文档内容
保密★启用前
试卷类型：A
准考证号______ 姓名______
（在此卷上答题无效）
名校联盟全国优质校 2024 届高三大联考
数学试题
2024.2
本试卷共4页，考试时间120分钟，总分150分。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 为虚数单位， （ ）
A． B． C． D．
3．已知 是两个单位向量，若 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．设直线 与双曲线 分别交于 两点，若线段 的中
点横坐标是 ，则该双曲线的离心率是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C．2 D．
5．一般来说，输出信号功率用高斯函数来描述，定义为 ，其中 为输出信号功率最大
值（单位： ）， 为频率（单位： ）， 为输出信号功率的数学期望， 为输出信号的方差，
带宽是光通信中一个常用的指标，是指当输出信号功率下降至最大值一半时，信号的频率范围，即对
应函数图像的宽度。现已知输出信号功率为 （如图所示），则其 带宽为（ ）
A． B． C． D．
6．已知 成等比数列，且2和8为其中的两项，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在三棱锥 中， ，点 是棱 上一动
点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． D．
8．方程 所有正根的和为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题正确的是（ ）
A．若 两组成对数据的样本相关系数分别为 ，则 组数据比 组数据的相关性
较强
B．若样本数据 的方差为2，则数据 的方差为8
C．已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，剩下 28个数据的22%分位数不等于
原样本数据的22%分位数
D．某人解答5个问题，答对题数为 ，若 ，则
10．对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 在 处取得极大值
B． 有两个不同的零点
C．
D．
11．已知 是圆 上任意一点，过点 向圆 引斜率
为 的切线 ，切点为 ，点 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 时， B．
学科网（北京）股份有限公司C． D． 的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设 是数列 的前 项和， ，则 ______．
13．设函数 在区间 上恰有两个零点，则 的取值范围是______．
14 ． 如 图 ， 在 中 ， ， 在 直 角 梯 形 中 ，
， ， 记 二 面 角 的 大 小 为 ， 若
，则直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
若数列 的前 项和 满足 ．
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
16．（15分）
在三棱柱 中， ，在底面 中，有 ，且 ，点 为
等腰三角形 的底边 的中点，在 中，有 ．
学科网（北京）股份有限公司（1）求证： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
17．（15分）
甲、乙两俱乐部进行羽毛球团体赛，比赛依次按照男子双打、女子双打、混合双打、男子单打、女子单打
共五个项目进行，规定每个项目均采取三局两胜制，且在上述五项中率先赢下三项的俱乐部获胜（后续项
目不再进行比赛）．已知在男双项目、女双项目、男单项目这三项的每局中，甲俱乐部获胜的概率均为
0.7；在混双项目、女单项目这两项的每局中，乙俱乐部获胜的概率均为0.8，假设每局比赛之间互不影响．
（注：比赛没有平局，且所有结果均保留一位小数．）
（1）求甲俱乐部在男子双打项目中获胜的概率；
（2）记比赛结束时所完成的比赛项目数量为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
18．（17分）
已知椭圆 的方程为 为 的左顶点， 为 的上顶点， 的离心率为
的面积为 ．
（1）求 的方程；
（2）过点 的直线交 于 两点，点 且垂直于 轴的直线交直线 于点 ，证明：线
段 的中点在定直线上．
19．（17分）
已知函数 ．
（1）当 时，求 的极值；
学科网（北京）股份有限公司（2）若存在实数 ，满足 ，求 的取值范围．
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