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湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年
高一下学期开学考试数学试题
一、单选题
1．已知集合 则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知某个三角形的两条高长度分别为5和10，该三角形的形状不变，请你构建不等关
系，求出它第三条高长度的取值范围（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．已知 ，则以下关于 的大小关系正确的是
（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题为假命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ， ，则
6．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．对于函数 的图象及性质的下列表述，正确的是（ ）
A．图像上的纵坐标不可能为1 B．图象关于点（1,1）成中心对称C．图像与 轴无交点 D．图像与垂直于 轴的直线可能有两个交点
8．已知函数 ，有 ，则实数 （ ）
A． 或4 B． 或2 C．2或9 D．2或4
二、多选题
9．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ， 则 B．若 ， 则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
10．下列四个命题是真命题的是（ ）
A．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
B．函数 （其中 ，且 ）的图像过定点
C．函数 的值域为
D．已知 在 上是增函数，则实数a的取值范围是
11．已知函数 ，则（ ）
A．函数 有3个零点
B．若函数 有2个零点，则
C．若关于 的方程 有4个不等实根 ， ， ， ，则
D．关于 的方程 有5个不等实数根三、填空题
12．若幂函数 在 上单调递增，则 .
13．将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到偶函数 的
图象，则 的最小值是 .
14．已知函数 ，则不等式 的解集是为
.
四、解答题
15．已知集合 ，若 ，求实数m的取值范围．
16．如图所示，某小区中心有一块圆心角为 ，半径为 的扇形空地，现计划将该区
域设计成亲子室外游乐区域，根据设计要求，需要铺设一块平行四边形的塑胶地面EFPQ
（其中点E，F在边OA上，点 在边OB上，点 在AB上），其他区域地面铺设绿地，
设 .
(1) 表示绿地的面积 ；
(2)若铺设绿地每平方米100元，要使得铺设绿地的出用 最低， 应取何值，并求出此时
的值．
17．春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象．已知某火车站候车厅，候车人数与时间 相关，时间 （单位：小时）满足
， ．经测算，当 时，候车厅处于满厅状态，满厅人数5320人，当
时，候车人数相对于满厅状态时会减少，减少人数与 成正比，且时间为6
点时，候车人数为4120人，记候车厅候车人数为 ．
(1)求 的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；
(2)若为了解决旅客的安全饮水问题，需要提供的免费矿泉水瓶数 ，则
一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少？
18．已知函数 （ ）是偶函数．
(1)求k的值；
(2)若函数 （ ），是否存在实数m，使得 的最小值为
0？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
19．若函数 对定义域内的每一个值 ，在其定义域内都存在唯一的 ，使得
成立，则称该函数是“依赖函数”．
(1)判断 是否是“依赖函数”，并说明理由；
(2)若 在定义域 上是“依赖函数”，求 的值；
(3)已知函数中 在定义域 上是“依赖函数”，记
，若 的解集中恰有两个整数，求实数 的取值范围．参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A D B A A D BC ABD
题号 11
答案 BCD
12．
13．
14．
15． 或 或
16．(1) ， ．
(2) 时， 取得最小值 元．
17．(1) ；4360人
(2) 时，需要提供的矿泉水瓶数最少
18．(1)
(2)
【详解】（1）因函数 （ ）是偶函数，
故
因 且不恒为0，故 得
.
（2）由（1）可得 则，
设 因 ，则 ， 其对称轴为 ，
则①当 时， 在区间 上单调递减，则 解得 ，
不符题意，舍去；
②当 时， 在区间 上先减后增，故 解得
故 ；
③当 时， 在区间 上单调递增，则 解得 不
符题意，舍去.
故存在 ，使得 的最小值为0.
19．【解】（1） 不是“依赖函数”，理由如下：
当 时， ，则 ，
故 ，解得 ，
所以 不是“依赖函数”；
（2） 时， ，显然 ，
解得 ，
在定义域 上单调递增，且 ，
由题意得，当 时， ，
要想满足存在唯一的 使得 ，则 ， ，解得 ；
（3）当 时， ，
故对于 ，不存在 ，使得 ，
在定义域 上不是“依赖函数”，
当 时， 在 上单调递增，
要想 在定义域 上是“依赖函数”，
需满足 ，即 ，
解得 （舍去）或0，
故 ，
若 ，则 的解集为 ，
的解集中恰有两个整数，故 ，
若 ，此时 的解集为 ，不合要求，
若 ，则 的解集为 ，
的解集中恰有两个整数，故 ，
综上，实数 的取值范围是 或 .
