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江西省 2024 届高三 3 月 28 日大联考数学试卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的.
1.双曲线 的渐近线方程为
A. B. C. D.
2.设集合 ,则
A. B. C. D.
3.已知圆锥的母线长为6,其侧面展开图是一个圆心角为 的扇形,则该圆锥的表面积为
A. B. C. D.
4.古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分隔率,黄金分割率的值也可以
用 表示,即 ,设 ,则
A. B. C. D.
5.已知实数a,b满足 ,则
A. B. C. D.a,b的大小无法判断
6.过点 的直线与圆 相切于点 ,则
A.4 B.16 C. D.17
7.若一个四位数的各位数字之和为4,则称该四位数为“ 数”,这样的“ 数”有
A.20个 B.21个 C.22个 D.23个
8.C是椭圆 上一点,A,B是椭圆E的左、右顶点,若 : ,则
的离心率为
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知函数 .则
A. 在区间 上单调递增 B.对
C. 关于点 对称 D.将 的图象向左平移 个单位长度,所得到的函数是偶函数
10.复数 满足 ,且 ,则
A. B.
C. D.
11.已知函数 及其导函数 的定义域均为 ,若 的图象关于直线 对称,
,且 ,则
A. 为偶函数 B. 的图象关于点 对称
C. D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12.样本数据5,11,6,8,14,8,10,5的 分位数为_____________.
13.如图,在正三棱锥 中,侧棱 ,过点 作与棱DB,DC均相交的截面
AEF.则 周长的最小值为_____________,记此时 的面积为 ,则 _____________.
学科网（北京）股份有限公司14.若不等式 在 上恒成立,则 的最大值为____________.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)设某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,已知各车间的产量分别占全厂产量的 ,
,并且各车间的次品率依次为 .
(1)从该厂这批产品中任取一件,求取到次品的概率;
(2)从该厂这批产品中有放回地抽取100次,每次抽取1件,且每次抽取均相互独立,用 表示这100次抽取的
零件中是次品的总件数,试估计 的数学期望EX.
16.(15分)已知数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求 的通项公式;
(2)已知 ,集合 中元素个数为 ,求 .
17.(15分)如图,在三棱柱 中, ,侧面 是正方形, 是平面
上一点,且 .
(1)证明:点 到直线 和 的距离相等.
(2)已知二面角 的大小是 ,求直线AB与平面 所成角的正弦值.
18.(17分)在直角坐标系 中,点 到直线 的距离等于点 到原点 的距离,记动点 的轨迹为 .
(1)求 的方程;
(2)点A,B,C,D在 上,A,B是关于 轴对称的两点,点 位于第一多限,点 位于第三象限,直线AC与 轴交
于点 ,与 轴交于点 ,且B,H,D三点共线,证明:直线CD与直线AC的斜率之比为定值.
19.(17分)已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
学科网（北京）股份有限公司(2)若 ≥0恒成立,求 的取值集合;
(3)若存在 ,且 ,求 的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司高三数学试卷参考答案
1.D 由题可知双曲线 的渐近线方程为 .
2.B 依题得 ,则 .
3.C 设圆锥的母线长为 ,底面半径为 ,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长,则 ,解得 ,
所以该圆锥的表面积为 .
4.A .
5.A 因为 在 上单调递增,且 ,所以 .又 ,
所以 .
6.B 圆 ,即圆 的圆心为 ,半径 ,点
到圆心 的距离 ,所以
.
7.A 易知 ,当四位数由4,0,0,0构
成时,共有1种情况,当四位数由3,1,0,0构成时,共有 种情况,当四位数由2,2,0,0构成时,共有
种情况,当四位数由2,1,1,0构成时,共有 种情况,当四位数由1,1,1,1构成时,共有1种情况,所以这样
的“ 数”有20个.
8.D 由题可知 ,则
.由题意不妨设 ,又 ,
学科网（北京）股份有限公司,所以
,则 的离心率为 .
9. 当 时, ,因为 是正弦函数的单调递增区间,所以 在区
间 上单调递增, 选项正确;
,B选项错误; ,C选项正确;
将 的图象向左平移 个单位长度,得函数 的图象,其
中 ,不是函数最值, 轴不是函数图象的对称轴, 不是偶函数,D选项错误.
10. 由 ,可得 ,则 ,解得 ,所以|z|
,故选项A,D正确.当 时, ,当
时, ,故选项B正确,选项C错误.
11.BCD 由 的图象关于直线 对称,可得 的图象关于直线 对称,即 的图象
关于直线 对称.由 ,可得 ,又 ,所
以 ,所以 的图象关于点 对称,即 为奇函数,周期为 .由
,可得 ,因为 的周期为4,所以 ,
则 ,即 ,所以 的图象关于点 对称.因为 的
学科网（北京）股份有限公司图象关于直线 对称,则 ,所以 ,所以 ,因为 的周期为
4,所以 的周期也为4.由 ,可得 ,所以
.由 ,可得 ,所以
,即
.
