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第四章 数列 单元过关检测 能力提升B 卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题型：8（单选）+4（多选）+4（填空）+6（解答），满分150分，时间：120分钟
一、单选题
1．已知等差数列 的公差和首项都不为零，且 ， ， 成等比数列，则 （ ）
A． B． C． D．2
2．设正项等比数列 的前 项和为 ， ，则公比 等于（ ）
A． B． C． D．
3．两个等差数列 和 ，其前 项和分别为 、 ，且 ，则 （
）
A． B． C． D．
4．已知数列 为等差数列， ， ，以 表示 的前
项和，则使得 达到最小值的 是（ ）
A．37和38 B．38 C．37 D．36和37
5．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维
的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间 均分为三段，去掉中间的区间段 ，记为第一次操作；再将剩下的两个区间 ， 分别均分为三段，并各自去掉
中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间
分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间
集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于 ，则需要操作的次数n的最小值为
（ ）（参考数据： ， ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一项是 ，接下来的
两项是 、 ，再接下来的三项是 、 、 ，以此类推，若 且该数列的前 项和为2
的整数幂，则 的最小值为（ ）
A．440 B．330 C．220 D．110
7．等差数列 ，满足
，则（ ）
A． 的最大值为50 B． 的最小值为50
C． 的最大值为51 D． 的最小值为51
8．已知数列 满足 ，且对任意的 都有 ，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．二、多选题
9．(多选)已知单调递增的等差数列 满足 ，则下列各式一定成立的有
（ ）
A． B．
C． D．
10．设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并且满足条件 ，
则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 的最大值为 D． 的最大值为
11．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于
0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，
再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇
的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在
的正方形所围成的扇形半径设为a (n∈N*)，数列{a}满足a＝a＝1，a＝a ＋a (n≥3)．再将扇
n n 1 2 n n－1 n－2
形面积设为b (n∈N*)，则（ ）
n
A．4(b －b )＝πa ·a B．a＋a＋a＋…＋a ＝a －1
2020 2019 2018 2021 1 2 3 2019 2021C．a2＋a2＋a2…＋(a )2＝2a ·a D．a ·a －(a )2＋a ·a －(a )2＝0
1 2 3 2020 2019 2021 2019 2021 2020 2018 2020 2019
12．如图，已知点 是 的边 的中点， 为边 上的一列点，连接 交
于 ，点 满足 ，其中数列 是首项为1的
正项数列， 是数列 的前 项和，则下列结论正确的是（ ）
A． B．数列 是等比数列
C． D．
三、填空题
13．已知数列 满足 且 ， 为数列 的前项和，则 __________.
14．设数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则
_______.
15．已知函数 ， ，正项等比数列 满足 ，则
等于______．
16．已知等比数列 中 ， ，在 与 两项之间依次插入 个正整数，得到数列 ，即 ．则数列 的前 项之
和 _______(用数字作答)．
四、解答题
17．在①对任意 ，满足 ，② ，③
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．
问题：已知数列 的前 项和为 ， ，______，若数列 是等差数列，求数列
的通项公式；若数列 不一定是等差数列，说明理由．
18．根据预测，疫情期间，某医院第 天口罩供应量和消耗量分别为 和 （单位：个），
其中 ， ，第 天末的口罩保有量是前 天的累计供应量与消耗
量的差．
（1）求该医院第 天末的口罩保有量；
（2）已知该医院口罩仓库在第 天末的口罩容纳量 （单位：个）．设在
某天末，口罩保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时仓库的口罩容纳量？
19．已知正项数列 的前 项和为 .
（1）求 的通项公式；
（2）若数列 满足： ，求数列 的前项和 .
20．已知数列 的前 项和为 ， ，且 为 与 的等差中项，当 时，总有
.
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 为 在区间 内的个数，记数列 的前 项和为 ，
求 .
21．已知项数为 的数列 为递增数列，且满足 ，若
，且 ，则称 为 的“伴随数列”.
（1）数列 是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”若不存在，请说明理
由；
（2）若 为 的“伴随数列"，证明: ；
（3）已知数列 存在“伴随数列 ，且 ，求 的最大值.
22．设数列 的前 项和为 ，已知 ，且 ．
（1）证明 为等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）设 ，且 ，证明 ；（3）在（2）的条件下，若对于任意的 不等式 恒成立，求实
数 的取值范围．
