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班级 姓名 学号 分数
第六章 计数原理（A 卷·知识通关练）
核心知识1：分类加法与分类乘法计数原理的综合
1．（2023·辽宁营口·高二统考期末）有5名学生全部分配到4个地区进行社会实践，且每名学生只去一个
地区，其中A地区分配了1名学生的分配方法共（ ）种
A．120 B．180 C．405 D．781
2．（2023·河南南阳·高二统考期末）将甲，乙等5名志愿者全部分派到4个核酸采样点协助工作（每个采
样点至少1人），其中甲，乙两人不能去同一个采样点，则不同的分派方案共有（ ）
A．120种 B．216种 C．240种 D．432种
3．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）某单位拟安排6位员工在今年6月9日至11日值班，每天安排2人，
每人值班1天．若6位员工中的甲不值9日，乙不值11日，则不同的安排方法共有（ ）
A．30种 B．36种 C．42种 D．48种
4．（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考开学考试）党的二十大报告既鼓舞人心，又催人奋进．为
学习贯彻党的二十大精神，某宣讲小分队将5名宣讲员分配到4个社区，每个宣讲员只分配到1个社区，
每个社区至少分配1名宣讲员，则不同的分配方案共有（ ）
A．480种 B．240种 C．120种 D．60种
5．（2023·北京怀柔·高二统考期末）从7个人中选4人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排2
人，第二天和第三天均安排1人，且人员不重复，则不同安排方式的种数可表示为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考期末）某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排6
名同学到两个不同社团开展活动，要求每个社团至少安排两人，其中 ， 两人不能分在同一个社团，则
不同的安排方案数是（ ）
A．56 B．28 C．24 D．12核心知识2：排列与组合的计算
7．（2023·高三课时练习）已知 ，则 _________.
8．（2023·高二课时练习）计算： ______．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 ______．
10．（2023·高三课时练习）不等式 的解集为________．
11．（2023·全国·高三对口高考）计算 的值为_________.
12．（2023·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期末）若 ，则 的值为__________.
13．（2023·高二课时练习）设 ，则 ______．
14．（2023·高二课时练习）若 ，则 的值为______．
15．（2023·高二课时练习）关于n的不等式 的解集为______．
核心知识3：相邻问题与不相邻问题
16．（2023·山东滨州·高三统考期末）由3个2,1个0,2个3组成的六位数中,满足有相邻4位恰好是2023的
六位数个数为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．2417．（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）3名男生和2名女生排成一队照相，要求女生相邻，共有排
法（ ）种
A．120 B．24 C．48 D．96
18．（2023·重庆·高三统考学业考试）某球队6名队员站成一排拍照留念，要求队员A和B不相邻且均与
队员C相邻，则不同的排法共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
19．（2023春·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考开学考试）2022年2月4日北京冬奥会顺利开幕.在
开幕式当晚，周明约李亮一家一起观看.周明一家四口相邻而坐，李亮一家四口也相邻而坐，已知他们两家
人的8个座位连在一起（在同一排且一人一座），且周明与李亮也相邻而坐，则他们不同的坐法有（ ）
A．432种 B．72种 C．1152种 D．144种
20．（2023·广东茂名·统考一模）将4个6和2个8随机排成一行，则2个8不相邻的情况有（ ）
A．480种 B．240种 C．15种 D．10种
21．（2023·浙江·高二浙江省江山中学校联考期末）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率 的范围是：
，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数
学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前5位数字3，1，4，1，5
进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（ ）
A．24个 B．36个 C．72个 D．60个
22．（2023·全国·高三专题练习）某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告，现在要在该时间
段只保留其中的2个商业广告，新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广
告既不能连续播放也不能在首尾播放，则不同的播放顺序共有（ ）
A．60种 B．120种 C．144种 D．300种
核心知识4：数字排列问题23．（2023·全国·高三专题练习）用1，2，3…，9这九个数字组成的无重复数字的四位偶数中，各位数字
之和为奇数的共有（ ）
A．600个 B．540个 C．480个 D．420个
24．（2023·全国·高三专题练习）用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A．36 B．48 C．60 D．72
25．（2023春·广东清远·高二统考期末）回文联是我国对联中的一种，它是用回文形式写成的对联，既可
顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味．相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一
