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2024 年高考数学第一次模拟考试
数学（新高考 I 卷）·参考答案
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
D A C B A D D A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
BCD ABD ACD AC
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14． 15． 16． 2
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）
【答案】(1) ；(2) .
【详解】（1）由已知及正弦定理得 ，…………………………1分
则 ，………………………3分
在 中 ，故 ， ……………………………………………4分
又 ，故 . ……………………………………………………………………………5分
（2）由 ，得 ， ……………………………………………6分由题意 ，则 ，……………………7分
即 ，解得 ，……………………………………………9分
故 的面积为 . ……………………………………………10分
18.（12分）
【答案】(1)证明见解析 (2)
【详解】（1）令 ，得 ，则 ．……………………………………………1分
因为 ①，所以 ②．…………………………… ………2分
①-②得 ，即 ． …………………………4分
因为 ，所以数列 为常数列．……………………………………………5分
（2）由（1）可得 ，所以 是公差为1的等差数列，
所以 ．……………………………………………………………………………………………7分
因为 ， ………………………………………………………………………8分
所以 ③，
④．………………………………………………………………………9分
③-④得，…………………………………………………………………11分
所以 ． …………………………………………………………………12分
19．（12分）
【答案】(1) (2)应选择先回答甲类问题
【详解】（1）设 “张某选择甲类问题”， “张某答对所选问题”，
“张某至少答对一道问题”，
“张某选择乙类问题”， “张某未答对所选问题”
“张某一道问题都没答对”
由题意得， ，……………………………………………………………1分
， ， ， ，…………………………3分
由全概率公式，得
…………………………4分
∴ .……………………………………………………………5分
（2）根据条件可知：若张某先回答甲类问题，
则张某的累计得分X的可能值为0，30，80，
∵张某能正确回答甲类问题的概率为0.9，能正确回答乙类问题的概率为0.7，
∴ ；
；
，……………………………………………7分
则 的分布列为
0 30 80
0.1 0.27 0.63
当张某先回答甲类问题时，累计得分的期望为：，……………………………………………8分
若张某先回答乙类问题，则张某的累计得分 的可能值为 ，
同理可求 ； ；
，……………………………………………………………………10分
则此时累计得分的期望为 ，……………………11分
因为 .
所以，以累计得分多为决策依据，张某应选择先回答甲类问题．……………………12分
20．（12分）
【答案】(1) ，准线方程为
(2)证明见解析
【详解】（1）因为点 在 上，
所以 ，解得 ，…………………………………………………………2分
所以 的方程为 ， …………………………………………………………3分
准线方程为 . …………………………………………………………………………4分
（2）易知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，………………………5分
联立 ，得 ，…………………………………7分
设点 ，则 .…………………………………8分
直线 的方程为 ，令 ，
得 ，所以 ，…………………………………9分同理得 ，…………………………………10分
设以线段 为直径的圆与 轴的交点为 ，
则 ，
因为 ，则 ，
即 ，…………………………………11分
所以 ，解得 或 .
故以线段 为直径的圆经过 轴上的两个定点 和 .…………………………………12分
21．（12分）
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ） 或 .
【详解】
（Ⅰ）连接 ，则 ，因为 ，所以四边形 为平行四边形；所以
，因为 且 为 的中点，所以 ，………2分
所以 ，所以 ，即 ，………3分又因为 ，所以 平面 ；………………………………………4分
（Ⅱ）以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ,
所以 ,………………………………………5分
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
取 ，………………………………………………………………………………………6分
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
取 ，………………………………………………………………………………………7分
所以 ，…………………8分
所以二面角 的正弦值为 ；…………………9分
（Ⅲ）设 ，则 ，而 ，所以 ，由（Ⅱ）知平面
的法向量为 ，设直线与平面 所成的角为 ，则
，…………………11分
化简得 ，解得： 或 ，故线段 的长度为 或 .…………………12分
22．（12分）
【答案】(1)
(2)(3)证明见解析
【详解】（1）解：因为函数 ，可得 ，…………………1分
则 ，……………………………………………………………………………2分
所以曲线 在 处切线的斜率为 .…………………………………………………3分
（2）解：设函数 ，
可得 ，………………………………………4分
当 时， ，则 在 上单调递增，………………………………………5
分
所以 ，从而 ，所以 .…………………………………6分
（3）证明：设函数 ，
当 时， ， ，则 恒成立，
则由 ，得 ，……………………………………………………………7分
又 ，所以 ，……………………………………………8分
因为 ，可得 ，
令 ，可得 ，
所以 单调递增，即 在 单调递增，所以 ，
所以 在 上单调递增，又由 ，所以 ，………………………………………………9分
同理得 ，
要证 ，只需证 ，即证 ，
因为 ，所以 ，……………………………………………………………10分
设函数 ，则 ，所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，……………………………11分
所以 ，从而得证 .……………………………12分
