文档内容
绝密★启用前
河北省 2024 届高三年级大数据应用调研联合测评（V）
数学
班级__________姓名__________
注意事项
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试
卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知 为平面向量，其中 ，则 （ ）
A.1 B.2 C. D.4
3.德国数学家康托尔在其著作《集合论》中给出正交集合的定义：若集合 和 是全集 的子集，且无公共
元素，则称集合 互为正交集合.规定空集是任何集合的正交集合.若全集
，则集合 关于集合 的正交集合 的
个数为（ ）
A.8 B.16 C.32 D.64
4.某小学为提高课后延时服务水平和家长满意度，对该校学生家长就服务质量､课程内容､学生感受､家长认可
度等问题进行随机电话回访.某天共回访5位家长，通话时长和评分情况如下表：
时长 （分钟） 10 12 14 15 19
评分 60 75 90
根据散点图分析得知 与 具有线性相关关系且求得其回归方程为 ，则 （ ）
A.61 B.63 C.65 D.67
学科网（北京）股份有限公司5.已知函数 满足对于任意 都有 .若函数 在区间
上有且仅有一个零点，则 的最大值为（ ）
A.3 B. C. D.5
6.已知 均为正实数，且满足 ，则 的最小值为（ ）
A.2 B. C. D.
7.陀螺是中国传统民俗体育游戏，流传甚广，打陀螺已被列入第五批国家级非物质文化遗产代表性项目名录.
陀螺结构分为上下两部分：上部分为木质件，下部分为球形钢珠.其中木质件的形状为上部是底面半径为
，高为 的圆柱，下部为上底半径为 ，下底半径为 ，高为 的圆台.若陀
螺的木质件由一个球形原料经车床一次性车制而成，那么原料的半径最小为（ ）
A. B. C. D.
8.已知圆 上有一动点 ，圆 上有一动点 ，直线
上有一动点 ，直线 与圆 相切，直线 与圆 相切，则 的最小值为（ ）
A.4 B.5 C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知 ，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
10.双曲抛物面又称马鞍面，其形似马具中的马鞍表面而得名.其在力学､建筑学､美学中有着广泛的应用.在空
间直角坐标系中，将一条 平面内开口向上的抛物线沿着另一条 平面内开口向下的抛物线滑动（两条
抛物线的顶点重合）所形成的就是马鞍面，其坐标原点被称为马鞍面的鞍点，其标准方程为
，则下列说法正确的是（ ）
A.用平行于 平面的面截马鞍面，所得轨迹为双曲线
B.用法向量为 的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
C.用垂直于 轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线
D.用过原点且法向量为 的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
11.已知函数 是定义在 上的连续可导函数，且满足① ；②
为奇函数，令 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图象关于 对称
B.
C.
D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.第14题第一空2分，第二空3分.
学科网（北京）股份有限公司12.已知 ，则 __________.
13.已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，点 为第一象限内椭圆上一点， 的内
心为 ，且 ，则椭圆的离心率为__________.
14.已知数列 满足 ，且 ，则 __________；令 ，若
的前 项和为 ，则 __________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围.
16.（本小题满分15分）已知双曲线 的右焦点 到一条渐近线的距离为1，且双
曲线左支上任意一点 到 的距离的最小值为 .
（1）求双曲线 的方程；
（2）已知直线 交 于 两点， 为坐标原点，若 ，求直线 的斜率 的值.
17.（本小题满分15分）已知在多面体 中，平面 平面 ，四边形 为梯形，
且 ，四边形 为矩形，其中 和 分别为 和 的中点，
.
学科网（北京）股份有限公司（1）证明：平面 平面 ；
（2）若二面角 的余弦值为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
18.（本小题满分17分）现有红､绿､蓝三种颜色的箱子，其中红箱中有4个红球，2个绿球，2个蓝球；绿箱
中有2个红球，4个绿球，2个蓝球；蓝箱中有2个红球，2个绿球，4个蓝球.所有球的大小､形状､质量完全
相同.第一次从红箱中随机抽取一球，记录颜色后将球放回去；第二次要从与第一次记录颜色相同的箱子中随
机抽取一球，记录颜色后将球放回去；以此类推，第k+1次是从与第k次记录颜色相同的箱子中随机抽取一
球，记录颜色后放回去.记第 次取出的球是红球的概率为 ，
（1）求第3次取出的球是蓝球的概率；
（2）求 的解析式
19.（本小题满分17分）设 为非负整数， 为正整数，若 和 被 除得的余数相同，则称 和 对模
同余，记为 .
（1）求证： ；
（2）若 是素数， 为不能被 整除的正整数，则 ，这个定理称之为费马小定理.应用费马
小定理解决下列问题：
①证明：对于任意整数 都有 ；
②求方程 的正整数解的个数.
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数学参考答案及解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B B C A B A D ACD AB ABD
1.【答案】B
【解析】由 ，得 ，所以 ，故选B，
2.【答案】B
【解析】由 可知 ，故选
B.
3.【答案】B
学科网（北京）股份有限公司【解析】集合 互为正交集合说明集合 没有公共元素，由已知可得 ，
集合 满足 ，故集合 有 种可能，故选B.
4.【答案】C
【解析】由已知得 ，将点 代入回归方程，即 ，解
得 ，故选C.
