2002年天津高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_天津

2002 年天津高考理科数学真题及答案 本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分。第一卷1至2页。第二卷3至10 页。共150分。考试用时120分钟。 第一卷（选择题共60分） 注意事项： 1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目用铅笔涂在答题卡上。 2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。 3、考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B） 如果事件A、B互相独立，那么 P（AB）=P（A）P（B） 如果事件 A 在试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 P (k) CkPk(1P)nk n n 1 正棱锥、圆锥的侧面积公式 S  cl 锥侧 2 其中c表示底面周长，l表示斜高或母线长 4 球的体积公式V  R3 其中R表示球的半径。 球 3 一、选择题：本大题共12道小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 x cos （1）曲线 (为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是 y sin 1 2 （A） （B） （C）1 （D） 2 2 2 1 3 （2）复数(  i)3的值是 2 2 （A）i （B）i （C）1 （D）1 （3）已知m、n异面直线，m平面，n 平面，l，则l （A） 与m、n都相交 （B）与m、n中至少一条相交 （B） 与m、n都不相交 （D）至多与m、n中的一条相交 （4）不等式(1 x)(1 x) 0的解集是     （A） x0 x 1 （B） xx 0且x  1     （C） x 1 x 1 （D） xx 1且x  1 （5）在（0,2π）内，使sinx>cosx成立的x取值范围为 第1页 | 共9页  5  （A）( , )(, ) （B）( ,) 4 2 4 4  5  5 3 （C）( , ) （D）( ,)( , ) 4 4 4 4 2  k 1   k 1  （6）设集合M  xx   ,kZ,N  xx   ,kZ则  2 4   4 2  （A）M  N （B）M  N （C）M  N （D）M N  （7）正六棱柱ABCDEF—ABCDEF 的底面边长为1,侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角 1 1 1 1 1 1 线ED独角戏与BC 所成的角是 1 1 （A）900 （B）600 （C）450 （D）300 （8）函数y  x2 bxc(x[0,)是单调函数的充要条件是 （A） b≥0 （B）b≤0 （C）b>0 （D）b<0 （9）已知0 x  y  a 1，则有 （A）log (xy)0 （B）0log (xy)1 a a （C）1log (xy) 2 （D）log (xy)  2 a a （10）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A(3,1)，B(-1,3)，若点 C 满足 OC OAOB，其中,R，且1，则点C的轨迹方程为： （A） 3x-2y-11=0 （B）(x-1)2+(y-2)2=5 （C） 2x-y=0 （D）x+2y-5=0 （11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 （A） 8种 （B）12种 （C）16种 （D）20种 （12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到 95933亿元，比上年增长7.3%。” 如果“十·五”期间（2001年—2005年）每年的国内生 产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为 （A）115000亿元 （B）120000亿元 （C）127000亿元 （D）135000亿元 第二卷（非选择题共90分） 注意事项： 1、第二卷共8页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。 2、答卷前将密封线内的项目填写清楚。 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。 2x （13）函数y  (x(1,)) 图象与其反函数图象的交点坐标为________。 1 x （14）椭圆5x2 ky2 5的一个焦点是（0,2）,那么k=_____________. （15）直线x=0，y=0，x=2与曲线y ( 2)x所围成的图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的 第2页 | 共9页体积等于__________________。 x2 （16）已知函数 f(x)  ，那么 1 x2 1 1 1 f(1) f(2) f( ) f(3) f( ) f(4) f( ) ______________。 2 3 4 三．解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）  3  3  已知cos( )  ,  .