文档内容
高一年级考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
试题分析： ，对应的点为（1,1）在第一象限.
考点：复数的运算、复数和点的对应关系.
2. 在一个随机试验中，彼此互斥的事件 ， ， ， 发生的概率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，则下列说
法正确的是（ ）
A. 与 是互斥事件，也是对立事件
B. 与 是互斥事件，也是对立事件
C. 与 是互斥事件，但不是对立事件
D. 与 是互斥事件，也是对立事件
【答案】D
【解析】
【分析】
根据互斥事件和对立事件的概念和性质，根据题中条件，逐项判断，即可得出结果.
【详解】因为彼此互斥的事件 ， ， ， 发生的概率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，
所以 与 是互斥事件，但 ，所以 与 不
是对立事件，故A错；
与 是互斥事件，但 ，所以 与 不是对立事件，故B错；
与 是互斥事件，且 ，所以也是对
立事件，故C错；
与 是互斥事件，且 ，
所以也是对立事件，故D正确.
故选：D.
【点睛】本题主要考查互斥事件与对立事件的定义，属于基础题型.
3. 在 中， ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由余弦定理得推论可得 的值.
【详解】在 中，由题意知：
，
故选：B
【点睛】本题考查了余弦定理得推理，属于基础题.
4. 已知非零向量 ，且 ， 为垂足，若 ，则 等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试 题 分 析 ： , 即 ， 即， ．
考点：平面向量的数量积的应用.
5. 某班统计一次数学测验的平均分与方差，计算完毕才发现有位同学的分数还未录入，只好重算一次.已
知原平均分和原方差分别为 ， ，新平均分和新方差分别为 ， ，若此同学的得分恰好为 ，则（
）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平均数和方差公式计算比较即可.
【详解】设这个班有 个同学，分数分别是 ，
假设第 个同学的成绩没录入，这一次计算时，总分是 ，方差为
；
第二次计算时， ，方差为
故有 ， .
故选:C
【点睛】本题主要考查样本的平均数和方差公式;属于中档题.
6. 如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形 ，且直观图 的面积
为2，则该平面图形的面积为（ ）A. 2 B.
C. 4 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据在斜二测画法中，原图面积与直观图的面积比值为 直接解题即可.
【详解】根据斜二测画法的规则可知该平面图形是直角梯形，
因为原图面积是直观图面积的 倍，
所以平面图形 的面积是 .
故选：B.
【点睛】本题考查平面图形的斜二测画法，斜二测画法中，x轴上的线段及与x轴平行的线段长度不变，
仍与x轴平行；y轴上的线段及与y轴平行的线段长度减半，仍与y轴平行，考查逻辑思维能力，属于常考
题.
7. 某实验单次成功的概率为0.8,记事件A为“在实验条件相同的情况下,重复3次实验，各次实验互不影
响，则3次实验中至少成功2次”，现采用随机模拟的方法估计事件4的概率:先由计算机给出0～9十个
整数值的随机数，指定0,1表示单次实验失败,2，3，4，5,6,7，8,9表示单次实验成功，以3个随机数为
组,代表3次实验的结果经随机模拟产生了20组随机数，如下表:
752 029 714 985 034
437 863 694 141 469
037 623 804 601 366
959 742 761 428 261根据以上方法及数据，估计事件A的概率为( )
A. 0.384 B. 0.65 C. 0.9 D. 0.904
【答案】C
【解析】
【分析】
由随机模拟实验结合图表计算即可得解．
【详解】由随机模拟实验可得：
“在实验条件相同的情况下，重复3次实验，各次实验互不影响，则3次实验中最多成功1次”共141，
601两组随机数，
则“在实验条件相同的情况下，重复3次实验，各次实验互不影响，则3次实验中至少成功2次”共
组随机数，
即事件 的概率为 ，
故选 ．
【点睛】本题考查了随机模拟实验及识图能力，属于中档题．
8. 如图，在四棱锥 中，四边形 为矩形， ， ， ，
则四棱锥 的外接球的体积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据四边形 为矩形和 ，利用线面垂直的判定定理得到 平面 ，再利用面面垂
直的判定定理得到平面 平面 ，然后由 ，得到 是等腰直角三角形，
进而得到四棱锥 的外接球的球心为AC，BD的交点，然后求得半径即可.
