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成都石室中学 2023-2024 年度下期高 2024 届入学考试理科答案
一、 选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1．已知全集 ，能表示集合 与 ， 关系的 图是
A． B． C． D．
【解答】解：全集 ，集合 ，1， ， ， ，
， 能表示集合 ， ， 关系的 图是 ．
故选： ．
2.已知向量 ， ，则 在 方向上投影为
A
． B． C． D．
解：由 ， ，
则 在 方向上的投影向量为：
．故选： ．
3． 技术在我国已经进入高速发展的阶段， 手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近 5个月手机的实
际销量，如表所示：
时间 1 2 3 4 5
销售量 （千 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5
只）
若 与 线性相关，且线性回归方程为 ，则下列说法不正确的是
A．由题中数据可知，变量 与 正相关，且相关系数
B．线性回归方程 中
C．残差 的最大值与最小值之和为0
D．可以预测 时该商场 手机销量约为1.72（千只）
【解答】解：从数据看 随 的增加而增加，故变量 与 正相关，由于各增量并不相等，故相关系数 ，故
1
学科网（北京）股份有限公司正确；
由已知数据易得 ，代入 中得到 ，故 错误；
， ， ，
， ， ，
， ， ， ， ，
残差 的最大值 与最小值 之和为0，故 正确；
时该商场 手机销量约为 ，故 正确．
故选： ．
4．方程 表示双曲线的必要不充分条件可以是
A． B． ， ， C． D．
【解答】解：若方程 表示双曲线，
则 ，解得： ，
则：方程 表示双曲线的必要不充分条件所对应的集合必须真包含 ，
选项故选： ．
5．执行如图所示的程序框图，若依次输入 ， ， ，则输出 的
结果为
A． B． C． D．以上都不对
【解答】解：根据题意，该流程图的作用是求出 、 、 中的最小数，
： ．
，
2
学科网（北京）股份有限公司．故选： ．
6．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 的面积 ， ，
则
A． B． C． D．
【解答】解： 的面积 ，可得： ，
又 故选： ．
7. 设等差数列的前 项和为 ，已知 ， ， ，则 的值为
A．15 B．16 C．17 D．18
【解答】解：因为等差数列中， ， ， ，
则 ，
两式相加得， ，即 ，
因为 ，所以 ．故选： ．
8．如图是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的高为
A．1 B．2 C． D．
【解答】解：由题意几何体是四棱锥 ，过 作 于 ，
在正方体中有 平面 ，所以 ，
又因为 ，所以 平面 ，
所以四棱锥的高为 ，
在 中， ， ， ，
3
学科网（北京）股份有限公司故 ，
，
故 ，解得 ．
所以该四棱锥的高为： ．
故选： ．
9．抛物线 的焦点为 ，准线为 ， ， 是抛物线上的两个动点，且满足 ， 为线段 的中
点，设 在 上的射影为 ，则 的最大值是
． B． C． D．
A
【解答】解：设 ， ， ， 在 上的射影分别为 ， ，则 ， ，
故 ．
又 ，所以 ，
因为 ，
4
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
当且仅当 时等号成立，
故 ．
故选： ．
如图，正方体 的棱长为1，线段 上有两个动点 ， ，且 ，点 ， 分别为
10．
， 的中点， 在侧面 上运动，且满足 平面 ，以下命题错误的是
A．
B．多面体 的体积为定值
C．侧面 上存在点 ，使得
D．直线 与直线 所成的角可能为
解：对于 ，正方体 中， ， ， 、 是线段 上有两个动点，
，故 正确；
对于 ， ， 到 的距离为定值， 是定值，
5
学科网（北京）股份有限公司点 到平面 的距离为定值， 多面体 的体积为定值，故 正确；
对于 ， ， 当 为 中点时， ，故 正确；
对于 ，取 中点 ， 中点 ，当 与 或 重合时，
直线 与直线 所成的角 最大，
，故 错误．
故选： ．
11．已知直线 与圆心为 且半径为3的圆相交于 ， 两点，直线 与
圆 交于 ， 两点，则四边形 的面积的值最大是
． B． C． D．
A
【解答】解：根据题意，圆 的圆心为 且半径为 3，则圆 的方程为 ，即
，
直线 与圆 相交于 ， 两点，
则有 ，解可得： 或 ，即 、 的坐标为 ， ，
则 ，且 的中点为 ， ，
6
学科网（北京）股份有限公司直线 ，变形可得 ，直线 恒过定点 ， ，
设 ， ，
当 与 垂直时，四边形 的面积最大，
此时 的方程为 ，变形可得 ，经过点 ，
则此时 ，
故 的最大值 ，
，故选： ．
故
12．已知函数 在区间 上有且仅有4个极值点，给出下列四个结论：
① 在区间 上有且仅有3个不同的零点；② 的最小正周期可能是 ；
③ 的取值范围是 ；④ 在区间 上单调递增.
