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哈三中 2023—2024 学年度下学期
高一学年期末考试数学试卷
考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．
考试时间为120分钟．
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．
2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用 0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工
整，字迹清楚．
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、
试题卷上答题无效．
4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求．
1. ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 一个水平放置的平面图形 按斜二测画法得到的直观图如图所示，四边形 为等腰梯形，
，则平面图形 的面积为（ ）
A. B. C. D.
3. 在空间四面体 中，对空间内任意一点 ，满足 ，则下列条件中可以
确定点 与 ， ， 共面的为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
4. 已知向量 ，向量 为平面内两个不共线的单位向量，若 ，
，则下列结论正确的是（ ）
A. A、B、C三点共线 B. A、C、D三点共线
C. A、B、D三点共线 D. B、C、D三点共线
5. 经哈三中数学组集体备课研究，预计每周（五天）安排 8堂数学课，每天至少1堂，不同的安排方法有
（ ）
A. 35种 B. 126种 C. 495种 D. 1001种
6. 在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ， ，则 的取值范围是（
）
A. B. C. D.
7. 三棱锥 的侧棱 是它的外接球的直径，且 ，则三棱锥
的体积为（ ）
.
A B. C. D.
8. 在 中， ，I是 的平分线上一点，且 ，若 内
（不包含边界）的一点D满足 ，则实数x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
第2页/共9页
学科网（北京）股份有限公司9. 设m，n是不同的直线， 是不同的平面，则下列命题错误的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则n平行于 内的无数条直线
C. 若 ，则 D. 若 ，则
10. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九
章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，下列结论正确的是（ ）
A. 第n行的第 个位置的数是
B.
C. 第2024行的第1012个数最大
D. 第28行中第5个数与第6个数的比值为
11. 已知正方体 的棱长为1，则下列结论正确的是（ ）
A. 平面 被正方体内切球所截，则截面面积为
B. 四棱锥 与四棱锥 公共部分的体积为
C. 若点P在线段 上运动，则
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学科网（北京）股份有限公司D. 以D为球心， 为半径作球，则球面与正方体 的表面的交线长为
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 正四棱锥 的所有棱长均为4，M为棱PC的中点，则异面直线BM与PA所成角的余弦值为
______．
13. 已知 ，则 ______．
14. 现用 种不同的颜色对四棱台 的 个顶点涂色，要求同一条棱的两个端点不同色，
且上底面 个顶点颜色都不同，则不同的涂色方法种数为______．（用具体数字作答）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 的展开式中所有项的二项式系数之和为32，前3项的系数之和为31．
（1）求实数n和a的值；
（2）求 的展开式中 的系数．
16. 已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S， ，
．
（1）求 ；
（2）从以下3个条件中选择1个作为已知条件，使 存在且唯一确定，求S．
的
条件① ；条件② ；条件③BC边上 中线长为 ．
17. 在直三棱柱 中，D、E分别是棱 的中点，F为线段 上的点．
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学科网（北京）股份有限公司（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，当 与平面 所成角的正弦值为 时，求 的值．
18. 在锐角 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求B；
（2）求 取的值范围：
（3）若 的外接圆半径为 ，求 内切圆半径的最大值．
19. “阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，它是底面为矩形，一
条侧棱垂于底面的四棱锥．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形， ，平面 平面 ，
平面 平面 .
（1）求证：四棱锥 是“阳马”；
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学科网（北京）股份有限公司（2）点M在正方形 内（包括边界）．平面 平面 且 ，
（i）求M点轨迹长度；
（ii）是否存在M点，使得平面 平面 ，若存在，求二面角 的余弦值；若不存
在，请说明理由．
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学科网（北京）股份有限公司哈三中 2023—2024 学年度下学期
高一学年期末考试数学试卷
考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．
考试时间为120分钟．
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．
2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用 0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工
整，字迹清楚．
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、
试题卷上答题无效．
4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求．
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
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学科网（北京）股份有限公司【9题答案】
【答案】ACD
【10题答案】
【答案】AB
【11题答案】
【答案】BCD
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】112
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1） ，
（2）
【16题答案】
【答案】（1）
（2）答案见详解
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2） 的取值范围为
（3）
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）（i） ；（ii）存在，该点为 与 交点，二面角 的余弦值
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