副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人．”在数学中也有这样一类顺读
与倒读都是同一个数的正整数，被称为“回文数”，如22，575，1661等．那么用数字1，2，3，4，5可
以组成4位“回文数”的个数为（ ）
A．25 B．20 C．30 D．36
26．（2023春·上海徐汇·高二期末）用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，要求所有相邻两个
数字的奇偶性都不同，且1和2相邻，则这样的六位数的个数为（ ）
A．20 B．40 C．60 D．80
27．（2023春·山西·高二统考阶段练习）在1，2，3，4，5，6这六个数字组成的没有重复数字的三位数中，
各位数字之和为奇数的共有（ ）
A．36个 B．48个 C．54个 D．60个
28．（2023春·浙江·高二慈溪中学校联考阶段练习）用 这五个数字能组成无重复数字且 与 不相
邻的五位数的个数有（ ）
A．36 B．48 C．60 D．72
核心知识5：涂色与几何问题
29．（2023·江苏扬州·高三校联考期末）如图，一圆形信号灯分成A，B，C，D四块灯带区域，现有4种
不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（ ）．
A．96 B．84 C．60 D．48
30．（2023·全国·高三专题练习）如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E已被设计
为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选
择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（ ）
A．12 B．24 C．48 D．84
31．（2023·全国·高三专题练习）如图，矩形的对角线把矩形分成A、B、C、D四部分，现用五种不同色
彩给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，共有（ ）种不同的涂色方法？
A．260 B．180 C．240 D．120
32．（2023·全国·高三专题练习）四色定理又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一．它是于1852年
由毕业于伦敦大学的格斯里提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家
着上不同的颜色”．某校数学兴趣小组在研究给四棱锥 的各个面涂颜色时，提出如下的“四色
问题”：要求相邻面（含公共棱的面）不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂法有（
）
A．36种 B．72种 C．48种 D．24种33．（2023·全国·高三专题练习）在直角坐标系 中，已知 三边所在直线的方程分别为
，则 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ）
A．95 B．91 C．88 D．75
34．（2023·全国·高三专题练习）已知 分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名
足球烯， 是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和若干个面，.各个面的形状为正五
边形或正六边形，结构如图.已知其中正六边形的面为20个，则正五边形的面为（ ）个.
A．10 B．12
C．16 D．20
核心知识6：分堆与分组问题
35．（2023春·山东济南·高三统考开学考试）为推动黄河流域生态保护和高质量发展，某市环保局派出4
个宣传小组，到黄河沿岸5个社区做环保宣讲活动，每个小组至少去1个社区，每个社区只安排1个小组，
则不同的安排方法共有______种（用数字作答）．
36．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随
机选出3名参加一个机器人大赛，则选出的3名学生中既有男生又有女生的选法有___________种
37．（2023·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期末）把6本不同的书分给甲乙丙丁4个人，每人至少得一
本，则不同的分配方法___________.
38．（2023·上海静安·统考一模）2022年11月27日上午7点，时隔两年再度回归的上海马拉松赛在外滩
金牛广场鸣枪开跑，途径黄浦、静安和徐汇三区.数千名志愿者为1.8万名跑者提供了良好的志愿服务.现将5名志愿者分配到防疫组、检录组、起点管理组、路线垃圾回收组4个组，每组至少分配1名志愿者，则
不同的分配方法共有__________种.（结果用数值表示）
39．（2023·全国·高三专题练习）某校安排5名同学去A，B，C，D四个爱国主义教育基地学习，每人去
一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到A基地的排法总数为____________．
40．（2023·全国·高三专题练习）有编号分别为1，2，3，4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子，
恰有一个空盒，有________种放法.
41．（2023·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考期末）编号为 的5个小球，放入编号为
的3个盒子，每个盒子至少一个球，编号为1的小球必须放入1号盒子，那么不同的放法有___________种.
（填写数字）
42．（2023·全国·高三专题练习）将编号为 ， ， ， 的 个小球放入 个不同的盒子中，每个盒子不空，
若放在同一盒子里的 个小球编号不相邻，则共有__________种不同的放法．
43．（2023·高三课时练习）某市拟成立一个由6名中学生组成的调查小组，并准备将这6个名额分配给本
市的4所实验中学，要求每所实验中学都有学生参加，那么不同的名额分配方法的种数是_________.
核心知识7：隔板法
44．（2023·全国·高三专题练习）六元一次方程 的正整数解有________组．
45．（2023春·重庆·高二校联考阶段练习）已知关于 的三元一次方程 ，且 ，
则该方程有__________组正整数解.