5.【答案】A
【解析】由题意可知函数 的图象关于直线 对称，且 ，设 的最小正周期为 ，
则函数 在区间 上有且仅有一个零点当且仅当 ，即 ，所以
，所以 的最大值为3.故选A.
6.【答案】B
【解析】由 ，得 ，所以
，又 ，当且仅当 即
时取等号.所以 ，故选B.
7.【答案】A
【解析】由题意可知当本质件几何体内接于球形原料时，所用原料的半径最小，此时取几何体的轴截面，
得到如图所示的图形.则 ，设外，
学科网（北京）股份有限公司接球半径为 因为 ，所以 由①-②得
代入①得 ，故选A.
8.【答案】D
【解析】由已知得 ，设直线 上动点 ，则
，则
.设 ，则
，当且仅当 三点共线时取等号，故选 .
9.【答案】ACD
【解析】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，故A正确；
因为 ，所以 ，故B错误；
故
学科网（北京）股份有限公司C正确；
，① ，②
①+②得 ，②-①得 ，
上述两式相除即可得 ，则 ，故D正确.故选ACD.
10.【答案】AB
【解析】平行于 平面的面中 为常数，不妨设为 ，得 ，故所得轨迹是双曲线，
正确；法向量为 的平面中 为常数，不妨设为 ，则 ，为抛物线方程，故B
正确；垂直于 轴的平面中 为常数，不妨设为 ，则 ，为抛物线方程，故 不正确；
设平面上的点坐标为 ，因为平面过原点且法向量为 ，由 ，得 ，故
，代入马鞍面标准方程，得 ，当 时，方程为 ，不是抛物线.故 不正
确.故选AB.
11.【答案】ABD
【解析】由 ，则 ，所以
.所以 .所以 的图象
关于 对称.又因为 是奇函数.故 为奇函数.所以 为周期为4的周期函数.
对于 .由上面分析得 的图象关于 对称.A正确：对于B.因为 的图象关于 对称.故
.因为 .故 .B正确：对于
，故 .C错误.对于D.因为 为周期为4的
学科网（北京）股份有限公司奇函数.故 为周期为4的偶函数， ，故
，D正确.故选ABD.
12.【答案】72
【解析】【解析】 的展开式的通项为 ，则 ，
则 .
13.【答案】
【解析】设内切圆 与 轴､ 分别切于点 ，故点 的坐标为 ，则由切线长定理可知
，且内切圆半径 .在 中，
，故 ，所以 的周长为 .由
等面积法可知 .即 ，整
理得 ，解得 或 （合）.由椭圆的定义得 .所以
.所以 .
14.【答案】 （2分） （3分）
【解析】由 ，可得 ，即 .两边取以4为底的对数
得 ，则数列 是以1为首项，2为公比的等比数列.所以
.所以 .由 ，得
，则 ，得
学科网（北京）股份有限公司，故 .所以
.
15.【解】（1） ，
当 时. ，
.
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
即 .
（2）由（1）得 .
因为 .所以由 ，得 ，
所以当 时， 单调递诚；
当 时. 单调递增.
所以 .10分
由 ，得 ，
解得 .
所以实数 的取估范围为 .
学科网（北京）股份有限公司16.【解】（1）双曲线 的一条渐近线方程为 ，故右焦点 到直线
的距离为 .所以 .
由题意知 .
故
因此双曲线 .
（2）设 .
将了线 与双曲线 的方程联立得 ，
消去 整理得 ，
解得 ，且 ，
.
解得 ，满足题意.
所以 .
17.【解】（1）证明： 四边形 为矩形， ，又 平面 平面 .平面
平面 平面 .
在 边上取点 ，使 ，连接 ，又 四边形 为平行四边形
学科网（北京）股份有限公司.
在 中， ，由余弦定理知. ，故
.过点 作 于 ，在Rt 中. .
.故 .
以 所在组线分别为 轴､ 轴､ 轴，建立如图所示空间直角坐标系，所以 ，
.
又 平面 ，又 平面 ，
平面 平面 .
（2）平面 的一个法向量为 ，
设 ，则 ，
设平面 的法向量为 .
则 即 .取 .则 .
平面 的一个法向量为 .
设二面角 的平面角为 .
学科网（北京）股份有限公司则 ，解得 .
平面 的一个法向量为 ，
.
设 与平面 所成角为 .
则 .
18.【解】（1）设第 次取出的球是绿球､蓝球的概率分别为 .
显然 .
则 .
故 .
（2）由上述规律可知
将②-③得 .
.
代入①得 ，
学科网（北京）股份有限公司又 ，
.
，
又 ，
数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
，
.
19.【解】（1）证明：因为 ，
所以 被7除所得的余数为1，
所以 被7除所得的余数为2，
又65被7除所得的余数为2.
所以 .
（2）①证明：由费马小定理得 ，
又 ，
所以 ，
同理： ，
因为 都为素数. ，
学科网（北京）股份有限公司所以 .
②易得 ，
由费马小定理知道对于任意正整数 都有 ，
即 .
，
由费马小定理知道对于任意正整数 都有 ，
即 .
因为5和7互为质数.所以对于任意的正整数 都有 .
于是方程 的正整数解的个数为35.
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