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雅安中学高 2024 级入学测试
数 学
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．不等式2x2﹣x﹣1＜0的解集是（ ）
A．（﹣1， ） B．（﹣1，2） C．（﹣ ，1） D．（﹣2，1）
2．在平面直角坐标系中，点P（m2+1，2）关于原点对称的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若 ，则xy的值为（ ）
A．8 B．16 C．﹣8 D．﹣16
4．已知一组数据8，5，x，8，10的平均数是8，以下说法错误的是（ ）
A．极差是5 B．众数是8 C．中位数是9 D．方差是2.8
5．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（
）
A．AB∥CD B．AD＝BC C．∠A＝∠B D．∠A＝∠D
6．已知直线y＝3x+a与直线y＝﹣2x+b交于点P，若点P的横坐标为﹣5，则关于x的不等
式3x+a＜﹣2x+b的解集为（ ）
A．x＜﹣5 B．x＜3 C．x＞﹣2 D．x＞﹣5
7．如图，建筑物CD和旗杆AB的水平距离BD为9m，在建筑物的顶端C测得旗杆顶部A
的仰角 为30°，旗杆底部B的俯角 为45°，则旗杆AB的高度为（ ）
α β
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
8．若关于x的不等式组 的所有整数解的和是6，则m的取值范围是（ ）
A．3＜m＜4 B．3＜m≤4 C．3≤m＜4 D．3≤m≤4
9．如图，在直角坐标系中，四边形OABC为正方形，且边BC与y轴交于点M，反比例函
数y＝ （k≠0）的图象经过点A，若CM＝2BM且S△OBM ＝ ，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
10.如果方程 x2﹣4ax+3a2＝0 的一根小于 1，另一根大于 1，那么实数 a 的取值范围是
（ ）
A． B．a＞1 C． D．a＝1
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解：3m2﹣6m＝ ．
学科网（北京）股份有限公司12．大连某中学七年级网络班级计划将全班同学分成若干小组，开展数学探究活动，若每
个小组8人，则还余3人，若每个小组9人，则有一个小组的人数不足7人，但多于4
人，则该班学生的人数是 ．
13．如图，△ABC是一个小型花园，阴影部分为一个圆形水池，且与△ABC的三边相切，
已知AB＝10m，AC＝8m，BC＝6m．若从天空飘落下一片树叶恰好落入花园里，则落入
水池的概率为 .（ 取3）
π
14.设 x ，x 是一元二次方程 x2﹣3x﹣2＝0 的两个实数根，则 x 2+3x x +x 2的值为
1 2 1 1 2 2
．
15．已知三点（a，m）、（b，n）和（c，t）在反比例函数y＝ （k＞0）的图象上，若a
＜0＜b＜c，则m、n和t的大小关系是 ．（用“＜”连接）
16.（多选）二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为P，其图像与x轴有两个交点A（﹣
m，0），B（1，0），交y轴于点C（0，﹣3am+6a），以下说法中正确的是 ．
A．m＝3
B．当∠APB＝120°时，a＝
C．当∠APB＝120°时，抛物线上存在点M（M与P不重合），使得△ABM是顶角为
120°的等腰三角形
D．抛物线上存在点N，当△ABN为直角三角形时，有a≥
三、解答题（本大题共5个小题，共52分）
17．（10分）（1）计算：
（2）先化简，再求值：（x+2﹣ ）÷ ，其中x＝ ﹣4．
18．（10分）某零食店购进A、B两种网红零食共100件，A种零食进价为每件8元，B种
学科网（北京）股份有限公司零食进价为每件5元，在销售过程中，顾客买了3件A种零食和2件B种零食共付款65
元，顾客乙买了2件A种零食和3件B种零食共付款60元．
（1）求A、B两种零食每件的售价分别是多少元？
（2）若该零食店计划A、B两种零食的进货总投入不超过656元，且销售完后总利润不
低于600元，则购进A、B两种零食有多少种进货方案？
（3）在（2）的条件下，哪种进货方案可使获利最大？最大利润是多少元？
19.（8分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝ （a≠0）的图象在第一象
限交于A，B两点，A点的坐标为（m，6），B点的坐标为（2，3），连接OA，过B作
BC⊥y轴，垂足为C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）在射线CB上是否存在一点D，使得△AOD是直角三角形，求出所有可能的D点
坐标．
20．（12分）已知函数y＝|x2﹣2x|．
（1）在给出的坐标系中作出y＝|x2﹣2x|的图象；（提示：先作出y=x2﹣2x的图像，x轴
上方图像不变，将x轴下方的图像沿x轴作翻折，就得到了y＝|x2﹣2x|的图象）
（2）若方程|x2﹣2x|=a有三个实根，求实数a的值；
（3）在同一坐标系中作直线y＝x，观察图象写出不等式|x2﹣2x|＜x的解集．
学科网（北京）股份有限公司21.（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+b与x轴交于A、B两点，A（﹣1，
0），B（4，0），交y轴于点C．
（1）如图1，求抛物线解析式；
（2）如图2，直线y＝x+m与x轴和抛物线分别交于点E、P，交CO于点D，P点的横
坐标为t，CD的长用d表示，求d与t的函数关系式（不要求写出t取值范围）；
（3）如图3，在（2）问条件下，点M是OB上一点（点M的横坐标大于t），连接
PM，PD的垂直平分线交BM于点F，交PM于点N，当cos∠DPO＝ ，PN＝3MN
时，求m的值．
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