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海南省 2023－2024 学年高三学业水平诊断（五）数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴
在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试
卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知向量 ，若 ，则 （ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
2．已知复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知等比数列 的公比不为1，若 ，且 成等差数列，则 （ ）
A． B． C． D．
4．在 的展开式中， 的系数为（ ）
A．30 B．20 C．10 D．－10
5．在 中， 的平分线与对边 交于点 ，若 的面积为 的2倍，且
，则 （ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
6．在高二选科前，高一某班班主任对该班同学的选科意向进行了调查统计，根据统计数据发现：选物理
的同学占全班同学的80%，同时选物理和化学的同学占全班同学的60%，且该班同学选物理和选化学相互
独立．现从该班级中随机抽取一名同学，则该同学既不选物理也不选化学的概率为（ ）
A．0.125 B．0.1 C．0.075 D．0.05
7．如图，在直三棱柱 中，点D，E分别在棱 上，
，点 满足 ，若 平面 ，则 的值为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， 为
右支上的一点，满足 ，以点 为圆心、 为半径的圆与线段 相交于A，B两点，且
，则 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若正实数a，b满足 ，则（ ）
A． 的最小值为 B． 的最大值为1
C． 的最小值为 D． 的取值范围为
10．已知抛物线 的焦点为F，C上一点 到 和到 轴的距离分别为12和10，且点
位于第一象限，以线段 为直径的圆记为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 的准线方程为
C．圆 的标准方程为
D．若过点 ，且与直线 为坐标原点）平行的直线 与圆 相交于A，B两点，则
学科网（北京）股份有限公司11．在四面体 中， 都是边长为6的正三角形，棱 与平面 所成角的余弦值
为 ，球 与该四面体各棱都相切，则（ ）
A．四面体 为正四面体
B．四面体 的外接球的体积为
C．球 的表面积为
D．球 被四面体 的表面所截得的各截面圆的周长之和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若定义在 上的奇函数 满足：当 时， ，则 ______．
13．如图是某质点做简谐运动的部分图像，该质点的振幅为2，位移 与时间 满足函数
，点 在该函数的图象上，且位置如图所示，
则 ______．
14．若对任意的 ，不等式 恒成立，则 的最大整数值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数 ．
（I）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（II）若函数 为 的导函数），讨论 的单调性．
16．（15分）
学科网（北京）股份有限公司某大型公司进行了新员工的招聘，共有来自全国各地的10000人参加应聘．招聘分为初试与复试．初试为
笔试，已知应聘者的初试成绩 ．复试为闯关制：共有三关，前两关中的每一关最多可闯两
次，只要有一次通过，就进入下一关，否则闯关失败；第三关必须一次性通过，否则闯关失败．若初试通
过后，复试三关也都通过，则应聘成功．
（I）估计10000名应聘者中初试成绩位于区间 内的人数；
（II）若小王已通过初试，在复试时每次通过第一关、第二关及第三关的概率分别为 ， ，且每次闯
关是否通过不受前面闯关情况的影响，求小王应聘成功的概率 ．
附：若随机变量 ，则
．
17．（15分）
如图，已知线段 为圆柱 的三条母线，AB为底面圆 的一条直径， 是母线 的中点，
且 ．
（I）求证： 平面DOC；
（Ⅱ）求平面 与平面 的夹角的余弦值．
18．（17分）
已知椭圆 的离心率为 ，斜率为 且在 轴上的截距为1的动直线 与 交
于 两点，当 时，直线 过 的右顶点．
（I）求 的方程；
（II）设 为线段AB的中点，过 作直线交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ， 的面积
学科网（北京）股份有限公司分别记为 ，若 ，求 的取值范围．
19．（17分）
已知数列 的各项均为正整数，记集合 的元素个数为 ．
（I）若 为1，2，3，6，写出集合 ，并求 的值；
（II）若 为1，3，a，b，且 ，求 和集合 ；
（III）若 是递增数列，且项数为 ，证明：“ ”的充要条件是“ 为等比数列”．
学科网（北京）股份有限公司海南省 2023～2024 学年高三学业水平诊断（五）
数学・答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．B 2．A 3．C 4．C 5．A 6．D 7．C 8．D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分．
9．BC 10．ACD 11．ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．－1 13． 14．2
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解析（I）当 时， ，所以 ，
所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
（II）因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ．
①若 ，则 ，所以 在 上单调递减；
②若 ，则当 时， ，所以 在 上单调递增，当 时，
，所以 在 上单调递减．综上，当 时， 在 上单调递减；当
时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
16．解析（I）因为 ，
所以 ．
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，
估计10000名应聘者中初试成绩位于 内的人数为 ．
（II）设复试时小王通过第一关的概率为 ，通过第二关的概率为 ，通过第三关的概率为 ．
由题意可得 ，
所以小王应聘成功的概率 ．
17．解析（I）连接 ．因为 为底面圆 的直径，所以 为 的中点， ．
又因为 ，所以 ．
由圆柱的性质知 平面 ，而 平面 ，所以 ．
又 ，且 平面 ，所以 平面 ．
因为 平面 ，所以 ．
因为 为母线 的中点，
所以
，所以 ，则 ．
又 平面 ，且 ，所以 平面 ．
（II）连接 ，易知 平面 ，所以以 为坐标原点，
以 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ，
所以 ．
设平面 的法向量为 ，
则 令 ，得 ．
学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量为 ，则
令 ，得 ．设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，故平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．
18．解析（I）设 的半焦距为 ，当 时，
直线 的方程为 ，令 ，得 ，所以 ．
又 的离心率为 ，所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ，故 的方程为 ．
（II）由题可知直线 的方程为 ，设 ．
联立 消去 并整理，得 ，
则 ，
，
所以 ，则线段 的中点 的坐标为 ．
学科网（北京）股份有限公司对于直线 ，令 ，可得 ，
所以 ，
所以 ．
令 ，则 ，
而 ，所以 在 上单调递增，所以 ，
故 的取值范围为 ．
19．解析（I）因为 ，
所以集合 ．
（II）因为 为 ，且 ，所以 互不相等，
所以 都是集合 中的元素．因为 ，所以 ，解得 ，
所以 为 ，所以 ．
（III）充分性：若 是递增的等比数列，设 的公比为 ，当 时， ，
所以 ，且 ，故充分性成立．
学科网（北京）股份有限公司必要性：若 是递增数列，且 ，则 ，
所以 ，且互不相等，又因为 ，
所以 ，且 互不相等，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 为等比数列，故必要性成立．
综上，“ ”的充要条件是“ 为等比数列”．
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