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．C【分析】令 ， ，则 , ，结合条件可得 有4个整数 符合题
意，可求出 的取值范围，再利用三角函数图象性质逐项分析即可得出结论.
【详解】由函数 ，
令 ， 可得 ， ，
因为 在区间 上有且仅有4个极值点，即可得 有且仅有4个整数 符合题意，
解得 ，即 ，可得 ，
即 ，解得 ，即③正确；
7
学科网（北京）股份有限公司对于①，当 时， ，即可得 ，
显然当 时， 在区间 上有且仅有3个不同的零点；
当 时， 在区间 上有且仅有4个不同的零点；即①错误；
对于②， 的最小正周期为 ，易知 ，
所以 的最小正周期可能是 ，即②正确；
对于④，当 时， ；
由 可知 ，
由三角函数图象性质可知 在区间 上单调递增，即④正确；
即可得②③④正确.故选：C
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13．若 ，则 的共轭复数为_________
【详解】依题意，
所以 的共轭复数为 .
14．在 的展开式中，含 的项的系数是__________ .（用数字作答）
【详解】 展开式的通项为 ，其中常数项为 ，含 的项为 ，
又因为 ，所以原展开式中含 的项的系数为： ，
8
学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
15.已知 为等腰三角形，其中 ，点D为边AC上一点， .以点B、D为焦点的椭圆E经过点
A与C，则椭圆E的离心率的值为 .
详解】
连接点 与 中点 ，即有 ，由 ，故 ，
由 ，则 ，即 ，
由椭圆定义可得 、 ，
故 ，
即 ，则 、 ，
由 故 ，
则 ，即 ，
解得 （负值舍去）.故答案为： .
16.若函数 与 的图像在实数集 上有且只有3个交点，则实数 的取值范围为
__________ .
【详解】即 仅有3个解，
显然不是该方程的解，则 ，即 仅有3个解，
设 ，定义域关于原点对称，且满足 。
9
学科网（北京）股份有限公司即 为奇函数，
考虑 时的情况， ， ，
当 时， ，即 在 上单调递增，
当 时， ，即 在 上单调递减，
则函数极大值为 ，且当 时， ；当 时， ；
结合函数 为奇函数，即可作出函数 的图象如图示：
由于 仅有3个解，故 与函数 的图象仅有3个交点，
结合图象可得 或 ，
即 或 ，
故答案为： 或
三、解答题（本题共6道小题，共70分）
17.已知数列 的首项为 ，且满足 ，数列 满足 ．
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 的前 项和为 ，求 ．
【解答】解：（1）证明： ，
， ，
10
学科网（北京）股份有限公司，
当 时，上式成立，
， ；………………………………………5分
（2）由（1）得 ，
①，
②，
① ②得， ，
．……………………………………….12分
18.某企业有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为6，9，12，员工 隶属于甲部门．现在医务室通过血检进行
一种流行疾病的检查，已知该种疾病随机抽取一人血检呈阳性的概率为 ，且每个人血检是否呈阳性相互独立．
（Ⅰ）现采用分层抽样的方法从中抽取9人进行前期调查，求从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人，
并求员工 被抽到的概率；
（Ⅱ）将甲部门的6名员工随机平均分成2组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本组血样
全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一人呈阳性，再逐个化验．记 为甲部门此次检查中
血样化验的总次数，求 的分布列和期望．
【解答】解：（1）由题意知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 ，
所以分层抽样抽取的9人中，甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为2人，3人，4人，
记事件 为“员工 被抽到”，则 （A） ．………………………………….4分
（2）甲部门的6名员工随机平均分成2组，每组3人，
记“每组血样化验结果呈阴性”为事件 ，则 （B） ，
所以 的所有可能取值为2，5，8，
（B） ，
11
学科网（北京）股份有限公司（B） ，
，……………………………………….8分
所以 的分布列如下，
2 5 8
所以数学期望 ．……………………………………….12分
19．如图，已知梯形 与 所在平面垂直， ， ， ， ，
， ． ，连接 ， ．
（Ⅰ）若 为 边上一点， ，求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ） 梯形 与 所在平面垂直， ， ，
，
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
， ， ． ，连接 ， ． 为 边上一点， ，
，4， ， ，0， ， ，0， ， ，0， ， ，4， ，
，0， ， ，4， ， ， ， ，
设平面 的法向量 ， ， ，
则 ，取 ，得 ，3， ，
， 平面 ，
平面 ．……………………………………….5分
解：（Ⅱ） ， ， ， ，0， ，
12
学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量 ， ， ，
则 ，取 ， ， ， ，
平面 的法向量 ，3， ，
设二面角 的平面角为 ，
则 ．……………………………………….10分
由图知二面角 的平面角为钝角，
二面角 的余弦值为 ．……………………………………….12分
20．已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 ，过 的左焦点 的直线 与 相交于 、 两点，
与直线 相交于点 ．
（Ⅰ）若 ，求证： ；
（Ⅱ）过点 作直线 的垂线 与 相交于 、 两点，与直线 相交于点 ．求 的
最大值．
【详解】（1）证明：设 、 ，因为椭圆 的焦距为 ，所以 ，解得 ．
又因为椭圆 的离心率 ，所以 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 .