【详解】因为四边形 为矩形，
所以 又 ，且 ，
所以 平面
所以 平面 平面
又 ，
所以 是等腰直角三角形，
所以其外接圆的圆心是CD的中点，又四边形 为矩形的外接圆的圆心为AC，BD的交点，
所以四棱锥 的外接球的球心为AC，BD的交点，
所以外接球的半径为 ,
所以四棱锥 的外接球的体积为 .
故选：D
【点睛】本题主要考查四棱锥的外接球的半径及体积的求法以及线面垂直，面面垂直的判定定理的应用，
还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 下列各式中，结果为零向量的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD【解析】
【分析】
根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.
【详解】对于选项 ： ，选项 不正确；
对于选项 ： ，选项 正确；
对于选项 ： ，选项 不正确；
对于选项 ：
选项 正确.
故选：BD
【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.
10. 雷达图是以从同一点开始的轴上表示的三个或更多个定量变量的二维图表的形式显示多变量数据的图
形方法，为比较甲，乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制
了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5， 则下面叙
述正确的是（ ）
A. 甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值
B. 甲的数学建模能力指标值优于乙的直观直观想象想象能力指标值
C. 乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平
D. 甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据雷达图，比较各项指标，逐项判断，即可得出结果.
【详解】A选项，由雷达图可知，甲的逻辑推理能力指标值4优于乙的逻辑推理能力指标值3，即A正确；
B选项，由雷达图可知，甲的数学建模能力指标值3低于乙的直观直观想象想象能力指标值4，故B错；C选项，由雷达图可知，乙的数据分析、数学抽象、数学建模指标都优于甲；甲乙的直观想象指标相同；
甲的逻辑推理、数学运算指标优于乙；因此乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水
平，即C正确；
D选项，由雷达图可知，甲的数学运算能力指标值4低于甲的直观想象能力指标值5，即D错；
故选：AC.
【点睛】本题主要考查统计图的应用，属于基础题型.
11. 某公司生产三种型号的轿车，产量分别为15 00辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，公
司质监部门要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是（ ）
A. 应采用分层随机抽样抽取
B. 应采用抽签法抽取
C. 三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆
D. 这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据简单随机抽样的特点知应选分层抽样，按照抽样比即可得三种型号的轿车分别应抽取的数量.
【详解】因为是三种型号的轿车，个体差异明显，所以选择分层抽样，选项 正确.
因为个体数目多，用抽取法制签难，搅拌不均匀，抽出的样本不具有好的代表性，故选项 正确.
抽样比为 ，三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆，选项 正确.
分层抽样种，每一个个体被抽到的可能性相同. 故选项 正确.
故答案为：ACD
【点睛】本题主要考查了简单随机抽样与系统抽样的特点，属于基础题.
12. 如图，点 是正方体 中的侧面 上的一个动点，则下列结论正确的是（
）A. 点 存在无数个位置满足
B. 若正方体的棱长为1，三棱锥 的体积最大值为
C. 在线段 上存在点 ，使异面直线 与 所成的角是30°
D. 点 存在无数个位置满足 平面
【答案】ABD
【解析】
【分析】
通过证明 面 ，可得当点 上时，有 ，可判断A；
由已知 ，当点 与点 重合时，点 到面 的距离最大，计算 可判断
B；
连接 ，因为 ，则 为异面直线 与 所成的角，利用余弦定理算出 的
距离，可判断C；
证明平面 平面 ，即可判断D.
【详解】解：对于A，连接
由正方体的性质可得 ， 平面
则 平面
当点 上时，有
故点 存在无数个位置满足 ，故A正确；对于B，由已知
当点 与点 重合时，点 到面 的距离最大
则三棱锥 的体积最大值为 ，故B正确；
对于C， 连接
因为 ，所以 为异面直线 与 所成的角
设正方体棱长为1， ，则
点 到线 的距离为 ，解得
所以在线段 上不存在点 ，使异面直线 与 所成的角是 ，故C错误；
对于D，连接
，
四边形 为平行四边形，则
平面 ， 平面
平面 ，同理可证 平面
， 平面
平面 平面
若 ， 平面 ，则 平面 ，故D正确；故选：ABD
【点睛】本题考查空间垂直关系的证明和判断，考查几何体体积的计算，异面直线所成角的计算，线面平
行的判断，属于中档题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位： ）：
152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171， ，
174，175，若样本数据的第90百分位数是173，则 的值为________.
【答案】172
【解析】
【分析】
根据百分位数的意义求解.
【详解】百分位数的意义就在于，我们可以了解的某一个样本在整个样本集合中所处的位置，
本题第90百分位数是173，所以 ，
故答案为:172
【点睛】本题考查样本数据 的第多少百分位数的概念.
