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第十三届“小机灵杯”数学竞赛初赛试题解析（三年级组）
时间：60分钟 总分：120分
本试卷解析由刘泽南，朱博，吴中亚，魏俐光，邵国栋，俞家，焦俊老师提供
本次解析只代表老师们个人观点，欢迎大家多多交流
一、判断题（正确的打“√”，错误的打“×” 。每题1分）
1.路程÷时间=速度
【答案】 正确。
【分析】 考点：行程问题基本三要素的关系
学而思对应讲次：三年级秋季班行程问题——相遇（第 8讲）。
2.西方最早发现勾股定理的数学家之一是欧几里得。
【答案】错误。
【分析】勾股定理又叫商高定理、毕氏定理，或称毕达哥拉斯定理，最早由毕达哥拉斯发现。
3.我们在数物体的时候，用来表示个数的 1、2、3……叫做自然数，一个物体也没有，用 0
表示，那说明 0不是自然数。
【答案】错误。
【分析】0是最小的自然数。
4.牛顿是 17至18世纪的英国科学家，被尊称为“物理学之父”。
【答案】错误。
【分析】阿基米德被西方人称为“物理学之父”
5.《九章算术》是中国古代最为著名的数学专著之一。
【答案】正确。
二、填空题（6~10题每题5分，11~15题每题 8分，16~20题每题10分）
6.2015-123-125-127-129-131=（ ）
【答案】 1380
【分析】 考点：凑整法的应用
学而思对应讲次：二年级学习内容，三年级暑期班分组法（第2讲）时复习过
原式 =2015 -(123+127)-(129+131) -125
=2015 -250-260- 125
=1380
7.今年小兵7岁，小兵妈妈35岁，（ ）年后妈妈年龄是小兵的3倍。
【答案】7年后。
【分析】考点：年龄问题
学而思对应讲次：三年级秋季班年龄问题（第10讲）。
年龄差：35-7=28（岁） 一倍量：28÷（3－1）=14（岁）
需要再过：14-7=7（年）
8.95路公交车上午6点到7点从上海火车站（始发站）共发出11 班车（6点和 7点整各有
一班车开出）。已知发出的相邻两班车的间隔时间相等，那么每过（ ）分钟就会从始
上海学而思教研团队发站开出一辆95路公交车。
【答案】6分钟。
【分析】考点：植树问题在生活中的应用
学而思对应讲次：三年级暑期班植树问题（第4讲）。
6点整到 7点整共 60分钟，11班车有十个发车间隔，
所以一个间隔为：60÷（11-1）=6（分钟）
9.右图是一张道路图，图中每段路旁标注的数值表示走这段
路所需要的时间（单位：分钟）。那么从A 出发走到B最
快要（ ）分钟。
【答案】21分钟。
【分析】考点：最优策略问题
最短时间：4+3+5+2+3+4=21（分钟）。
10.有两个数365 和 24，现将第一个数减去 19，第二个数加 12，这算一次操作。那么操作
（ ）次后，两数相等。
【答案】11次。
【分析】考点：差量分析
学而思对应讲次：三年级秋季班年龄问题中的追差类型，
三年级暑假班的盈亏问题，实际上都是差量分析的。
两数原来相差：365-24=341，每操作一次，第一个数减少 19，第 2个数增加 12，
则两数的差减少19+12=31。需要341÷31=11（次）操作便能使两数相等。
11.如图12个点，相邻点相距1厘米，以这些点为顶点可以连成（ ）
个长方形。
【答案】12个。
【分析】考点：图形计数
学而思对应讲次： 三年级秋季班巧数图形（第4讲）
4+3+2+1+2=12（个）。
12.某校3年级共有学生 100 人，其中68人爱看体育频道，55人爱看文艺频道，另有3人
这两个频道都不爱看。那么这两个频道都爱看的学生有（ ）人。
【答案】26人。
【分析】考点：容斥原理
学而思对应讲次： 二年级春季班重叠问题，三年级寒假班容斥原理（第4讲），
杯赛短期班三大原理（第6讲）
至少喜欢看一种频道的：100-3=97（人），两种频道都爱看的：68+55-97=26（人）。
13.将1,2,3,4,5,6,7,8,9填入下列方格，每个数只能用一次，那么四位数最大是（ ）。
囗囗囗囗+囗囗囗+囗囗=2115
【答案】1798。
【分析】考点：数字迷，最值问题
学而思对应讲次： 三年级暑期班数字迷（第8讲），杯赛短期班计算（第 1讲）
三个加数的各位数字之和为1+2+3+…+9=45，它们的和2115的数字和为2+1+1+5=9。
上海学而思教研团队三个数相加只可能十位、百位、千位3处产生进位，这三处的进位和为（45-9）÷9=4。
（1） 由于2115的百位为 1，加数百位上的两个数字相加不可能等于1，所以千位
一定产生了进位1，则四位数的千位为1。
（2） 如果十位上产生进位2，则个位上三个数字相加要等于25，而最大的三个数
字9+8+7＜25,所以十位只能进1，那么百位一定进2.则百位上的两个数字之
和+进位2=11，三位数的百位最小为2，则四位数的百位最大为 7（7+2+进
位2=11，向千位进 1）。
（3） 十位上的三个数字之和+进位 1=21，则四位数的十位最大可以为9（9+进位
1+6+5=21，向百位进2）。
（4） 四位数的个位最大可以是8（8+3+4=15，向十位进1）.
