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第六章 计数原理--复习与小结 -B提高练
一、选择题
1．（2021·北京大兴区高二月考）第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和
张家口市联合举行，本次冬奥会设有冬季两项、雪车、冰壶、冰球、雪橇、滑冰、滑雪7个大项．
为确保冬奥会顺利举办，奥组委欲招募一批志愿者，甲、乙两名大学生审请报名时，计划在7个大
项的服务岗位中随机选取3项，则两人恰好选中相同2项的不同报名情况有（ ）
A．420种 B．1225种 C．441种 D．735种
【答案】A
【详解】根据题意可知，可分三步考虑：
第一步，在7项中选取2项，共有 种不同的方法；
第二步，甲在剩下5项中选取1项，共有 种不同的方法；
第三步，乙在剩下4项中选取1项，共有 种不同的方法．根据分步乘法计数原理可知，两人
恰好选中相同2项的不同报名情况有 （种），故选：A．
2．（2021·安徽肥东高二月考） 的展开式的常数项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 的展开式通项为： ，由 得 ，
所以 的常数项系数为 ；由 得 ，所以 的 项系
数为 ，所以 的展开式的常数项是 ,故选D.
3．（2021·浑源县第七中学校高二月考）我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下农村贫困人
口全部脱贫，贫困县全部摘帽，贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹!脱贫攻坚取得胜利后，我国建立了防止返贫检测
和帮扶机制，继续现固脱贫成果.为进一步推进乡村振兴，某市扶贫办在A乡镇的3个脱贫村与B乡
镇的4个脱贫村中，随机抽取两个村庄进一步实施产业帮扶，则抽取的两个脱贫村为同一乡镇的概
率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】从7个村子中选2个共有 (种)方法，两个村子来自同一乡镇的方法数为
，
∴所求概率为 .故选：A
4.（2021·重庆市蜀都中学校高二月考）已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意， 的展开式中各项系数 就是对应项的二项式系数，即
,
由二项展开式中二项式系数的对称性 知： ，
所以原等式为
求导得 ，
取x=1得 ，
所以 .故选：B5. （多选题）（2021·江苏苏州市高二期中）从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大
赛，则下列说法正确的有（ ）
A．如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法
B．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法
C．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法
D．如果4人中必须既有男生又有女生，那么有184种不同的选法
【答案】BC
【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，如果4人中男生女生各有2人，男生的选法有
种选法，女生的选法有 种选法，则4人中男生女生各有2人选法有 种选
法，A错误；对于B，如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的8人中再选2人即可，有
种选法，B正确；对于C，在10人中任选4人，有 种选法，甲乙都不在其中的
选法有 ，
故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法有 种，C正确；对于D，在10
人中任选4人，有 种选法，只有男生的选法有 种，只有女生的选法有 种，
则4人中必须既有男生又有女生的选法有 种，D错误；故选：BC.
6.（多选题）（2021·海口市·海南中学高二）已知 展开式中，各项系数和比它的二项式
系数和大992，则下列结论正确的是（）
A．展开式中的有理项是第2项和第5项 B．展开式中没有常数项
C．展开式中二项式系数最大的项是第3项和第4项 D．展开式中系数最大的项是第5项
【答案】BCD
【详解】对选项 ,由题意可得 ，求得 或 （舍）， ．
所以 的展开式的通项公式为 ， ，所以当 或 时， 是整数，
所以展开式中的有理项是第3项和第6项，所以选项 错误；
对选项 ，令 ，所以展开式中没有常数项，所以选项 正确；
对选项 ，因为 ，
故展开式中二项式系数最大的项为第三项或第四项，所以选项 正确；
对选项 ，第 项的系数为 ， ，
计算得展开式各项的系数依次为
所以展开式第5项的系数最大．所以选项 正确.故答案为：BCD.
二、填空题
7．（2021·重庆南开中学高二月考）某地为了庆祝建党 周年，将在 月 日举行大型庆典活动.
为了宣传报道这次活动，当地电视台准备派出甲、乙等 名记者进行采访报道，工作过程中的任务
划分为“摄像”、“采访”、“剪辑”三项工作，每项工作至少有一人参加.已知甲、乙不会“剪
辑”但能从事其他两项工作，其余两人三项工作都能胜任，则不同安排方案的种数是___________.
【答案】
【详解】若参与“剪辑”工作的有 人，则不同的分配方法数为 ；
若参与“剪辑”工作的有 人，则不同的分配方法数为 种.
综上所述，不同安排方案的种数是 种.
8．（2021·湖南师大附中高二月考）在 的展开式中， 项的系数为________（结
果用数值表示）．
【答案】
【解析】因为 ，所以 项只能在 展开式中，即为 ，系数为
9．（2021·山东泰安一中高二月考）劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，某校计划
组织学生参与各项职业体验，让学生在劳动课程中掌握一定的劳动技能，理解劳动创造价值，培养
劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀.该校派遣甲、乙，丙、丁、戊五个小组到 、 、
三个街道进行打扫活动，每个街道至少去 个小组，则不同的派遣方案有____________________
种.
【答案】
【详解】当按照 进行分配时，则有 种不同的方案；
当按照 进行分配时，则有 种不同的方案.
故共有 种不同的派遣方案.
10．（2021·湖北襄阳高二月考）回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，
121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，
111，121，…，191，202，…，999．则
（1）4位回文数有 个；
（2） 位回文数有 个．
【答案】（1）90（2）
【详解】由题意，1位回文数有9个，2位回文数有9个，3位回文数有90＝9×10个，4位回文数有
1001,1111,1221，…，1991,2002，…，9999，共90个，故归纳猜想2n＋2位回文数与2n＋1位回文
数个数相等，均为9×10n个．
三、解答题
11．（2021·苏州市第三中学校高二月考）某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、
体育、英语共6节课
（1）如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种？
（2）如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？
（3）原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表
中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【详解】（1）如果数学必须比语文先上，则不同的排法有 种；
（2）如果体育排在最后一节，有 种，
体育不排在最后一节有 种，
所以共有 种，
（3）若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，
则有 种
12．已知 展开式的二项式系数和为512，且
．
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 被6整除的余数．
【答案】(1) ，（2）2，（3）5
【详解】解：（1）因为 展开式的二项式系数和为512，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
（2）在 中，令 ，则
，
令 ，可得 ，所以
（3）
，
，
因为（ ）能被6整除，而 ，即 被6整
除余数为5，
所以 被6整除的余数为5