14. 若 （ 为虚数单位），则 ____________.
【答案】
【解析】
【分析】
由复数 求出共轭复数 ，求得复数的模 ，即可求出 .
【详解】解：由 ，
得： ， ，
.故答案为： .
【点睛】本题考查共轭复数的概念以及复数的模的运算.
15. 已知等边 ， 为 中点，若点 是 所在平面上一点，且满足 ，
则 __________.
【答案】0
【解析】
【分析】
利用向量加、减法 的几何意义可得 ，再利用向量数量积的定义即可求解.
【详解】根据向量减法的几何意义可得： ,
即 ,
所以
.
故答案为：0
【点睛】本题考查了向量的加、减法的几何意义以及向量的数量积，属于基础题.
16. 某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，
若被截正方体的棱长是 ，则石凳的表面积为________ .【答案】
【解析】
【分析】
由题意，该几何体是由棱长为 的正方体截去八个四面体构成的多面体，截去的八个四面体是全等的
三棱锥，结合三角形和正方形的面积公式，即可求解.
【详解】由题意，该几何体是由棱长为 的正方体截去八个四面体构成的多面体，截去的八个四面体
是全等的三棱锥，
同时几何体是由8个底面边长为 的等边三角形和边长为 的6个正方形组成的一个14面
体，
所以该几何体的表面积为：
.
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及几何体的表面积的计算，其中解答中正确判定几何
体的结构特征是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及计算能力，属于基础题.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设 ， .
（1）若 ，求实数 的值；
（2）若 ，且 ， 与 的夹角为 ，求 ， 的值.
【答案】（1） ；（2） ， 或 ， .【解析】
【分析】
（1）根据向量垂直的坐标运算即可求解；
（2）由模的向量坐标运算及夹角的向量坐标运算联立方程即可求解.
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ .
（2）∵ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
又 ，
即 ，
由 ，
解得 或 ，
∴ ， 或 ， .【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，考查了垂直关系，夹角公式，模的运算，属于中档题.
18. 甲，乙，丙三名射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.90，乙射中的概率为0.95，丙
射中的概率为0.95.求：
（1）三人中恰有一人没有射中的概率；
（2）三人中至少有两人没有射中的概率.（精确到0.001）
【答案】（1）0.176；（2）0.012.
【解析】
【分析】
（1）设甲，乙，丙三人射击1次射中目标的事件为 ， ， .根据事件 ， ， 相互独立，则三人中
恰 有 一 人 没 有 射 中 的 概 率 ，
求解.
（2）根据事件 ， ， 相互独立，三人中至少有两人没有射中的概率由
求解.
【详解】设甲，乙，丙三人射击1次射中目标的事件为 ， ， .
（1） ， ， ， ，
∵事件 ， ， 相互独立，
∴三人中恰有一人没有射中的概率为：
，
，
.
∴三人中恰有一人没有射中的概率为0.176.
（2）解法一：三人中至少有两人没有射中的概率为，
∴三人中至少有两人没有射中的概率为0.012.
解法二：三人都射中的概率为
.
由（1）知，三人中恰有一人没有射中的概率为0.176，
∴三人中至少有两人没有射中的概率为
.
∴三人中至少有两人没有射中的概率为0.012.
【点睛】本题主要考查独立事件与互斥事件的概率的求法，属于基础题.
19. 如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 是线段 上的动点.
（1）当 是 的中点时，证明： 平面 ；
（2）若 ，证明：平面 平面 .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】【分析】
（1）连接 ，交 于 ，连接 ，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；
（2）先由线面垂直的判定定理，证明 平面 ，进而可得面面垂直.
【详解】（1）证明：如图，连接 ，交 于 ，连接 ，则 是 的中点，
∵ 是 的中点，
∴ ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
（2）证明：∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，
又 ， ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，
∴平面 平面 .
【点睛】本题主要考查证明线面平行，证明面面垂直，熟记判定定理即可，属于常考题型.
20. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.① ；②；③ 的面积为 .已知 的内角 ，
， 的对边分别为 ， ， ，且________.
（1）求 ；
（2）若 为 中点，且 ， ，求 ， .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据所选条件，由正弦定理和余弦定理，逐步计算，即可得出结果；
（2）先根据题意，由余弦定理，得出 ， ，求出
，再由（1）的结果，根据余弦定理，得到 ，进而可求出结果.