12.8 ,将样本数据按从小到大的顺序排列为5,5,6,8,8,10,11,14,故 分位数为8.
13. 把正三棱锥 的侧面展开,两点间的连接线 是截面周长的最小值.
正三棱锥 中, ,所以 ,
所以 ,故 周长的最小值为 .
又 ,所以
.则 .
14.6由 ,可得 ,令函数 ,则
,故 在[0,2]上单调递增,即
学科网（北京）股份有限公司,所以 .故 6,当且仅当 时,
上式成立.所以 的最大值为6.
15.解:(1)记事件 为“任取一件产品,恰好是次品”,事件 为“取到甲车间生产的产品”,事件 为“取到
乙车间生产的产品”,事件 为“取到丙车间生产的产品”,则 ,
………………………..3
分
所以由全概率公式得 0.023,故从该厂这
批产品中任取一件,取到次品的概率为0.023.……………………..……………………..…..…………..6分
(2) 的可能取值为 ,且 服从二项分布.
由(1)知, . ……..………………..………………..…………………………………..…………8分
因为 ,所以 .……..………………..………………..………………..
…………13分
16.解:(1)令 ,得 .……..………………..………………..………………..……………………………..
………………..…2分
当 时,因为 ,所以 ,两式相减得
,……..………………..………………………..………………..…………3分
即 ,所以 ,……..………………..………………..………………..
………………..……4分
所以 ,即 ,……..………………..………………..
………………..…5分
所以 .……..………………..……………………..………………..…………6分
学科网（北京）股份有限公司又 ,符合上式,所以 .……..………………..………………..………………..
………………..…………7分
(2)由 ,可得 ,
所以 .……..………………..………………..………………..…………11分
.……..………………..………………..…………15分
17.(1)证明:当 和 重合时,显然符合题意,当 和 不重合时,连接 ,延长 交 于点 ,因为
是正方形,所以 ,又因为 ,所以 ……..………………..…………2分
因为 ,所以 平面 .……..………………..………………..………4分
又 平面 ,所以 ,则 .……..………………..………..…………5分
因为 ,所以 为 的中点,且 为 的角平分线. ……..………………..…6分
所以点 到直线 和 的距离相等.……..………………..…………..…………7分
(2)解:取BC的中点 ,连接 ,所以 ,
所以 为二面角 的平面角, ……..………………..………………..……………………8分
因为二面角 的大小是 ,所以 .……..………………..………………..……9分
过 作平面ABC的垂线,交 于点 ,分别以 的方向为 轴, 轴, 轴的正方向建立空间
直角坐标系,由题可得 ,所以
,…………11分
学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量为 ,
则 即 令 ,则 ,所以 ,
直线AB与平面 所成的角为 ,
则 ,
所以直线AB与平面 所成角的正弦值为 .…..………………..……………….15分
18.(1)解:设 ,则 ,………………..………………..………………..……….3分
两边平方,化简得 ,
故 的方程为 .………………..…………..…………..………………..…………..……….5分
(2)证明:设点 的方程为 ,则 ,因为 ,所以
.………………..……………………………..…………..……….7分
从而直线BD的方程为 .………………..………………..…..…………..……….8分
联立 可得 ,所以 ,则 ,
所以 .………………..……………………………..………………..…………..……….10分
学科网（北京）股份有限公司联立 可得 ,所以 ,则 ,所以
.………………..………………………..………………..…………..……….12分
所以直线CD的斜率为 .……………….……….15分
所以直线CD与直线AC的斜率之比为 .……………..…………………..………….17分
19.解:(1) .……………..……………………..…………..……………..………….1分
当 时, ,所以 在 上单调递减.…..………..…………..………..………..……3分
当 时,令 ,解得 ,所以 在 上单调递减,在 上单调递增...
………..…..……..………..………..………..………..………..……5分
(2)因为 ,所以 .6分由(1)可知 ,……..…………..……8分
令函数 ,
易知 在 上单调递增,在 上单调递减,且 ,
要使得 恒成立,则 ,即 的取值集合为 .……..…………..………..…………..……10分
(3)由 ,可得
.
设函数 ,即 在 和 上存在零点.记 是
的导数, 是 的导数, 是 的导数.
学科网（北京）股份有限公司,
在 上,若 ,则 ,若 ,则 ,矛盾. 分
因此 ,此为必要条件,下证充分性:
在 上, ,
即 先负后正,因此 先减后增,由 ,可知 在区间 上有唯
一零点. ……..…………..…………..…………..……..…………..…………..…………..…………..……15分
在 上, .
由 ,可知 先负后正,因此 先减后增,
,
可知 先负后正, 先减后增.
由 ,可知 先正后负,
因此 先增后减,由 ,
可知 在区间 上有唯一零点,符合题意.
所以 的取值范围为 .……..…………..…………..…………..……………..…………..……17分
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