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决胜 2024 年高考数学押题预测卷 03
数 学
（新高考九省联考题型）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己
的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】向量 ， ， ，
.
故选：B.
2．已知集合 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知： ，
所以 之间没有包含关系，且 ，故ABC错误，D正确；
故选：D.
3．已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ， ，
，所以 .
故选：C
4．已知样本数据 的平均数为 ，则数据 （ ）
A. 与原数据的极差不同 B. 与原数据的中位数相同
C. 与原数据的方差相同 D. 与原数据的平均数相同
【答案】D
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【解析】由样本数据 的平均数为 ，可得 ，
其方差为 ，
对于数据 ，其平均数 ，
其方差 ；
即两组数据的平均数相同，方差不同，可得C错误，D正确；
由极差定义，两组数据的最大值和最小值不变，则两组数据的极差相同，即A错误；
对于中位数，两组数据的中位数不一定相同，即B错误.
故选：D
5．在梯形 中， ，以下底 所在直线为轴，
其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】旋转后所得几何体为圆柱与一个同底的圆锥的组合体，如图所示：
其中圆柱与圆锥的底面半径都等于 ，
圆柱的高等于 ，圆锥的高等于 ，
底面圆的面积为 ，
圆锥的体积为 ，圆柱的体积为 ，
所以所得几何体的体积为 ．
故选：B.
6．甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱
中，以 ， 分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中
取出的是白球，则下列结论错误的是（ ）
A. ， 互斥 B. C. D.
【答案】C
【解析】因为每次只取一球，故 ， 是互斥的事件，故A正确；
由题意得 ， ， ， ，
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，故B，D均正确；
因为 ，故C错误.
故选：C.
7．已知函数 的定义域为 ， 是偶函数， 是奇函数，则 的最
小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数 的解析式，再利用基本不等式可求得 的最小
值.
【详解】因为函数 为偶函数，则 ，即
，①
又因为函数 为奇函数，则 ，即
，②
联立①②可得 ，
由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故函数 的最小值为 .
8．双曲线C： 的左、右焦点分别是 ， ，离心率为 ，点 是
C的右支上异于顶点的一点，过 作 的平分线的垂线，垂足是M， ，若C上一点T
满足 ，则T到C的两条渐近线距离之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设半焦距为c，延长 交 于点N，由于PM是 的平分线， ，
所以 是等腰三角形，所以 ，且M是 的中点．
根据双曲线的定义可知 ，即 ，由于O是 的中点，
所以MO是 的中位线，所以 ，
又双曲线的离心率为 ，所以 ， ，
所以双曲线C的方程为
所以 ， ，双曲线C的渐近线方程为 ，
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设 ，T到两渐近线的距离之和为S，则 ，
由 ，得 ，
又T在C： 上，则 ，即 ，解得 ， ，
所以 ，故 ，即距离之和为
故选:A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知复数 是关于x的方程 的两根，则（ ）
A. B.
C. D. 若 ，则
【答案】ACD
【解析】解： ， ，
不妨设 ， ，
则 ，故A正确；
由选项A可知， ，C正确；
由韦达定理得 ，
，
当 时， ，故B错；
当 时， ， ，
计算得 ，
同理可得 ，
结合B选项可知 ，同理可得 ，故D正确．
故选：ACD
10．如图，点 是函数 的图象与直线 相邻的三个交点，且
，则（ ）
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A.
B.
C. 函数 在 上单调递增
D. 若将函数 的图象沿 轴平移 个单位，得到一个偶函数的图像，则 的最小值为
【答案】AD
【解析】令 得， 或 ， ，
由图可知： ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ，故A选项正确，
所以 ，由 得 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
，故B错误.
当 时， ，
因为 在 为减函数，故 在 上单调递减，故C错误；
将函数 的图象沿 轴平移 个单位得 ，（ 时向右平移，
时向左平移），
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为偶函数得 ， ，
所以 ， ，则 的最小值为 ，故D正确.
故选：AD.
11．如图，正方体 的棱长为2，点E是AB的中点，点P为侧面 内（含边
界）一点，则（ ）
A. 若 平面 ，则点P与点B重合
B. 以D为球心， 为半径的球面与截面 的交线的长度为
C. 若P为棱BC中点，则平面 截正方体所得截面的面积为
D. 若P到直线 的距离与到平面 的距离相等，则点P的轨迹为一段圆弧
【答案】ABC
【解析】正方体 中， 平面 ， 平面 ， ，
正方形 中， ，
平面 ， ，则 平面 ，
平面 ， ，
同理， ，
平面 ， ， 平面 ，
若点P不与B重合，因为 平面 ，则 ，与 矛盾，
故当 平面 时，点P与B重合，故A正确；
， ，三棱锥 为正三棱锥，
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故顶点D在底面 的射影为 的中心H，
连接DH，由 ，得 ，
所以 ，因为球的半径为 ，所以截面圆的半径 ，
所以球面与截面 的交线是以H为圆心， 为半径的圆在 内部部分，
如图所示， ，所以 .
，所以 ，同理，其余两弦所对圆心角也等于 ，
所以球面与截面 的交线的长度为 ，故B正确；
对于C，过E，P的直线分别交DA、DC的延长线于点G，M，连接 、 ，
分别交侧棱 于点N，交侧棱 于点H，连接EH和NP，如图所示：
则截面为五边形 ，
， ，
， ， ，
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，故 ，
所以 ， ，
所以五边形 的面积 ，故C正确；
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，点P到直线 的距离即点P到点 的距离，
因为平面 平面 ，故点P到平面 的距离为点P到 的距离，
由题意知点P到点 的距离等于点P到 的距离，
故点P的轨迹是以 为焦点，以 为准线的抛物线在侧面 内的部分，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12． 的展开式中的常数项为__________．（用数字作答）．
【答案】
【解析】 的展开式的通项公式为 ，
令 ，得 ，
故常数项为 ．
故答案为： .
