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2023-2024 学年第二学期期初联合调研试题
高三数学答案
2024.2
1-8. ACABCADD 9.AD 10.ABD 11.BCD
12. 13. 5 14.
15. (1) ； (2)
（1）当 时， ， ，
则 ，而 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ；…………………………6分
（2） ，由 ，得 ，
设 ，则 ，
令 ，得 ，
则 时， ，函数 单调递增，
时， ，函数 单调递减，
故 ，故 ,
即实数a的取值范围为 .…………………………13分
16.(1) ； (2)①0.008； ②
（1） ， ，
1
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以 ，
，所以 关于 的经验回归方程为 .………………5分
（2）设事件 表示“随机取一件药品来自设备 生产”，事件 表示“随机取一件药品来
自设备 生产”，事件 表示“所抽药品为不合格品”，
①因为设备 的生产效率是设备 的2倍，所以 ， ，
， ，
所以 ，………………12分
② ，
所以三件不合格品中至少有两件是设备 生产的概率为 …15分
17.(1)证明见解析； (2) .
（1）如图，在 上取一点G，使得 ，
连接 ， ，因为 ，且 是平行四边形，
所以 ，故 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 是平行四边形，且 ，
所以 是平行四边形，故 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以 平面 ，
因为 ，且 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
因为 平面 ，
所以 平面 .………………………………………………………………7分
（2）方法1：当E为 中点， ， 时，
易知 ，F为 中点，又因为 平面 ，
所以 ， ， 两两互相垂直，
则以D为坐标原点， 为x轴， 为y轴， 为z轴建立坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， .
设平面 与平面 的法向量分别为 ， ，则
， ，
不妨取 ， ，则 ， ，
所以 ，
故二面角 的正弦值为 ，正切值为 .………………15
分
方法2：过 作 ，垂足为M，分别连接 ， ， ，
3
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为 ， 是平面 内两相交直线，
所以 平面 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ， ，
即 就是二面角 的平面角，
设 ， ， ，
因为E为 的中点， ，底面 是平行四边形，
所以F是 中点，
设 ，
因为 ，易知 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ， ，
4
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以 ，
即二面角 的正切值为 .
x2 y2
18.（1） + =1；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
4 3
（1）因为
所以Z点的轨迹是以 为焦点的椭圆，其长轴长2a=4,焦距为2c=2，b=❑√a2−c2=❑√3，
x2 y2
所以曲线E的标准方程为： + =1.…………………………………………………3分
4 3
y
（2）（i）设点G(x,y)，因为y=k (x−2)，所以k = ，
1 1 x−2
y−❑√3
因为y=k x+❑√3，所以k = ，
2 2 x
3 y y−❑√3 3
因为k k = ，所以 ⋅ = ，整理得(2y−❑√3x)(2y+❑√3x−2❑√3)=0，
1 2 4 x−2 x 4
因为ABCD为四边形，所以2y+❑√3x−2❑√3≠0，
所以点G在定直线❑√3x−2y=0上；…………………………………………………10分
❑√3
（ii）由题知A(2,0),B(0,1)，直线AB:y=− x+❑√3，
2
设C(x ,y ),D(x ,y )，直线CD:y=kx+m，
1 1 2 2
x2 y2
将y=kx+m代入 + =1得(3+4k2 )x2+8kmx+4m2−12=0，
4 3
8km 4m2−12
所以x +x =− ,x x = ，
1 2 3+4k2 1 2 3+4k2
y y −❑√3 y y −❑√3 y k2x x +km(x +x )+m2−❑√3(kx +m)
所以k k = 1 × 2 = 1 2 1= 1 2 1 2 1
1 2 x −2 x (x −2)x x x −2x
1 2 1 2 1 2 2
5
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司4m2−12 8km 8km
k2 ( )+km(− )+m2−❑√3k(− −x )−❑√3m
3+4k2 3+4k2 3+4k2 2
= ，
4m2−12
−2x
3+4k2 2
3m2−12k2+4❑√3k2m−3❑√3m+❑√3(3k+4k3 )x 3
所以
2=
，
4m2−12−2(3+4k2 )x 4
2
所以(16❑√3k3+24k2+12❑√3k+18)x +4❑√3m(4k2−3)+36−48k2=0，
2
❑√3
所以¿，解得k=− ，
2
所以AB//CD.…………………………………………………17分
1
19.（1）λ=1；（2） ；（3）3
128
（1）由题意，可得a 2=(a +d)(a −d)+λd2 ，
n n n
化简得(λ−1)d2=0，又d≠0，所以λ=1. ………………………………3分
（2）将a =1,a =2,a =4代入条件，可得4=1×4+λ，解得λ=0，
1 2 3
所以a 2=a a ，所以数列{a }是首项为1，公比q=2的等比数列，所以a =2n−1 .
n n+1 n−1 n n
欲存在r∈[3,7]，使得m⋅2n−1 ⩾n−r，即r⩾n−m⋅2n−1对任意n∈N∗都成立，
n−7
则7⩾n−m⋅2n−1，所以m⩾ 对任意n∈N∗都成立.
2n−1
n−7 n−6 n−7 8−n
令b = ，则b −b = − = ，
n 2n−1 n+1 n 2n 2n−1 2n
所以当n>8时，b b ．
n+1 n 9 8 n+1 n
1 1
所以b 的最大值为b =b = ，所以m的最小值为 . ……………………9分
n 9 8 128 128
（3）因为数列{a }不是常数列，所以T⩾2．
n
①若T=2，则a =a 恒成立，从而a =a ，a =a ，所以¿，
n+2 n 3 1 4 2
6
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以λ(a −a ) 2=0，又λ≠0，所以a =a ，可得{a }是常数列．矛盾．
2 1 2 1 n
所以T=2不合题意.
②若T=3，取a =¿（*），满足a =a 恒成立．
n n+3 n
由a 2=a a +λ(a −a ) 2 ，得λ=7．
2 1 3 2 1
则条件式变为a 2=a a +7．
n n+1 n−1
由22=1×(−3)+7，知a 2=a a +λ(a −a ) 2 ；
3k−1 3k−2 3k 2 1
由(−3) 2=2×1+7，知a 2=a a +λ(a −a ) 2 ；
3k 3k−1 3k+1 2 1
由12=(−3)×2+7，知a 2=a a +λ(a −a ) 2 ．
3k+1 3k 3k+2 2 1
所以，数列（*）适合题意．
所以T的最小值为3.…………………………………………………17分
7
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