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海南省 2023—2024 学年高三学业水平诊断（三）
数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答
题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知复数 在复平面内对应的点为 ，则 （ ）
A. B.3 C. D.5
2.在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3.某机构统计了1000名演员的学历情况，制作出如图所示的饼状图，其中本科学历的人数为630.现按比例用
分层随机抽样的方法从中抽取200人，则抽取的硕士学历的人数为（ ）
A.11 B.13 C.22 D.26
4.已知等比数列 的公比为 ，则 （ ）
A.20 B.24 C.28 D.32
5.已知 ，且 ，则 （ ）A. B. C. D.
6.当飞机超音速飞行时，声波会形成一个以飞机前端为顶点，飞机的飞行方向为轴的圆锥（如图），称为
“马赫锥”.马赫锥的轴截面顶角 与飞机的速度 ､音速 满足关系式 .若一架飞机以2倍音速沿直
线飞行，则该飞机形成的马赫锥在距离顶点 处的截面圆面积为（ ）
A. B. C. D.
7.已知正实数 满足 ，则（ ）
A. B.
C. D.
8.已知 是抛物线 的焦点，过 且倾斜角为 的直线 与 交于 两点，与 的准
线交于点 （点 在线段 上）， ，则 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在平面直角坐标系 中，已知点 是一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A.若 ，则点 的轨迹为椭圆
B.若 ，则点 的轨迹为双曲线
C.若 ，则点 的轨迹为一条直线
D.若 ，则点 的轨迹为圆10.已知函数 的一个最大值点为 ，与之相邻的一个零点为 ，则（ ）
A. 的最小正周期为 B. 为奇函数
C. 在 上单调递增 D. 在 上的值域为
11.在正方体 中，点 满足 ，其中 ，则下列说法正确
的是（ ）
A.若 在同一球面上，则
B.若 平面 ，则
C.若点 到 四点的距离相等，则
D.若 平面 ，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知集合 ，若 ，则 __________.
13. 的展开式中 的系数为__________.
14.已知函数 若 对任意 恒成立，则 __________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知数列 的前 项和为 .
（1）求 ；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
16.（15分）
如图，已知四棱锥 的体积为 平面 ，四边形 为矩形， 为棱 的中点，且 的面积为 .
（1）求点 到平面 的距离；
（2）若 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值.
17.（15分）
如果一双曲线的实轴及虚轴分别为另一双曲线的虚轴及实轴，则这两双曲线互为“共轭双曲线”.已知双曲线
的共轭双曲线 的离心率为 .
（1）求 的方程；
（2）若直线 与 的右支交于 两点，且以线段 为直径的圆与 轴相切，求 的值.
18.（17分）
某学校有甲､乙､丙三名保安，每天由其中一人管理停车场，相邻两天管理停车场的人不相同.若某天是甲管理
停车场，则下一天有 的概率是乙管理停车场；若某天是乙管理停车场，则下一天有 的概率是丙管理停车
场；若某天是丙管理停车场，则下一天有 的概率是甲管理停车场.已知今年第1天管理停车场的是甲.
（1）求第4天是甲管理停车场的概率；
（2）求第 天是甲管理停车场的概率；
（3）设今年甲､乙､丙管理停车场的天数分别为 ，判断 的大小关系.（给出结论
即可，不需要说明理由）
19.（17分）
已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若不等式 对任意 恒成立，求 的取值范围.海南省 2023—2024 学年高三学业水平诊断（三）
数学·答案
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1.答案C
命题意图本题考查复数的相关概念.
解析由题知 .
2.答案A
命题意图本题考查正弦定理的应用.
解析由正弦定理得 .
3.答案D
命题意图本题考查分层随机抽样的概念.
解析由题知，样本中本科学历占比为 ，硕士学历占比为
，故抽取的硕士学历的人数为 .
4.答案D
命题意图本题考查等比数列的基本性质.
解析由题意知 ，所以 .
5.答案A
命题意图本题考查同角三角函数的基本关系与三角恒等变换.
解析 ，又，
.
6.答案B
命题意图本题考查圆锥的结构特征.
解析由条件知 ，则 ，则该飞机形成的马赫锥在距离顶点 处的截面圆半
径为 ，截面圆面积为 .
7.答案D
命题意图本题考查指数函数､对数函数的图象与性质.
解析在同一平面直角坐标系中作出 的图象，由图得 .
8.答案C
命题意图本题考查抛物线与直线的位置关系.
解析如图，分别过点 作抛物线准线的垂线，垂足分别为 ，分别过点 作
，垂足分别为 ，设 交 轴于点 ，准线与 轴交于点 .由题知
的倾斜角为 ，则 ，
又 .二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的
得部分分，有选错的得0分.
