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2024-2025 学年下期高 2024 级
第一次月考数学试题
（总分：150 分 考试时间：120 分钟）
第I卷（选择题共58分）
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1. ， 若 ，则实数 为（ ）
A． B． C． D.
2.复数 = ，则 为（ ）
A． B． C． D．
3.下列函数中，最小正周期为 ，且在 上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
4. 在 中， ，则最大角余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
5.向量 、 满足： ， ， ，则 在 上的投影向
量的模为（ ）
A． B． C． D．6. 如图，为了测量河对岸的塔高 ，某测量队选取与塔底 在同一水平面内的两个测量
基点 与 ．现测量得 米，在点 处测得塔顶 的仰角分别为
，则塔高 （ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
7. 如图，在三角形 中，已知
边上的两条中线分别为
，且相交于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发
明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为
的水车，一个水斗从点 出发，沿圆周按逆时针方
向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过 秒后，水斗旋转到 点，设点 的坐标为 ，
其纵坐标满足 ，则当 时，恰有3个 使
函数 最得大值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二､多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项
中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．复数 ， ， 的共轭复数为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 为纯虚数，则
B．若 在复平面内对应的点位于第四象限，则
C．若 ，则
D．若 ，则
10．已知函数 ， ，则（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 关于 对称
C．函数 的值域为
D．函数 在 上是减函数
11. 在 中， ， ， 为 边上及内部的一动点，设
，则下列说法正确的是（ ）
A．若 为 的重心，则
B．若 为 的外心，则
C．若 为 的内心， ,则
D．若 为 的垂心， 为锐角三角形，则 与 共线
第II卷（非选择题共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 将函数 的图像向左或者向右平移 个单位，图像关于原点对
称，求 的最小值 .
13. 在 中，内角A，B，C所对的边分别为 ，已知 ，且
，则 外接圆面积为 .
14. 正方形 的边长为3， 是线段 上靠近 的三等分点， 是线段 （含端
点）上的动点， 为线段 的中点，则 的最小值为 .
四、解答题：共5个小题，满分77分.其中15题13分，16，17题分别15分，
18，19题分别17分，解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤.
15.已知函数
(1)求 的最小正周期和对称轴；
(2)判断函数 在 的单调性.
16. 已知向量 满足 ，且 .
(1) 求 ， ；
(2)若向量 与 的夹角为锐角，求实数 的取值范围.
17. 在锐角 中，角A，B，C的对边分别是 且
．
(1)求角 的大小；
(2)求 的取值范围．18. 已知函数 的部分图象如图所示．
(1)求 的解析式；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数
的图象，再将函数 的图象上各点横坐标伸长为原来的 倍，
纵坐标不变，得到函数 的图象，求函数 在 上的值域；
(3)若函数 在区间 上恰好有二个零点，求实数k的取值范围．
19. 古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长 计算三角
形面积的公式： ，这个公式常称为海伦公式，其中，
．我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长
计算三角形面积的公式： ，这个公式常称为“三斜求积”
公式．
请你结合阅读材料解答下面的问题：
(1)已知 的三条边分别为 ，分别利用海伦公式和“三斜求积”公
式求 的面积；
(2)△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为6，其内切圆半径
为1，a=4，b<c，求b，c；(3)在 中， ，求 面积的最大值.
高一下第一次月考试题参考答案
1-5： B C D A C 6-8： B A D
9：B D 10：A B D 11：A C D
12： 13： 14：
四、解答题：共5个小题，满分77分.其中15题13分，16，17题分别15分，
18，19题分别17分，解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤.
15.已知函数
(1)求 的对称轴；
(2)判断函数 在 的单调性
解：（1）最小正周期 ；
令 ，得
所以 的对称轴：
（2）由正弦函数的性质知 ，则 ，
所以 的单调递增区间为 ；
又 ，令 ， 在 单调递增同理： 在 单调递减
综上： 在 单调递增，在 单调递减。
16. 已知向量 满足 ，且 .
(1) 求 ， ；
(2)若向量 与 的夹角为锐角，求实数 的取值范围.
解：（1）因为 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
，
所以 .
（2） ，
由题意知 且向量 与 不共线，
所以 ，且 ，
解得 ，且 ，即实数 的取值范围为 .
17. 在锐角 中，角A，B，C的对边分别是 且
．
(1)求角 的大小；(2)求 的取值范围．
解：(1)因为 ，
所以由正弦定理可得 ，
由余弦定理可得 ，即 ，
所以 .
因为 ，所以 ；
（2）因为 ，所以 ，所以 ，
则 ．
因为 是锐角三角形，所以 解得 ，
所以 ，所以 ，则 ，
即 的取值范围是 ．
18. 已知函数 的部分图象如图所示．
(1)求 的解析式；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，再将函数 的图象上各点横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，求函数 在 上的值域；
(3)若函数 在区间 上恰好有二个零点，求实数k的取值范围．
解：（1）由题设 ，则 ，故 ，
由 ，则 ，即 ，
又 ，则 ，故 ；
（2）由题意 ，将函数 的图象上各
点横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数
所以 ； ，则 ，由 在
上单调递增，对应值域为 ；
在 上单调递减，对应值域为 ；
所以函数 在 上的值域：
（3） ，则 ，由 在 上单调递增，对应值域为 ；
在 上单调递减，对应值域为 ；
函数 在区间 上有且仅有两个零点，
即 在 上只有两个解，故 .
19. 古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长 计算三角
形面积的公式： ，这个公式常称为海伦公式，其中，
．我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长
计算三角形面积的公式： ，这个公式常称为“三斜求积”公
式．
请你结合阅读材料解答下面的问题：
已知 的三条边分别为 ，分别利用海伦公式和“三斜求积”公式求
的面积；
△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为6，其内切圆半径为1，
a=4，b<c，求b，c；
在 中， ，求 面积的最大值.
解：（1）依题意， ，
所以 的面积是相等的。
1
(2)设内切圆半径为r，因为S = (a+b+c)r，
△ABC 2
代入S =6，a=4，r=1，可得b+c=8，①，
△ABC
1 S
又p= (a+b+c)= △ABC =6，由海伦公式S =√p(p-a)(p-b)(p-c)，
2 r △ABC
可得6=√6(6-4)(6-b)(6-c)，整理可得bc-6(b+c)+36=3，
{b+c=8
代入①可得bc=15，②，联立①②， ，又因为b<c，
bc=15
可得b=3，c=5．
（3） , ，
由正弦定理 ，可得
由 ，
由“三斜求积”公式得， ，
当且仅当 ，即 时， 面积取最大值 .