【详解】（1）方案一：选条件①
∵ ，由正弦定理可得， ，
即 ，
∴ ，
∴由余弦定理可得： .
∴ .
方案二：选条件②
（1）∵ ，
∴根据正弦定理可得， ，∴ ，
∴ .
∴ ，
∴ .
方案三：选条件③
（1）由题意知， ，
∴由正弦定理可得， ，
∴ ，
∴由余弦定理可得， ，
∴ .
（2）由题意知， ， ，
在 中， ，
即 .
在 中， ，
即 ，
∵ ，
∴ ，∴ .
由（1）知， ，
∴ ，
∴ ，
由 ，解得 .
【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于常考题型.
21. “肥桃”因产于山东省泰安市肥城市境内而得名，已有1100多年的栽培历史.明代万历十一年（1583
年）的《肥城县志》载：“果亦多品，惟桃最著名”.2016年3月31日，原中华人民共和国农业部批准对
“肥桃”实施国家农产品地理标志登记保护，某超市在旅游旺季销售一款肥桃，进价为每个10元，售价为
每个15元，销售的方案是当天进货，当天销售，未售出的全部由厂家以每个5元的价格回购处理.根据该
超市以往的销售情况，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）估算该超市肥桃日需求量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）已知该超市某天购进了150个肥桃，假设当天的需求量为 个 ，销售利润为
元.
（i）求 关于 的函数关系式；
（ii）结合上述频率分布直方图，以频率估计概率的思想，估计当天利润 不小于650元的概率.
【答案】（1）124；（2）（i） ；（ii）0.375.【解析】
【分析】
（1）先设日需求量为 ，根据频率分布直方图，以及频率之和为1求出各组的频率，再由每组的中点值乘
以该组频率，再求和，即可得出结果；
（2）（i）根据题意，分布得出 ， 时，对应的函数解析式，即可得出结果；
（ii）由（i）的结果，令 求出 ，再由频率分布直方图求出对应频率，即可得出结果.
【详解】（1）设日需求量为 ，则
的频率为 ；
的频率为 ；
的频率为 ；
的频率为 .
∴ 与 的频率为 .
∴该超市肥城桃日需求量的平均数为
.
（2）（i）当 时， ；
当 时， ，
∴ .
（ii）由（i）可知， ，
令 ，解得 ，
由频率分布直方图可知，日需求量 的频率约为，
以频率估计概率的思想，估计当天利润 不小于650元的概率约为0.375.
【点睛】本题主要考查由频率分布直方图求平均数，考查分段函数模型的应用，考查由频率分布直方图求
概率，属于常考题型.
22. 《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右.它
是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完
整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥 中，
平面 .
（1）从三棱锥 中选择合适的两条棱填空：________ ________，则三棱锥 为“鳖
臑”；
（2）如图，已知 ，垂足为 ， ，垂足为 ， .
（i）证明：平面 平面 ；
（ii）设平面 与平面 交线为 ，若 ， ，求二面角 的大小.
【答案】（1） 或 或 或 ；（2）证明见解析；（3） .
【解析】
【分析】
（1）根据“鳖臑”的概念，由题意，由线面垂直的判定定理和性质，直接补充条件即可；（2）（i）根据线面垂直的判定定理，先证明 平面 ， 平面 ，推出 ，
；再得到 平面 ，根据面面垂直的判定定理，即可证明面面垂直；
（ii）先由题意，设 ，连结 ，则 即为 ，根据线面垂直的判定定理和性质，证明
即为二面角 的一个平面角，再由题中数据，直接计算，即可得出结果.
【详解】（1）因为“鳖臑”是由四个直角三角形组成的四面体，又 平面 ，所以 ，
， ；即 ， 为直角三角形；
若 ，由 ， 平面 ，可得： 平面 ；
所以 ，即 ， 为直角三角形；满足四个面都是直角三角形；
同理，可得 或 或 ，都能满足四个面都 是直角三角形；
故可填： 或 或 或 ；
（2）（i）证明：
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，
又 ， ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，
∴ ，
又 ， ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，∴ ，
又 ， ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，
∴平面 平面 .
（ii）由题意知，在平面 中，直线 与直线 相交.
如图所示，设 ，连结 ，则 即为 .
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，
又 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，
∴ ， .
∴ 即为二面角 的一个平面角.
在 中， ， ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴二面角 的大小为 .
【点睛】本题主要考查证明面面垂直，考查求二面角的大小，熟记线面垂直与面面垂直的判定定理，以及
二面角的求法即可，属于常考题型.