46．（2023·全国·高三专题练习）某市举行高三数学竞赛，有6个参赛名额分给甲乙丙三所学校，每所学
校至少分得一个名额，共有______种不同的分配方法.（用数字作答）47．（2023·全国·高二专题练习）已知 ，满足方程 ，则这个方程解的组数为
________．（用数字作答）
48．（2023·全国·高三专题练习）关于 ， ， 的方程 （其中 ， ， ）的解共有
_____组．
核心知识8：二项式定理
49．（2023·河北唐山·高三统考期末） 的展开式共有七项，且常数项为20，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
50．（2023·北京通州·高三统考期末）设 为正整数， 的展开式中存在常数项，则 的最小值为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
51．（2023·北京丰台·高三统考期末）在 的展开式中，常数项为（ ）
A． B．24 C． D．48
52．（2023·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考期末） 的展开式中，共有多少项？
（ ）
A．45 B．36 C．28 D．21
53．（2023·全国·高三专题练习） （ ）
A．3n B．2·3nC． －1 D．
54．（2023·全国·高三专题练习）在 的展开式中，常数项为（ ）
A．-60 B．60 C．-240 D．240
55．（2023·全国·高三专题练习）若 是一组数据 的方差，则 的展开式的常数项为
（ ）
A． B．3360 C．210 D．16
56．（2023·全国·高二专题练习）设 ，则
（ ）
A．21 B．64 C．78 D．156
57．（2023·全国·高三专题练习）已知 的展开式中只有第 项的二项式系数最大，若展开
式中所有项的系数和为 ，则不正确的命题是（ ）
A． B．
C．展开式中常数项为 D．展开式中含 的项为
58．（2023·吉林长春·高二长春市第二中学校考期末） 的二项展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．59．（2023·全国·高二专题练习） 的展开式的常数项为（ ）
A．6 B．10 C．15 D．16
核心知识9：二项式系数
60．（2023·河南·高三安阳一中校联考阶段练习） 的展开式中x2y4的系数为（ ）
A．192 B．240 C．432 D．256
61．（2023·全国·高三专题练习）已知 的二项展开式中，第三项与第 项的二项式系数和为84，
则第四项的系数为（ ）
A．280 B．448 C．692 D．960
62．（2023·全国·高三专题练习） 的展开式中 的系数是（ ）
A．45 B．84 C．120 D．210
63．（2023·浙江宁波·高三期末）若二项式 的展开式中第6项与第7项的系数相等，则此
展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A． B． C． D．
64．（2023·辽宁沈阳·高二东北育才双语学校校考期末）已知 的展开式中只有第5项是二项式系
数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（ ）
A． B． C． D．65．（2023·全国·高三专题练习）若二项式 的展开式中所有项的系数和为 ，则展开式中二项式
系数最大的项为（ ）
A． B． C． D．
66．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）设
，则
（ ）
A． B． C． D．
67．（2023·江西赣州·高三统考期末）若 展开式的各项系数和为729， 展开式中
的系数为（ ）
A． B． C．30 D．90
68．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，设 ，
下列说法：
① ，② ，③ ，④展开式中所有项的二项式系数和为1.
其中正确的个数有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
69．（2023·全国·高三专题练习）在二项式 的展开式中，下列结论：
①第5项的系数最大；
②所有项的系数和为 ；
③所有奇数项的二项式系数和为 ；
④所有偶数项的二项式系数和为 ．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
70．（2023·辽宁·高二沈阳市第三十一中学校联考期末）在 的展开式中，二项式系数的和是16，
则展开式中各项系数的和为（ ）
A．16 B．32 C．1 D．
71．（2023·全国·高二专题练习）已知 ，则 等于
（ ）
A．15 B．16 C．7 D．8
核心知识10：项的系数
72．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测） 的展开式中x的系数为______．
73．（2023·山东东营·高二统考期末）已知 ，则
______．
74．（2023·江苏苏州·高三常熟中学校考期末） 的展开式中所有有理项的系数之和为__________.
75．（2023·全国·高二专题练习） 的展开式中有理项共有______项．
76．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）若 展开式中 的系数为30，则 ________.77．（2023·全国·模拟预测）若 展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含 的项的系数为
______.
78．（2023·辽宁·校联考模拟预测） 的展开式中除常数项外的各项系数和为______．
79．（2023·全国·高二专题练习）若二项式 的展开式的第5项是常数项，那么这个展开式中第
______项系数最大．
80．（2023·全国·高二专题练习） 的展开式中，二项式系数最大项的是______项，其系数是______
（用数字作答）；系数最大的项是_____.
81．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）已知 ，则
________．
82．（2023·甘肃兰州·校考一模）若 ，则 的值为______．
83．（2023春·广东汕头·高三统考开学考试）在 的展开式中， 的系数为__________.
84．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习） 的展开式中含 的系数是
_______.85．（2023·广西南宁·高三南宁二中校考期末）在 展开式中，含 的项的系数是
___________.
86．（2023·全国·高三专题练习） 的展开式中 的系数为___________．
87．（2023·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末） 的展开式中 的系数是__________.
88．（2023·全国·高三专题练习）若 的展开式中所有项的系数和为243，则展开式中
的系数是___________.
核心知识11：二项式的应用
89．（2023·高二课时练习）将 精确到0.01的近似值是______．
90．（2023·全国·高三专题练习） 的计算结果精确到0.01的近似值是_________．
91．（2023·全国·高二专题练习）若 能被13整除，则实数a的值可以为________．（填序号）
①0；②11；③12；④25．
92．（2023·全国·高二专题练习）（1）用二项式定理证明 能被14整除；
（2） 除以100的余数．93．（2023·全国·高二专题练习）求证：当n为偶数时， ．
94．（2023·全国·高二专题练习）求证： ．