14.如右图，一只青蛙站在1号位置，第1次跳1步，到 2号位置；
第2次跳2步，到达4号位置；第3次跳3步，到达1号位置；…；
第 n 次跳n 步。当青蛙沿顺时针方向跳了 20次时，到达（ ）
号位置。
【答案】1号。
【分析】考点：周期问题
学而思对应讲次： 三年级秋季班周期问题（第12讲）
青蛙一共跳了：1+2+3+...+20=21（0 步），从1号开始跳，每跳6步回到1号，210÷6=35
（组），跳完 210步后仍在 1号位置。
15. 5张红卡纸可换2张金卡纸，1张金卡纸可换1张红卡纸和 1张银卡纸。甲有红卡纸、
金卡纸各三张，能换到（ ）张银卡纸。
【答案】7张。
【分析】考点：等量代换
2金=5红 ；1金=1红+1银，则 2金=2红+2银；所以2银=3红。
甲有3金，3金=3红+3银；原来还有3红，一共 6红=4银。
所以甲一共可换银卡纸3+4=7（张）
16.老师把 60 本故事书分给全班学生，如果每人分 1 本，还有剩余；如果剩余的书每 2人
分 1本，刚好能分完。此班学生共有（ ）人。
【答案】40人。
【分析】考点：倍数问题
学而思对应讲次：三年级暑假班（第5讲）、秋季班（第 9讲）和差倍问题
设第二次分出书的数量为1倍量，则第一次分出去书的数量（即人数）是第二次的
两倍。1倍量：60÷（1＋2）=20（本）；人数：20×2=40 （人）。
17.某游戏满分100分，每人可以玩五次，平均分为游戏的成绩。小王平均成绩为87分，那
么他任何一次的得分不得低于（ ）分。
【答案】35分。
【分析】考点：最值问题，平均数问题
学而思对应讲次：三年级秋季班平均数问题（第 5讲）
要想某次得分最低，则其他几次得分要最高，即100 分。最多可以得4次满分，此
时第5次得分最低，最低分为：87×5-100×4=35（分）。
上海学而思教研团队18.李师傅用三天制作了 8盏相同的兔子灯，每天至少做 1盏，李师傅共有（ ）种不同
做法。
【答案】21种。
【分析】考点：枚举法与加乘原理
学而思对应讲次：三年级秋季班分类与分步（第 11讲）
每天制作1盏灯，还有8-3=5盏灯需要制作。
（1） 若这5盏灯选1天完成，有3种做法；
（2） 若这5盏灯分2天完成，5=1+4或5=2+3；
若一天做1盏，一天做4盏，有3×2=6（种）做法；
若一天做2盏，一天做3盏，有3×2=6（种）做法；
（3） 若这 5盏灯分3天做完，5=1+1+3或5=1+2+2；
若其中一天做3盏，另外两天各做1盏，有 3种做法；
若其中一天做1盏，另外两天各做2盏，有 3种做法；
所以一共有3+6+6+3+3=21（种）做法。
19.右图是由甲乙丙丁拼成的正方形，其中甲与丁都是边长为整厘米数
的正方形，乙与丙都是长方形，且甲与丁的面积之和为 100平方厘米，
那么长方形乙与丙的面积之和为（ ）平方厘米。
【答案】96。
【分析】考点：巧求面积
由于正方形的面积一定是平方数，6的平方和8的平方之和恰好为100.
所以乙和丁的面积之和为2×（6×8）=96（平方厘米）。
20．有 8 个人每人同时得到一条消息，且任意两人所得消息不同，他们两两用电话相互告
诉对方自己所知的全部消息，每次打电话恰好用 3 分钟。为使每人都知道所有消息，至
少需要（ ）分钟。
【答案】9分钟。
【分析】考点：最优策略问题
要想时间最短，要注意2点： （1）不和已经知道自己已有信息的人打电话；
（2）分成4组同时打电话。
设8个人分别为ABCDEFGH,分别掌握①②③④⑤⑥⑦⑧号信息（连线表示通话）。
A B C D E F G H
第1个 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
三分钟
第2个
三分钟 ①② ①② ③④ ③④ ⑤⑥ ⑤⑥ ⑦⑧ ⑦⑧
第3个
三分钟 ①② ①② ①② ③④ ③④ ⑤⑥ ①② ⑤⑥
③④ ⑦⑧ ③④ ⑤⑥ ⑤⑥ ⑦⑧ ⑦⑧ ⑦⑧
见表格，最少只需要3个3分钟，也就是9分钟，所有人都能知道所有消息
上海学而思教研团队
