64
4． 的展开式中第四项的系数为540，则 的值为
A． B． C． D．
5． 为迎接2024年在永州举行的中国龙舟公开赛，一位热情好客的永州市民准备将 9份
一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人
分得的份数不相同，则不同的分法总数为
A．26 B．25 C．24 D．23
6． 在 中， ， ， , ,则 的最小值
为
A． B． C． D．
7． 已知函数 ，其中 是自然对数的底数.若
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A． B． C． D．
8． 已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，点 为坐标原点，
过 的直线分别交双曲线左、右两支于 , 两点，点 在 轴上， ，
平分 ，其中一条渐近线与线段 交于点 ,则
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9． 下列说法正确的是
A．已知随机变量 ，若 ，则
B．设 ， ，则“ ”成立的充要条件是“ ”
C．已知 ， ，则
D．若 ， ， ，则事件 与 相互独立
10．已知抛物线 的焦点为 ，过点 且倾斜角为锐角的直线 与抛物线 相交
于 ， 两点（点 在第一象限），过点 作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，
直
线 与抛物线 的准线相交于点 ，则
A． 的最小值为2
B．当直线 的斜率为 时，
C．设直线 ， 的斜率分别为 ， ，则
D．过点 作直线 的垂线，垂足为 ， 交直线 于点 ，则
11．在平面四边形 中， , , 为等边三角形，将
沿 折起，得到三棱锥 ，设二面角 的大小为 ．则下列说法正
确的是
A．当 时， ， 分别为线段 ， 上的动点，则 的最小值为
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学科网（北京）股份有限公司B．当 时，三棱锥 外接球的直径为
C．当 时，以 为直径的球面与底面 的交线长为
当 时， 绕 点旋转至 所形成的曲面面积为
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知复数 ， ，若 （ 为 的共轭复
数），则实数 的取值范围为 ．
13．已知在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
，
，则 ．
14．已知函数 的定义域为R， ， ，且对于
，恒有 ，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
．（本题满分13分）绿化祖国要扩绿、兴绿、护绿并举．某校植树节分别在甲，乙两
15
块不同的土地上栽种某品种树苗各 500株．甲地土质含有 元素，乙地土质不含有
元素，其它土质情况均相同，一段时间后，为了弄清楚该品种树苗的成活情况与
元素含量是否有关联，分别在甲，乙两块土地上随机抽取树苗各50株作为样本进
行统计分析．经统计，甲地成活45株，乙地成活40株．
（1）根据所给数据，完成下面的2 2列联表（单位：株），并判断依据小概率值
=0.10的独立性检验，能否认为该品种树苗成活与 元素含量有关联？
（2）若将频率视为概率，从样本中不成活的树苗中随机抽取3株，其中取自甲地的
株数为 ，求 的分布列及方差．
参考公式：
2 2列联表
参考数据：
树苗成活情况
0.10 0.05 0.010 0.005 类别 合计
成活 不成活
2.706 3.841 6.635 7.879
含 元素
16．（本题满分15分）如图，在多面体
不含 元素
合计
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学科网（北京）股份有限公司中，底面 为直角梯形， ， ， ，
．
（1）证明： ；
E
（2）若 ， ，且多面体 的
体积为 ，求直线 与平面 所成角的正
弦值．
F
D C
A B
（ 第 16 题
图）
17．（本题满分15分）已知函数 .
（1）当 时，求 在 的单调区间及极值.
（2）若 恒成立，求 的取值范围.
18．（本题满分17分）已知数列 为等比数列， 为等差数列，且 ,
,
．
（1）求 ， 的通项公式；
（2）数列 的前 项和为 ，集合
共有5个元素，求实数 的取值范围；
3）若数列 中， ， ，求证：
（
．
19．（本题满分17分）已知 为坐标原点，动点 在椭圆 上，动点 满足
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学科网（北京）股份有限公司，记点 的轨迹为 ．
（1）求轨迹 的方程；
（2）在轨迹 上是否存在点 ，使得过点 作椭圆 的两条切线互相垂直？若存在，
求点 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）过点 的直线 交轨迹 于 ， 两点，射线 交轨迹 于
点 ，射线 交椭圆 于点 ，求四边形 面积的最大值．
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