求cos(2 )的值。 4 5 2 2 4 注意：考生在（18甲）、（18乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（18甲）计分。 （18甲）（本小题满分12分） C 1 如图，正三棱柱ABC—ABC 的底面边长为a，侧棱长为 2a。 1 1 1 A 1 B （1） 建立适当的坐标系，并写出点A、B、A、C 的坐标； 1 1 1 （2） 求AC 与侧面ABBA 所成的角 1 1 1 C A B （18乙）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在 AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a (0 a  2). （1） 求MN的长； （2） 当a为何值时，MN的长最小； （3） 当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。 C D M B E N （19）（本小题满分12分） A F 某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）。 （1）求至少3人同时上网的概率； （2）至少几人同时上网的概率小于0.3？ 第3页 | 共9页（20）（本小题满分12分） 1ax 2 已知 a 0，函数 f(x)  ,x(0,)。设 0 x  ，记曲线 y  f(x)在点 x 1 a M(x , f(x ))处的切线为l。 1 1 （1）求l的方程； （2）设l与x轴交点为(x ,0)。证明： 2 1 ①0 x  ； 2 a 1 1 ②若x  ，则x  x  1 a 1 2 a （21）（本小题满分12分） 已知两点M（-1,0），N（1,0），且点P使MPMN,PM PN,NM NP成等差小于零的 等差数列。 （1）点P的轨迹是什么曲线？ （2）若点P坐标为(x ,y )，记为PM 与PN 的夹角，求tan。 0 0   （22）已知 a 是由非负整数组成的数列，满足a 0,a 3, n 1 2 a a (a 2)(a 2),n 3,4,5,……。 n1 n n1 n2 （1） 求a ； 3 （2） 证明a  a 2,n 3,4,5,……； n n2   （3） 求 a 的通项公式及其前n项和S 。 n n 参考答案 一．选择题：本题考查基本知识和基本运算。每题5分，满分60分。 （1）D（2）C（3）B（4）D（5）C（6）B（7）B（8）A（9）D（10）D（11）B（12）C 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分 第4页 | 共9页3 7 （13）（0,0）,（1,1） （14）-1 （15） （16） ln2 2 三．解答题 （17）本小题考查同角三角函数关系式、倍角公式等基础知识，考查基本运算能力。满分12 分。    2 解：cos(2 ) cos2cos sin2sin  (cos2sin2). 4 4 4 2 3  7    ,cos( ) 0,  4 4 4 4 3  7 由此知 〈＋ 〈 , 2 4 4   3 4 sin( )   1cos2( )   1( )2   . 4 4 5 5    4 3 24 从而cos2sin(2 )  2sin( )cos( )  2( )   2 4 4 5 5 25   3 7 sin2 cos(2 ) 12cos2( ) 12( )2  . 2 4 5 25  2 24 7 31 2 cos(2 )  (  )   4 2 25 25 50 注意：考生在（18甲）、（18乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（18甲）计分。 本小题主要考查空间直角坐标系的概念，空间点和向量的坐标表示以及向量夹角的计算方法， 考查运用向量研究空间图形的数学思想方法。满分12分。 解：（1）如图，以点A为坐标原点O，以AB所在直线为Oy轴，以AA 所在直线为Oz轴， 1 以经过原点且与平面ABB A 垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系。 1 1 3 a 由已知，得A(0,0,0),B(0,a,0),A (0,0, 2a),C ( a, , 2a) 1 1 2 2 ------------4 分 （2）坐标系如上。取A B 的中点M，于是 有 1 1 a M(0, , 2a),连AM,MC 有 2 1 3 MC ( a,0,0),且 1 2 AB (0,a,0),AA (0,0, 2a) 1 由于MC  AA 0,MC  AA 0 1 1 1 1 第5页 | 共9页所以，MC 面ABB A 1 1 1 ∴AC 与AM所成的角就是AG与侧面ABB A所成的角。 1 1 1 1 3 a a AC ( a, , 2a),AM (0, , 2a)  1 2 2 2 a2 9 AC  AM 0 2a2  a2 1 4 4 3a2 a2 而AC   2a2  3a 1 4 4 a2 3 AM  2a2  a 4 2 9 a2 4 3 cos AC ,AM   1 3 2 3a a 2 所以，AC 与AM所成的角，即AC 与侧面ABB A所成的角为300 1 1 1 1 （18乙）本小题主要考查线面关系、二面角和函数极值等基础知识，考查空间想象能力和 推理论证能力。满分12分。 