文档内容
2015年第十三届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（六年级
第2试）
一、填空题（每小题5分，共60分）
1．（5分）计算： ，得 ．
2．（5分）某商品单价先上调，再下降20%才能降回原价．该商品单价上调了 %．
3．（5分）请你想好一个数，将它加上5，其结果乘以2，再减去4，得到的差除以2，再减去你
最初想好的那个数，最后的计算结果是 ．
4．（5分）若 （n是大于0的自然数），则满足题意的n的值最小是
．
5．（5分）小明把一本书的页码从1开始逐页相加，加到最后，得到的数是4979，后来他发现
这本书中缺了一张（连续两个页码）．那么，这本书原来有 页．
6．（5分）2015减去它的 ，再减去余下的 ，再减去余下的 ，…，最后一次减去余下的
，最后得到的数是 ．
7．（5分）已知两位数 与 的比是5：6，则 ＝ ．
8．（5分）如图，将1个大长方形分成了9个小长方形，其中位于角上的3个小长方形的面积
分别为9，15和12，由第4个角上的小长方形的面积等于 ．
9．（5分）某项工程，开始由6人用35天完成了全部工程的 ，此后，增加了6人一起来完成
这项工程．则完成这项工程共用 天．
10．（5分）将1至2015这2015个自然数依次写出，得到一个多位数123456789…20142015，
这个多位数除以9，余数是 ．
11．（5分）如图，向装有 水的圆柱形容器中放入三个半径都是1分米的小球，此时水面没过
第1页（共12页）小球，且水面上升到容器高度的 处，则圆柱形容器最多可以装水 立方分米．
12．（5分）王老师开车从家出发去A地，去时，前 的路程以50千米/小时的速度行驶，余下
的路程行驶速度提高20%；返回时，前 的路程以50千米/小时的速度行驶，余下的路程
行程速度提高32%，结果返回时比去时少用31分钟，则王老师家与A地相距 千米．
二、解答题（每小题15分，共60分．）每题都要写出推算过程．
13．（15分）二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制，其中二进制数转换成十进制数的方
法如下：
那么，将二进制数 11111011111 转化为十进制数，是多少？
14．（15分）如图，半径分别是15厘米、10厘米、5厘米的圆形齿轮A、B、C为某传动机械的一
部分，A匀速转动后带动B匀速转动，而后带动C匀速转动，请问：
（1）当A匀速顺时针转动，C是顺时针转动还是逆时针转动？
（2）当A转动一圈时，C转动了几圈？
15．（15分）一个棱长为6的正方体被切割成若干个棱长为整数的小正方体，若这些小正方体
第2页（共12页）的表面积之和是切割前的大正方体的表面积的 倍，求切割成小正方体中，棱长为1的
小正方体的个数？
16．（15分）如图，点M、N分别是边长为4分米的正方形ABCD的一组对边AD、BC的中点，
P、Q两个动点同时从M出发，P沿正方形的边逆时针方向运动，速度是1米/秒；Q沿正方
形的边顺时针方向运动，速度是2米/秒．求：
（1）第1秒时△NPQ的面积；
（2）第15秒时△NPQ的面积；
（3）第2015秒时△NPQ的面积．
第3页（共12页）2015 年第十三届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷
（六年级第 2 试）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题5分，共60分）
1．（5分）计算： ，得 ．
【解答】解：
＝
＝ ）
＝2×（ ）
＝2×（ ）
＝
2．（5分）某商品单价先上调，再下降20%才能降回原价．该商品单价上调了 2 5 %．
【解答】解：把原价是1．设单价上调了x．
（1+x）×（1﹣20%）＝1
（1+x）×0.8＝1
1+x＝1.25
x＝1.25﹣1
x＝0.25
x＝25%．
答：该商品单价上调了25%．
故答案为：25．
3．（5分）请你想好一个数，将它加上5，其结果乘以2，再减去4，得到的差除以2，再减去你
最初想好的那个数，最后的计算结果是 3 ．
