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2015年第十三届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（五年级
第2试）
一、填空题（每小题5分，满分60分）
1．（5分）用3、4、7、8、这四个数组成两个两位数（每个数字只能用一次，且必须使用），它们
的乘积最大是 ．
2．（5分）有三个自然数，它们的和是2015，两两相加的和分别是m+1，m+2011和m+2012，则
m＝ ．
3．（5分）用1、2、3、5、6、7、8、9这8个数字最多可以组成 个质数（每个数字只能使用
一次，且必须使用）．
4．（5分）一次数学竞赛中，某小组10个人的平均分是84分，其中小明得93分，则其他9个
人的平均分是
分．
5．（5分）同时掷4个相同的小正方体（小正方体的六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，则
朝上一面的4个数字的和有 种．
6．（5分）某长方体的长、宽、高（长、宽、高均大于1）是三个彼此互质的自然数，若这个长方
体的体积是665，则它的表面积是 ．
7．（5分）大于0的自然数n是3的倍数，3n是5的倍数，则n的最小值是 ．
8．（5分）从1、2、3、4、5中任取3个组成一个三位数，其中不能被3整除的三位数有
个．
9．（5分）观察下表中的数的规律，可知第8行中，从左向右第5个数是 ．
10．（5分）如果2头牛可以换42只羊，3只羊可以换26只兔，2只兔可以换3只鸡，则3头牛
可以换多少只鸡？
11．（5分）用一根34米长的绳子围成一个矩形，且矩形边长都是整数米，共有 种不同
的围法（边长相同的矩形算同一种围法）．
第1页（共9页）12．（5分）将五位数“12345”重复写403次组成一个2015位数“123451234512345…”，从
左往右，先删去这个数中所有位于奇数位上的数字，得到一个新数，再删去新数中所有位
于奇数位上的数字；按上述规则已知删下去，直到剩下一个数字为止，则最后剩下的数字
是 ．
二、解答题（每个小题15分，共60分），每题都要写出推算过程
13．（15分）甲、乙两船顺流每小时行8千米，逆流每小时行4千米，若甲船顺流而下，然后返
回；乙船逆流而上，然后返回，两船同时出发，经过3小时同时回到各自的出发点，在这3
小时中有多长时间甲、乙两船同向航行？
14．（15分）图中有多少个三角形？
15．（15分）如图，在一个平行四边形纸片上剪去甲、乙两个直角三角形．甲直角三角形的两
条直角边边分别为8cm和5cm．乙直角三角形的两条直角边边分别为6cm和2cm．求图中
阴影部分的面积．
16．（15分）有158个小朋友排成一排，从左边第一个人起（第一个人发一个苹果），每隔1人
发一个苹果，又从右边第一个人起（第一个人发一个香蕉），每隔2人发一个香蕉，求没有
得到水果的小朋友的人数．
第2页（共9页）2015 年第十三届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷
（五年级第 2 试）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题5分，满分60分）
1．（5分）用3、4、7、8、这四个数组成两个两位数（每个数字只能用一次，且必须使用），它们
的乘积最大是 614 2 ．
【解答】解：根据乘法的性质及数位知识可知，
3、4、7、8这四个数字组成可组成的两位数，
乘积最大可为：74×83＝6142．
故答案为：6142．
2．（5分）有三个自然数，它们的和是2015，两两相加的和分别是m+1，m+2011和m+2012，则
m＝ 2 ．
【解答】解：由题意可知：
m+1+m+2011+m+2012＝2015×2
3m+4024＝4030
3m＝6
m＝2
故答案为：2．
3．（5分）用1、2、3、5、6、7、8、9这8个数字最多可以组成 6 个质数（每个数字只能使用一
次，且必须使用）．
【解答】解：可以组成下列质数：
2、3、5、7、61、89，一共有6个．