9.答案BCD
命题意图本题考查曲线与方程.
解析对于 ，则点 的轨迹为线段 ，故A错误；
对于 ，则点 的轨迹是双曲线，故B正确；
对于 ，设 ，由 ，可得 ，化简得 ，表示一
条直线，故C正确；
对于 ，由 ，可得 ，则点 的轨迹是以 为直径的圆，故 正确.
10.答案BC
命题意图本题考查三角函数的性质.
解析设最小正周期为 ，则 ，故A错误.不妨令 ，则 .再由五
点法知 ，此函数为奇
函数，故B正确.当 时， ，由余弦函数的性质知C正确.当 时，
，故D错误.
11.答案ABD
命题意图本题考查空间位置关系的判断.
解析由题意知点 在线段 上（不包含 点）.对于A，若 在同一球面上，则此球为正方体的外接球，所以 与 重合，所以 ，故A正
确；
对于 ，如图（1），设 的中点为 ，则平面 与平面 的交线为直线 ，要使 平
面 ，则需 ，则 为 的中点，此时 ，故B正确；
对于 ，点 到 四点的距离相等，则 为正方体外接球的球心，即 的中点，此时 ，故
错误；
对于 ，如图（2），设正方形 的中心为 ，连接 与 交于点 ，在对角面 内，易知
是 上靠近 的三等分点，且 ，若 平面 ，则 ，由对称性易知
，则 ，从而 是 的靠近 的三等分点，此时 ，故D正确.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.答案2
命题意图本题考查集合的关系.
解析因为 ，所以 ，则 ，且 ，所以 .
13.答案-480
命题意图本题考查二项式定理的应用.
解析由题知可将 看成6个 相乘，先从6个因式中选2个因式取 ，有 种不同的取
法，再从剩余4个因式中选3个因式取 ，则 的系数为 ，最后1个因式取1，所以 的系数
为 .
14.答案
命题意图本题考查函数性质的综合应用.解析由题知 在区间 上单调递增，在 上单调递减.注意到 ，因此若
对任意 恒成立，则 ，即 对任意
恒成立.由于 在区间 上单调递增，且值域为 在区间 上单调递减，
且值域为 ，因此 对 恒成立时 .
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.命题意图本题考查数列的通项公式与求和.
解析（1）当 时， ，
当 时， ，
.
（2）由（1）知 ，
，①
，②
①-②得，
，
.
16.命题意图本题考查空间中的位置关系以及空间向量的应用.
解析（1）因为 为 的中点，所以点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，
又四边形 是矩形，所以 ，从而 .设点 到平面 的距离为 ，则 ，得 ，
因此点 到平面 的距离为 .
（2）因为四边形 为矩形， 为 的中点，所以 .
因为 平面 ，所以 ，又 ，所以 平面 ，所以
.
即 是等腰直角三角形.
设 ，则 .
由条件知 解得
如图，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴､ 轴､ 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
所以 .
设 是平面 的法向量
则 可取 .
平面 的一个法向量为 .
，所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
17.命题意图本题考查双曲线与直线的位置关系.
解析（1）由题可得 ，
因为 的离心率为 ，所以 ，得 ，
所以 的方程为 .
（2） 过 的右顶点 ，不妨设 ，由 的方程可得其渐近线方程为 ，因为
均在 的右支上，所以 或 .
由 得 ，
所以 .
，
以线段 为直径的圆的圆心横坐标为 ，半径为 ，
由题意知 ，
整理得 ，
解得 （负值舍去）.
18.命题意图本题考查全概率公式的应用，以及数列与概率的综合问题.
解析（1）由题意，前4天管理停车场的顺序为“甲乙丙甲”或“甲丙乙甲”，
所以 .（2）设事件 表示“第 天甲管理停车场”，事件 表示“第 天乙管理停车场”，事件 表示“第
天丙管理停车场”，记 ，则 .
由题意知 ，
当 时， ，
即 ，
整理得 ，
所以 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，故 ，
即第 天是甲管理停车场的概率为 .
（3） .
19.命题意图本题考查利用导数研究函数性质.
解析（1） .
当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增.
当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）不等式 对任意 恒成立，即 对任意 恒成立.
令 ，则 .设 ，则 .
当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以当 时， .
①若 ，当 时， 在 上单调递增，
则 ，所以 ，所以
②若 ，则 ，又当 时， ，所以 ，使得
，即 .
当 时， 在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递增，
则 ，
所以 ，所以 .
由 ，令函数 ，则当 时， ，
所以 ，所以 .
综上，实数 的取值范围是 .