第4页（共12页）【解答】解：设这个数是a，
[（a+5）×2﹣4]÷2﹣a
＝[2a+6]÷2﹣a
＝a+3﹣a
＝3，
故答案为：3．
4．（5分）若 （n是大于0的自然数），则满足题意的n的值最小是 3
．
【解答】解：当n＝1时，不等式左边等于 ，小于 ，不能满足题意；
当n＝2时，不等式左边等于 + ＝ ＝ ，小于 ，不能满足题意；
同理，当n＝3时，不等式左边大于 ，能满足题意；
所以满足题意的n的值最小是3．
故答案是：3
5．（5分）小明把一本书的页码从1开始逐页相加，加到最后，得到的数是4979，后来他发现
这本书中缺了一张（连续两个页码）．那么，这本书原来有 10 0 页．
【解答】解：设这本书的页码是从1到n的自然数，正确的和应该是
1+2+…+n＝ n（n+1），
由题意可知， n（n+1）＞4979，
由估算，当n＝100， n（n+1）＝ ×100×101＝5050，
所以这本书有100页．
答：这本书共有100页．
故答案为：100．
6．（5分）2015减去它的 ，再减去余下的 ，再减去余下的 ，…，最后一次减去余下的
，最后得到的数是 1 ．
第5页（共12页）【解答】解：2015×（1﹣ ）×（1﹣ ）×（1﹣ ）×…×（1﹣ ）
＝2015× × × ×…×
＝1
故答案为：1．
7．（5分）已知两位数 与 的比是5：6，则 ＝ 4 5 ．
【解答】解：因为（10a+b）：（10b+a）＝5：6，
所以（10a+b）×6＝（10b+a）×5
60a+6b＝50b+5a
所以55a＝44b
则a＝ b，
所以b只能为5，则a＝4．
所以 ＝45．
故答案为：45．
8．（5分）如图，将1个大长方形分成了9个小长方形，其中位于角上的3个小长方形的面积
分别为9，15和12，由第4个角上的小长方形的面积等于 2 0 ．
【解答】解：如图，
设D的面积为x，
9：12＝15：x
9x＝12×15
x＝
x＝20
第6页（共12页）答：第4个角上的小长方形的面积等于20．
故答案为：20．
9．（5分）某项工程，开始由6人用35天完成了全部工程的 ，此后，增加了6人一起来完成
这项工程．则完成这项工程共用 7 0 天．
【解答】解：总工作量看做单位“1”．剩余工作量为1﹣ ＝ ，一个人的工作效率为
÷6÷35，
（1﹣ ）÷[ ÷6÷35×（6+6）]
＝ ÷（ ÷6÷35×12）
＝ ÷
＝35（天）
35+35＝70（天）
答：完成这项工程共用70天．
故答案为：70．
10．（5分）将1至2015这2015个自然数依次写出，得到一个多位数123456789…20142015，
这个多位数除以9，余数是 0 ．
【解答】解：连续9个自然数的数字和必是9的倍数，
2015÷9＝223…8，
所以可以取出前8位，从9开始后面的数字和正好是9的倍数，
12345678的数字和是：
1+2+3+4+5+5+7+8＝36，
12345678也能被9整除，
所以：多位数123456789…20142015除以9的余数是0．
故答案为：0．
11．（5分）如图，向装有 水的圆柱形容器中放入三个半径都是1分米的小球，此时水面没过
小球，且水面上升到容器高度的 处，则圆柱形容器最多可以装水 188. 4 立方分米．
第7页（共12页）【解答】解： ×3.14×13×3÷（ ﹣ ）
＝12.56×15
＝188.4（立方分米）
答：圆柱形容器最多可以装水188.4立方分米．
故答案为：188.4．
12．（5分）王老师开车从家出发去A地，去时，前 的路程以50千米/小时的速度行驶，余下
的路程行驶速度提高20%；返回时，前 的路程以50千米/小时的速度行驶，余下的路程
行程速度提高32%，结果返回时比去时少用31分钟，则王老师家与A地相距 33 0 千米．
【解答】解：已知去时的速度为50千米/小时，余下的路程行驶速度是50×（1+20%）＝50千
米/小时；返回的速度为50千米/小时，余下的路程行驶速度是50×（1+32%）＝66千米/小
时．
设总路程为x千米，得：
（ x× + x× ）﹣（ x× + x× ）＝
x﹣ x＝
x＝
x＝330