答：用1、2、3、5、6、7、8、9这8个数字最多可以组成 6个质数．
故答案为：6．
4．（5分）一次数学竞赛中，某小组10个人的平均分是84分，其中小明得93分，则其他9个
人的平均分是
8 3 分．
【解答】解：（84×10﹣93）÷（10﹣1）
第3页（共9页）＝747÷9
＝83（分）
答：其他9个人的平均分是83分．
故答案为：83．
5．（5分）同时掷4个相同的小正方体（小正方体的六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，则
朝上一面的4个数字的和有 2 1 种．
【解答】解：根据分析可得，
朝上一面的4个数字的和最小是：1×4＝4，最大是6×4＝24，
24﹣4+1＝21（种）
答：朝上一面的4个数字的和有 21种．
故答案为：21．
6．（5分）某长方体的长、宽、高（长、宽、高均大于1）是三个彼此互质的自然数，若这个长方
体的体积是665，则它的表面积是 52 6 ．
【解答】解：665＝19×7×5，
因为长、宽、高（长、宽、高均大于1）是三个彼此互质的自然数，所以长、宽、高分别是19、
7、5，
（19×7+19×5+7×5）×2
＝（133+95+35）×2
＝263×2
＝526，
答：它的表面积是526．
故答案为：526．
7．（5分）大于0的自然数n是3的倍数，3n是5的倍数，则n的最小值是 1 5 ．
【解答】解：3n是5的倍数，3n的个数一定是0或5
又因为大于0的自然数n是3的倍数，
所以3n最小是45
3n＝45
n＝15
所以n最小取15时，n是3的倍数，3n是5的倍数．
答：n的最小值是15．
故答案为：15．
第4页（共9页）8．（5分）从1、2、3、4、5中任取3个组成一个三位数，其中不能被3整除的三位数有 1 8 个．
【解答】解：1+2+3＝6，1+2+4＝7，1+2+5＝8，2+3+4＝9，2+3+5＝10，3+4+5＝12，
其中不能被3整除的数的和是7、8、10，即有三组（1、2、4），（1、2、5）（2、3、5），
每一组可以组成3×2×1＝6个，三组共可以组成6×3＝18个，
即不能被3整除的数共有18个．
故答案为：18．
9．（5分）观察下表中的数的规律，可知第8行中，从左向右第5个数是 5 4 ．
【解答】解：由图可知，第1行的数为1，
第2行的最后一个数为2×2＝4，
第3行的最后一个数为3×3＝9，
…
所以第7行最后一个数为7×7＝49，
则第8行第1个数为49+1＝50，第5个数为50+4＝54，
故答案为：54．
10．（5分）如果2头牛可以换42只羊，3只羊可以换26只兔，2只兔可以换3只鸡，则3头牛
可以换多少只鸡？
【解答】解：42÷2＝21（只）
21÷3×26
＝7×26
＝182（只）
182÷2×3
＝91×3
＝273（只）
273×3＝819（只）
答：3头牛可以换819只鸡．
11．（5分）用一根34米长的绳子围成一个矩形，且矩形边长都是整数米，共有 8 种不同的
围法（边长相同的矩形算同一种围法）．
第5页（共9页）【解答】解：设矩形的长为am，宽为bm，且a≥b，根据题意，a+b＝17，
由于a，b均为整数，因此（a，b）的取值有以下8种：（16，1），（15，2），（14，3），（13，4），
（12，5），（11，6），（10，7），（9，8），
故答案为8．
12．（5分）将五位数“12345”重复写403次组成一个2015位数“123451234512345…”，从
左往右，先删去这个数中所有位于奇数位上的数字，得到一个新数，再删去新数中所有位
于奇数位上的数字；按上述规则已知删下去，直到剩下一个数字为止，则最后剩下的数字
是 4 ．
【解答】解：根据分析，对2015位数从左向右进行编号，从1到2015第1轮操作，删去的数
＝（2015+1）÷2＝1008，
剩下＝2015﹣1008＝1007，留下的是编号为偶数的数字；
第2轮操作，删去的数字数＝（1007+1）÷2＝504，剩下＝1007﹣504＝503，留下的是编号
是4的倍数的数字；
第3轮操作，删去的数字数＝（503+1）÷2＝252，剩下＝503﹣252＝251，留下的是编号是8