13.在 中， ， ，则 __________； __________．
【答案】 ①. ②.
【解析】由 ， ，可得 ；
所以可得 ，所以 ，即 ；
易知 ， ，
由正弦定理可得 ；
故答案为： ，
14.已知点A为抛物线 上一点（点A在第一象限），点F为抛物线的焦点，准线为l，线段AF
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的中垂线交准线l于点D，交x轴于点E（D、E在AF的两侧），四边形 为菱形，若点P、Q分
别在边 DA、EA上， ， ，若 则 的最小值为______，
的最小值为______．
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】对于第一个空：
因为四边形 为菱形，所以 , ,又由抛物线的定义知， ，
所以 , ,
所以 的方程为 ，
由 联立得， ，得 ，
由分析知， ，所以 , , ,
, , , ,
, ，
又 ， 所以 ,
， ,
当 时， 取最小值3.
对于第二个空：
, ,
表示的是点 到点 和 的距离之和，
在直线 上，设 关于直线 对称的点 ,
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由 得 ，所以 ，
，当且仅当 三点共线时，等号成立.
故 的最小值为 .
故答案为：①3，② .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．设 ，曲线 在点 处取得极值.
求a；
求函数 的单调区间和极值.
【答案】（1）2 （2）单调递减区间 和 ,单调递增区间 ,极大值为 ，极
小值为
【解析】 ，则 ，
又 ，
故可得 ，
解得 ；
由 可知， ， ，
令 ，解得 ， ，
又 函数定义域为 ，
故可得 在区间 和 单调递减，在区间 单调递增.
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故 的极大值为 ， 的极小值为
16．如图，四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， ，平面 底面
.
（1）求证： ；
（2）若 ，且四棱锥 的体积为2，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）平面 底面 ，平面 底面 ，
底面 是边长为2的菱形， ， 底面 ，
则有 平面 ，又 平面 ，所以 .
（2）底面 是边长为2的菱形， ，
为等边三角形， ， ，
平面 底面 ，平面 底面 ，
过 点作 的垂线，垂足为 ，则 底面 ，
四棱锥 的体积为2，则 ，
解得 ，则 ，
所以 为 中点，即 为 和 交点，
，
以 为原点， 所在直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
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， ， ，
设平面 一的个法向量 ，
则有 ，令 ，则 ， ，即 ，
，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
17．现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子
里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放
入3号盒子，…，依次进行到从 号盒子里取出2个球放入n号盒子为止．
（1）当 时，求2号盒子里有2个红球的概率；
（2）当 时，求3号盒子里的红球的个数 的分布列；
（3）记n号盒子中红球的个数为 ，求 的期望 ．
【答案】（1） （2）分布列见解析 （3）
【解析】（1）由题可知2号盒子里有2个红球的概率为 ；
（2）由题可知 可取 ，
，
，
所以3号盒子里的红球的个数ξ的分布列为
1 2 3
P
（3）记 为第 号盒子有三个红球和一个白球的概率，则 ，
为第 号盒子有两个红球和两个白球的概率，则 ，
则第 号盒子有一个红球和三个白球的概率为 ，
且 ，
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化解得 ，
得 ，
而 则数列 为等比数列,首项为 ，公比为 ，
所以 ，
又由 求得：
因此 ．
18．已知 为曲线 上任意一点，直线 与圆 相切，且分别与
交于 两点， 为坐标原点.
（1）若 为定值，求 的值，并说明理由；
（2）若 ，求 面积的取值范围.
【答案】（1） 或 ; （2）
【解析】（1）由题意设 ，
当直线 的斜率不为 时，直线 ： ，
因为直线与圆相切，所以 ，即 ，
联立 ，可得： ，
所以
，
所以 ，
因为 ，所以 ，
要使 为定值，则 ，所以 或 ，
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当直线 的斜率为 时，
因为直线与圆相切，所以 ， 即 ，
不妨取 ，
联立 ，可得 ,所以
所以 ，也符合上式.
（2）当 时，由（1）可知 ， ，
同理 ,即 三点共线，
所以 ，
当直线 的斜率不为 时，由（1）可知：
所以 ，
因为 ，
所以 ，
令 ，
所以 ，
所以当 时， 有最小值为 ；
当 时， 有最小值为 ；
当直线 的斜率为 时，由（1）可知：
.
综上: 面积的取值范围 .
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19．在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光
滑曲线C： 上的曲线段 ，其弧长为 ，当动点从A沿曲线段 运动到B点时，A点的
切线 也随着转动到B点的切线 ，记这两条切线之间的夹角为 （它等于 的倾斜角与 的倾斜
角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯
曲程度越大，因此可以定义 为曲线段 的平均曲率；显然当B越接近A，即 越小，K就
越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义 （若极限存在）为曲
线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示 在点A处的一阶、二阶导数）
（1）求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
（2）求椭圆 在 处的曲率；
（3）定义 为曲线 的“柯西曲率”．已知在曲线 上存在
两点 和 ，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求 的取值范围．
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【答案】（1）1 （2） （3）
【解析】（1） ．
（2） ， ， ，
故 ， ，故 ．
（3） ， ，故 ，其中
，
令 ， ，则 ，则 ，其中 （不妨 ）
令 ， 在 递减，在 递增，故 ；
令 ，
，令 ，
则 ，当 时， 恒成立，故 在 上单调递增，
可得 ，即 ，
故有 ，
则 在 递增，
又 ， ，故 ，
故
16