答：王老师家与A地相距330千米．
故答案为：330．
二、解答题（每小题15分，共60分．）每题都要写出推算过程．
13．（15分）二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制，其中二进制数转换成十进制数的方
法如下：
第8页（共12页）那么，将二进制数 11111011111 转化为十进制数，是多少？
【解答】解：（11111011111）
2
＝1×210+1×29+1×28+1×27+1×26+0×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20
＝1024+512+256+128+64+0+16+8+4+2+1
＝（2015）
10
答：是2015．
14．（15分）如图，半径分别是15厘米、10厘米、5厘米的圆形齿轮A、B、C为某传动机械的一
部分，A匀速转动后带动B匀速转动，而后带动C匀速转动，请问：
（1）当A匀速顺时针转动，C是顺时针转动还是逆时针转动？
（2）当A转动一圈时，C转动了几圈？
【解答】解：（1）如图，
答：当A匀速顺时针转动，C是顺时针转动．
（2）A：B：C＝15：10：5＝3：2：1
答：当A转动一圈时，C转动了3圈．
第9页（共12页）15．（15分）一个棱长为6的正方体被切割成若干个棱长为整数的小正方体，若这些小正方体
的表面积之和是切割前的大正方体的表面积的 倍，求切割成小正方体中，棱长为1的
小正方体的个数？
【解答】解：大正方体表面积：6×6×6＝216，
体积是：6×6×6＝216，
切割后小正方体表面积总和是：216× ＝720，
假设棱长为5的小正方体有1个，那么剩下的小正方体的棱长只能是1，个数是：（63﹣53）
÷13＝91（个），这时表面积总和是：52×6+12×6×91＝696≠720，所以不可能有棱长为5的小
正方体．
（1）同理，棱长为4的小正方体最多为1个，此时，不可能有棱长为3的小正方体，剩下的
只能是切割成棱长为2的小正方体或棱长为1的小正方体，
设棱长为2的小正方体有a个，棱长为1的小正方体有b个，
则
解得：
（2）棱长为3的小正方体要少于（6÷3）×（6÷3）×（6÷3）＝8个，
设棱长为2的小正方体有a个，棱长为1的小正方体有b个，棱长为3的小正方体有c个，
化简：
由上式可得：
b＝9c+24，a＝ ，
当c＝0时，b24＝，a＝24，
当c＝1时，b＝33，a＝19.5，（不合题意舍去）
当c＝2时，b＝42，a＝15，
当c＝3时，b＝51，a＝10.5，（不合题意舍去）
第10页（共12页）当c＝4时，b＝60，a＝6，
当c＝5时，b＝69，a＝28.5，（不合题意舍去）
当c＝6时，b＝78，a＝﹣3，（不合题意舍去）
当c＝7时，a＝负数，（不合题意舍去）
所以，棱长为1的小正方体的个数只能是：56或24或42或60个．
答：棱长为1的小正方体的个数只能是：56或24或42或60个．
16．（15分）如图，点M、N分别是边长为4分米的正方形ABCD的一组对边AD、BC的中点，
P、Q两个动点同时从M出发，P沿正方形的边逆时针方向运动，速度是1米/秒；Q沿正方
形的边顺时针方向运动，速度是2米/秒．求：
（1）第1秒时△NPQ的面积；
（2）第15秒时△NPQ的面积；
（3）第2015秒时△NPQ的面积．
【解答】解：（1）第1秒时，如图，
△NPQ的面积：（1+2）×4÷2
＝3×4÷2
＝6（平方分米）；
（2）第15秒时，如图，
第11页（共12页）△NPQ的面积：（2+1）×4÷2
＝3×4÷2
＝6（平方分米）；
（3）因为16÷1＝16，16÷2＝8，
所以，第经过16秒，点P和点Q都回到出发点M，
2015÷16＝125…15（秒）
所以第2015秒时点P、点Q与第15秒时相同，
面积也是6平方分米．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/4/22 15:46:08；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第12页（共12页）
