文档内容
2024 年高考数学第一次模拟考试
高三数学（新高考Ⅱ卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓
名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的。
1．若复数 满足 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．3
2．设集合 ， ，且 ，则 （ ）
A．6 B．4 C． D．
3．已知等差数列 的前5项和 ，且满足 ，则等差数列 的公差为（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
4．从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是直角三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近
似看作一个圆台．现有一龙洗盆高15cm，盆口直径40cm，盆底直径20cm．现往盆内倒入水，当
水深6cm时，盆内水的体积近似为（ ）
A． B． C． D．6．已知 ， 是方程 的两个实数根，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知直线 与圆 相切，与抛物线 相交于 两点，以 为直径的圆过坐标
原点，则直线 的方程为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
8．设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据
（单位：千克）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A．频率分布直方图中 的值为0.04
B．这100名学生中体重不低于60千克的人数为20
C．这100名学生体重的众数约为52.5
D．据此可以估计该校学生体重的75%分位数约为61.25
10．已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在 上，直线 交 于另一点 ，则（ ）
A． 的准线方程为 B．直线 的斜率为
C． D．线段 的中点的横坐标为
11．如图，棱长为2的正方体 中，点E，F，G分别是棱 的中点，则
（ ）A．直线 为异面直线
B．
C．直线 与平面 所成角的正切值为
D．过点B，E，F的平面截正方体的截面面积为9
12．已知函数 的部分图象如图1所示， 分别为图象的最高
点和最低点，过 作 轴的垂线，交 轴于 ，点 为该部分图象与 轴的交点.将绘有该图象的纸
片沿 轴折成直二面角，如图2所示，此时 ，则下列四个结论正确的有（ ）
A．
B．
C．图2中，
D．图2中， 是 及其内部的点构成的集合.设集合 ，则 表示的区域的
面积大于
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知平面向量 ， ，若 与 共线，则 .
14．已知函数 是偶函数，则 ．
15． 的展开式中 的系数为 （用数字作答）.
16．若存在 ，使得函数 与 的图象有公共点，且在公共点处
的切线也相同，则 的最大值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（本小题满分10分）在① ，② 中任选一个作为已知条件，
补充在下列问题中，并作答．
问题：在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知______．
(1)求B；(2)若 的外接圆半径为2，且 ，求ac．
注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分．
18．（本小题满分12分）已知数列 的各项均为正数，记 为 的前n项和，且
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前n项和 .
19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱中 ，平面 平面 ，四边形
是矩形，四边形 是平行四边形，且 ， ， ，以 为直径的圆
经过点 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值.
20．（本小题满分12分）市教育局计划举办某知识竞赛，先在 ， ， ， 四个赛区举办预赛，
每位参赛选手先参加“赛区预赛”，预赛得分不低于100分就可以成功晋级决赛．赛区预赛的具体
规则如下：每位选手可以在以下两种答题方式中任意选择一种答题．方式一：每轮必答2个问题，
共回答6轮，每轮答题只要不是2题都错，则该轮次中参赛选手得20分，否则得0分，各轮答题
的得分之和即为预赛得分；方式二：每轮必答3个问题，共回答4轮，在每一轮答题中，若答对不
少于2题，则该轮次中参赛选手得30分，如果仅答对1题，则得20分，否则得0分．各轮答题的
得分之和即为预赛得分．记某选手每个问题答对的概率均为 ．
（1）若 ，求该选手选择方式二答题晋级的概率；
（2）证明：该选手选择两种方式答题的得分期望相等．
21．（本小题满分12分）已知函数 ， .
(1)若 ，讨论 的单调性；
(2)若当 时， 恒成立，求 的取值范围.
22．（本小题满分12分）已知椭圆 ： 的左，右焦点分别为 ，
，离心率为 ， 是椭圆 上不同的两点，且点 在 轴上方， ，直线
， 交于点 .已知当 轴时， .
(1)求椭圆 的方程；(2)求证：点 在以 ， 为焦点的定椭圆上.