的倍数的数字；
第4轮操作，删去的数字数＝（251+1）÷2＝126，剩下＝251﹣126＝125，留下的是编号为
16的倍数的数字；
第5轮操作，删去的数字数＝（125+1）÷2＝63，剩下＝125﹣63＝62，留下的是编号为32
的倍数的数字；
第6轮操作，删去的数字数＝（63+1）÷2＝63，剩下＝63﹣32＝31，留下的是编号为64的
倍数的数字；
第7轮操作，删去的数字数＝（31+1）÷2＝16，剩下＝31﹣16＝15，留下的是编号为128的
倍数的数字；
第8轮操作，删去的数字数＝（15+1）÷2＝8，剩下＝15﹣8＝7，留下的是编号为256的倍
数的数字；
第9轮操作，删去的数字数＝（7+1）÷2＝4，剩下＝7﹣4＝3，留下的是编号为512的倍数
的数字；
第10轮操作，删去的数字数＝（3+1）÷2＝2，剩下＝3﹣2＝1，留下的是编号为1024的倍
数的数字；
一共要进行10轮操作，而原来的2015位数是按照1234512345…5个1组的规律进行排列
的1024÷5＝204…4，多出来的这4个数字依此是1234，∴编号为1024的数字＝4，
第6页（共9页）故答案是：4．
二、解答题（每个小题15分，共60分），每题都要写出推算过程
13．（15分）甲、乙两船顺流每小时行8千米，逆流每小时行4千米，若甲船顺流而下，然后返
回；乙船逆流而上，然后返回，两船同时出发，经过3小时同时回到各自的出发点，在这3
小时中有多长时间甲、乙两船同向航行？
【解答】解：设3小时顺流行驶单趟用时间为x小时，则逆流行驶单趟用的时间为（3﹣x）小
时，故：
x：（3﹣x）＝4：8
8x＝4×（3﹣x）
8x＝12﹣4x
12x＝12
x＝1
逆流行驶单趟用的时间：
3﹣1＝2（小时），
两船航行方向相同的时间为：
2﹣1＝1（小时），
答：在3个小时中，有1小时两船同向都在逆向航行．
14．（15分）图中有多少个三角形？
【解答】解：最内部的正方形中三角形的个数有：8+4+4＝16（个），
中间的正方形中三角形的个数有：8+4+4+4×3＝28（个），
外边的正方形中三角形的个数有：8+4+4+4×3＝28（个），
共有：16+28+28＝72（个）
答：图中有72个三角形．
第7页（共9页）15．（15分）如图，在一个平行四边形纸片上剪去甲、乙两个直角三角形．甲直角三角形的两
条直角边边分别为8cm和5cm．乙直角三角形的两条直角边边分别为6cm和2cm．求图中
阴影部分的面积．
【解答】解：根据分析，如图，将图进行扩展，△AEB、△ABH、△CDM的面积相等，
△BCN、△BCP、△AFD的面积相等，由图可知，
阴影部分的面积＝长方形ENMF的面积﹣△AEB﹣△ABH﹣△CDM﹣△BCN﹣△BCP﹣
△AFD
＝长方形ENMF的面积﹣3×（S甲+S乙 ）；
由图可知，长方形ENMF的长＝6+8＝14cm，宽＝5+2＝7cm，
故长方形ENMF的面积＝14×7＝98cm2，阴影部分的面积＝98﹣3× ×（5×8+6×2）＝
20cm2．
故答案是：20．
16．（15分）有158个小朋友排成一排，从左边第一个人起（第一个人发一个苹果），每隔1人
发一个苹果，又从右边第一个人起（第一个人发一个香蕉），每隔2人发一个香蕉，求没有
得到水果的小朋友的人数．
【解答】解：依题意可知：
把从右边第一个人起（第一个人发一个香蕉），每隔2人发一个香蕉，周期为3．
158÷3＝52…2，那么从左边看就是第一个人不给，从第二个开始每3个人给第一个．
那么去掉第一个和最后一个共156人，周期为2×3＝6．枚举一个周期为：
苹果 不给 给 不给 给 不给 给
香蕉 给 不给 不给 给 不给 不给
第8页（共9页）一个周期中共有2个人没有水果．156÷6＝26周期．共没有水果人数为26×2＝52人．
答：没有得到水果的小朋友的人数有52人．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/4/22 16:45:35；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第9页（共9页）