13
学科网（北京）股份有限公司因为直线 经过 、 ， ，
所以，直线 的方程为 ，
设点 、 ，联立 可得 ，
由 ，得 ， . ……………………………………………………………………….2分
所以 ，
，
因此， .……………………………………………………………………….5分
（2）证明：若直线 、 中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线 平行，不合乎题意，
所以，直线 的斜率存在且不为零，设直线 方程为 ，
则直线 方程为 ，其中 ．
联立 可得 ，
设 、 ，则 ，
由韦达定理可得 ， ，………………………………………………………….6分
易知 且 ，将 代入直线 的方程可得 ，即点 ，
所以
，……………………………………………………….8分
14
学科网（北京）股份有限公司同理可得 ，…………………………………………………….9分
所以
，……………………………………………….11分
当且仅当 时，等号成立，
因此， 的最大值为 .……………………………………………….12分
21．已知函数 .
（Ⅰ）若 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）若函数 和 有公切线，求实数 的取值范围.
【详解】（1）由题意，当 时，设 ，
则 ，
，……………………………….1分
令 ，得 （舍负）
在 上单调递减，在 上单调递增，
.……………………………….2分
根据题意 的取值范围为 .……………………………….4分
（2）设函数 在点 处与函数 在点 处有相同的切线，
15
学科网（北京）股份有限公司则 ，
，代入
得 .
问题转化为：关于 的方程 有解，……………………………….6分
设 ，则函数 有零点，
，当 时，
.
问题转化为： 的最小值小于或等于0.………………………………7分
，
设 ，则
当 时， ，当 时， .
在 上单调递减，在 上单调递增，
的最小值为 .……………………………9分
由 知 ，
故 .
设 ，
16
学科网（北京）股份有限公司则 ，
故 在 上单调递增，
当 时， ，
的最小值 等价于 .……………………………11分
又 函数 在 上单调递增，
.…………………………12分
22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （t为参数）以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程 .
（Ⅰ）求 和 的直角坐标方程；
（Ⅱ） ，直线 与C交于MN两点，求 两点的极坐标
【详解】（1）方法一：曲线 :由题意得 ，即 ，
然后代入 ，即可得到曲线C的普通方程 ， ………………3分
备注：若没有扣点，则扣1分
而直线 ，将 代入其极坐标方程即可得其直角坐标方程 .
………………2分
方法二：因为 ，
17
学科网（北京）股份有限公司所以C的普通方程为 ，直线l的直角坐标方程为： ；
方法三：由万能公式： ，
令 ，则有 ，
由椭圆的常用参数方程可得： ，
直线 的方程为： .
（2）设 ，联立 得 .
解得 ， 点的坐标为 ， 点的坐标为 ………………6分
所以 点的极坐标为 ，………………8分
点的极径为 ………………10分
23.已知函数 ， ．
（Ⅰ）求函数 的最小值；
（Ⅱ）设 ，求证： ．
【详解】（1）由题设 ，………………2分
而 在 、 、 上均能取到最小值 ，………………3分
18
学科网（北京）股份有限公司对于 在 上递减， 上为常数， 上递增，且连续，
所以 的最小值在 上取得，即 时，最小值为 .………………5分
（2）由 ，仅当 取等号，.………………7分
要证 ，即证 ，则 ，
需证 ，而 ，即 ，
所以 恒成立，故 得证..………………10分
备注：此题可用其它方法证明
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学科网（北京）股份有限公司
