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秘密★启用前
2024 年阳泉市高三年级第三次模拟测试试题
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置．
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
4．考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题：（本大题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．）
1．设集合 ，则集合 与集合 的关系是（ ）
A． B． C． D．
2．已知 是实系数方程 的一个复数根，则 （ ）
A． B． C．1 D．9
3．已知 ，且 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知等差数列 中， 是函数 的一个极大值点，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
5．已知非零向量 满足 ，且 与 上的投影向量为 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．
6．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，双曲线的右支上有一点 与
学科网（北京）股份有限公司双曲线的左支交于点 ，线段 的中点为 ，且满足 ，若 ，则双曲线 的离
心率为（ ）
A．2 B． C． D．
7．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设 为整数，若 和
被 除得的余数相同，则称 和 对模 同余，记为 ．如9和21除以6所得的余数都是
3，则记为 ．若 ，则 的值可以是
（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
8．已知正方体 的棱长为 ．为线段 的动点，则三棱锥 外接球半径的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．已知圆 ，若圆 上仅存在一点 使 ，则正实数 的取值可
以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．在一个有限样本空间中，假设 ，且 与 相互独立， 与 互斥，则（
）
A． B．
C． D．若 ，则 与 互斥
11．已知定义在 上的函数 满足 ，则（ ）
A． 是奇函数 B． 在 上单调递减
学科网（北京）股份有限公司C． 是偶函数 D． 在 在上单调递增
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知 ，则 ______．
13．已知数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的前100项和
______．
14．已知函数 恰有3个零点，则 的取值范围是______．
四、解答题：（本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题13分）如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选取 四个点，使
得 ，测得 ．
（1）若 选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且 ， ，求 两
点间距离；
（2）求 的值．
16．（本小题15分）全国“村 ”篮球赛点燃了全民的运动激情，深受广大球迷的喜爱．每支球队都有
一个或几个主力队员，现有一支“村 ”球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的
所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况整理成如下 列联表：
甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计
胜 负
上场 40 45
未上场 3
合计 42
（1）完成 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场
有关；
（2）由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时、打前锋、
学科网（北京）股份有限公司中锋、后卫的概率分别为 ，相应球队赢球的概率分别为 ．
（i）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率；
（ii）当甲球员上场参加比赛时，已知球队赢球的条件下，求甲球员打中锋的概率．（精确到0.01）
附： ．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
17．（本小题15分）在三棱柱 中，四边形 是菱形， 是等边三角形，点
是线段 的中点， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）若平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
18．（本小题17分）设函数
（1）当 时， 恒成立，求 的最大值；
（2）证明：对任意正整数 ，不等式 ．
19．（本小题17分）已知圆 ．点 在圆 上，延长 到 ，使
，点 在线段 上，满足 ．
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）设 点在直线 上运动， ．直线 与 轨迹 分别交于 两点，求
证： 所在直线恒过定点。
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2024 年阳泉市高三年级第三次模拟测试试题
高三数学参考答案和评分标准
一、单项选择题：（每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 C A A D B C A D
二、多项选择题：（每小题5分，共20分）
题号 9 10 11
选项 BD BCD AB
三、填空题：（每小题5分，共20分）
12． 13． 或 14．
四、解答题：（本大题共6小题，共70分）
15．解：（1）在 中，由正弦定理得 ，
即 ，
解得 ， ，
为等腰直角三角形， ，
则 ．
在 中，由余弦定理得
，
故 ．
故 两点间距离为 ．
学科网（北京）股份有限公司（2）设 ，则由题意可知， ．
在 中，由正弦定理得 ，
即 ，
在 中，由正弦定理得 ，
即 ，
又
，
．
16．解：（1）根据题意，可得 的列联表：
甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计
胜 负
上场 40 5 45
未上场 2 3 5
合计 42 8 50
零假设 ：球队的胜负与甲球员是否上场无关
此时
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为球队的胜负与甲球员是否上场有关．
（2）由甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为 、 、 ，
学科网（北京）股份有限公司相应球队赢球的概率分别为 、 、 ．
（i）设事件 ：甲球员上场打前锋，事件 ：甲球员上场打中锋，事件 ：甲球员上场打后卫，事件 ：
球队赢球，
则 ．
．
当甲球员上场参加比赛时，球队赢球的概率：
.
（ii）当甲球员上场参加比赛时，已知球队赢球的条件下，甲球员打中锋的概率为：
故当甲球员上场参加比赛时，已知球队赢球的条件下，
甲球员打中锋的概率约为0.55．
17．解：（1）设 与 交点为 ，连接 ．
四边形 是菱形，
是 的中点．
在 中，
是等边三角形， ．
在 中， 是 的中点， ．
（4分）
又 平面 ，
学科网（北京）股份有限公司平面 ．
（2）连接 ，
是等边三角形， 是线段 的中点， ．
又 平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
平面 ．
以 为原点， 、 所在直线分别为 轴、 轴如图建立空间直角坐标系，
不妨设 ，则 ， ， ， ， ， ，
于是 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
即 ，
令 ，得 ，
平面 的一个法向量为 ．
设直线 与平面 所成角大小为 ，
则 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
18．解：（1）由已知得， ，设
学科网（北京）股份有限公司则 总成立，
在 上递增， ，
当 即 时，可知 总成立， 在 上递增，
总成立，故 满足题意．
当 时，
在 上递增， 存在 使得 ，
由 得 ，由 得 在 上递减，
此时， ，显然与题意矛盾， 不合题意．
综上， 为所求．
（2）由（1）可得当 ，且 时， 恒成立．
，
当且仅当 时等号成立，令 ，
则 ，
．
故 ．
19．解：（1） ，
学科网（北京）股份有限公司，
为 的中点，
又 为 的中点， ，
则 ，
点 的轨迹是以 为焦点的椭圆，而 ，
点 的轨迹 的方程为 ；
（2）由（1）得 是椭圆 的左右顶点，
设 ，
由 三点共线，得 ，而 ，
，
由 三点共线，得 ，而 ，
，
，即 ，
设 的方程为 ，
学科网（北京）股份有限公司联立 ，得 ，
则 ，
，
，
由 ，
得 ，
即 ，
，
恒成立， ，
所在直线恒过定点 ．
（以上答案仅供参考，如有不同解法酌情给分）
学科网（北京）股份有限公司