解：（1）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，依题意可得MP∥NQ，且 MP=NQ， C 即MNQP是平行四边形。 ∴MN=PQ 由已知， D P CM=BN=a,CB=AB=BE=1, M AC  BF  2 CP a BQ a ∴  ,  Q E B 1 2 1 2 N a A F 即 CP  BQ  2 ∴ a a 2 1 MN  PQ  (1CP)2 BQ2  (1 )2 ( )2  (a )2  (0 a  2) 2 2 2 2 （2）由（1） 第6页 | 共9页2 1 MN  (a )2  2 2 2 2 所以，当a  时，MN  2 2 2 即M,N分别移动到AC,BF的中点时，MN的长最小，最小值为 2 （3）取MN的中点G，连接AG、BG， ∵AM=AN,BM=BN，∴AG⊥MN,BG⊥MN，∴∠AGB即为二面角α的平面角。 6 又AG  BG  ，所以由余弦定理有 4 6 6 ( )2 ( )2 1 4 4 1 1 cos   。故所求二面角arccos( )。 6 6 3 3 2  4 4 （19）本小题考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运 用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。 解：（1）至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率，即 1C0(0.5)6 C1(0.5)6 C2(0.5)6 6 6 6 1615 21 1  64 32 （2）至少4人同时上网的概率为 11 C4(0.5)6 C5(0.5)6 C6(0.5)6  0.3 6 6 6 32 至少5人同时上网的概率为 7 (C5 C6)(0.5)6  0.3 6 6 64 因此，至少5人同时上网的概率小于0.3. （20）本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法，考查不等式的基本性质，以及分析和解 决问题的能力。满分12分。 1 （1） 解：求 f(x)的导数： f '(x)   ，由此得切线l的方程： x2 1ax 1 y( 1)   (xx )。 x x2 1 1 （2） 证：依题意，切线方程中令y=0， 2 x  x (1ax ) x  x (2ax )，其中0 x  . 2 1 1 1 1 1 1 a 2 1 1 ① 由0 x  ,x  x (2ax ),有x 0,及x  a(x  )2  1 a 2 1 1 2 2 1 a a 第7页 | 共9页1 1 1 〈0 x  ,当且仅当x  时，x  . 2 a 1 a 2 a 1 1 ②当x  时，ax 1，因此，x  x (2ax )  x，且由①，x  1 a 1 2 1 1 1 2 a 1 所以x  x  。 1 2 a （21）本小题主要考查向量的数量积，二次函数和等差数列等基础知识，以及综合分析和解 决问题的能力。满分12分。 解：（1）记P(x,y),由M(1,0),N(1,0)得 PM  MP (1x,y),PN  NP (1x,y),MN  NM (2,0) MPMN  2(1 x),PM PN  x2  y2 1,NM NP  2(1x)。 于是， MPMN,PM PN,NM NP是公差小于零的等差数列等价于  1 x2  y2 1 [2(1 x)2(1x)] x2  y2 3  2 ,即 ,   2(1x)2(1 x)0  x 0 所以，点P的轨迹是以原点为圆心， 3为半径的右半圆。 （2）点P的坐标为(x ,y )。 0 0 PM  PN  x2  y2 1  2 0 0     PM  PN  (1 x )2  y2  (1 x )2  y2 0 0 0 0  (4  2x )(4  2x )  2 4  x2 0 0 0 PM  PN 1  cos    PM  PN 4  x2 0 0 x  3  0 1  1  cos1,0 ,sin 1cos2 1 2 3 4x2 0 1 1 sin 4x2 tan  0  3x2  y cos 1 0 0 4x2 0 （22）本小题主要考查数列与等差数列前n项和等基础知识，以及准确表述，分析和解决问 题的能力。满分14分。 解：（1）由题设得a a 10，且a ,a 均为非负整数，所以a 的可能的值为1、2、5、 3 4 3 4 3 第8页 | 共9页10. 3 若a ＝1,则a ＝10，a ＝ ，与题设矛盾。 3 4 5 2 35 若a ＝5,则a ＝2, a  ，与题设矛盾。 3 4 5 2 3 若a ＝10,则a ＝1, a 60，a  ，与题设矛盾。 3 4 5 6 5 所以a ＝2. 3 （2）用数学归纳法证明： ①当n 3,a  a 2，等式成立。 3 1 ②假设当n  k(k 3)时等式成立，即a  a 2， k k2 由题设a a (a 2)(a 2) k1 k k1 k2 因为a  a 2 0 k k2 所以a  a 2 k1 k1 也就是说，当n  k 1时，等式a  a 2成立。 k1 k1 根据①②，对于所有n 3,有a  a 2。 n1 n1 （3）由a  a 2,a 0及a  a 2,a 3得 2k1 2(k1)1 1 2k 2(k1) 2 a  2(k 1),a  2k 1,k 1,2,3,……。 2k1 2k 即a  n(1)n,n 1,2,3,……。 n  1 n(n1),当n为偶数  2 所以S   n 1  n(n1)1,当n为奇数。 2 第9页 | 共9页