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武昌区 2024 届高三年级 5 月质量检测
数学
本试题共19题，满分150分，考试用时120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的除法和共轭复数的概念即可得到答案.
【详解】 ，
则 ，则其虚部为 ，
故选：D.
2. 已知二项式 展开式的二项式系数的和为64，则 （ ）
A. B.
C. 展开式的常数项为 D. 的展开式中各项系数的和为1
【答案】D
【解析】
【分析】根据二项式系数和可得n，化简通项公式，由x的指数为0求出k，然后可得常数项，再令
即可判断D.
【详解】由题可知， ，则 .则AB错误；
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学科网（北京）股份有限公司展开式中的第 项为 .
令 ，得 ，则 ，故C错误；
令 得 ，则 的展开式中各项系数的和为1，
故选：D.
3. 已知 ，向量 ，且 ，则 在 上的投影向量为（ ）
A. B. 5 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】借助向量垂直可得 ，结合投影向量定义计算即可得解.
【详解】由 ，则有 ，即 ，
则 ，故 .
故选：C.
4. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A. 288 B. 144 C. 96 D. 25
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列的前 项和列方程组求出 ，进而即可求解 .
【详解】由题意 ，即 ，解得 .
于是 .
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学科网（北京）股份有限公司故选：B.
5. 已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】消去绝对值可得函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可得.
【详解】由 ，故 在 上单调递增，
由 ，有 ，即 .
故选：A.
6. 灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一
种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球
面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺
的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为 ，其中 是
球的半径， 是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4 cm，圆柱的底面圆直径为24 cm，则该灯
笼的体积为（取 ）（ ）
A. cm3 B. 33664 cm3 C. 33792 cm3 D. 35456 cm3
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由勾股定理求出 ，则可得 ，分别求出两个圆柱的体积、灯笼中间完整的球的体积与球缺的体
积即可得..
【详解】该灯笼去掉圆柱部分的高为 cm，则 cm，
由圆柱的底面圆直径为24 cm，则有 ，
即 ，可得 ，则 ，
.
故选：B.
7. 已知抛物线 的焦点为 ，过 作直线交抛物线 于 两点，过 分别作准
线 的垂线，垂足分别为 ，若 和 的面积分别为8和4，则 的面积为（ ）
A. 32 B. 16 C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】设直线 代入抛物线方程，利用韦达定理，计算 ，相乘化简可得
，由三角形面积公式可得 .
【详解】设直线 ，
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学科网（北京）股份有限公司代入抛物线方程，消元可得 ，
设 ，则 ，
，
，
，
于是 ，即 ，
.
故选：C.
8. 设 ，则（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【解析】
【分析】本题利用作差法构造出两个式子相减类型的函数，然后求导求得其在 上的单调性，从而
求得该函数是大于0还是小于0，从而可判断a、b的大小关系；用同样的方法进一步构造函数并求导来比
较a、c的大小关系，最终确定a、b、c的大小关系.
【详解】令 ，易求 ，
当 时， ，所以 在 单调递增，
所以 ，所以 ，即 ，所以 .
令 ，
则 ，
令 ，则 ，
因为 ，则，
可得 ，则 ，
所以 在 内单调递增，则 ，
即 在 内恒成立，则 在 内单调递增，
可得 ，即 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司综上所述：
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是合理构造函数，利用导数研究其单调性，然后再代入比较相关大小关
系.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
的
A. 将一组数据 每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同
B. 线性回归直线 一定过样本点中心
C. 线性相关系数 越大，两个变量的线性相关性越强
D. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
【答案】ABD
【解析】
【分析】借助方差的性质、样本点中心的性质、线性相关系数的性质与残差的性质逐项判断即可得.
【详解】对A：由方差的性质可知，将一组数据的每一个数减去同一个数后，
新数据的方差与原数据方差相同，故A正确；
对B：由 ，故线性回归直线 一定过样本点中心 ，故B正确；
对C：线性相关系数 越大，两个变量的线性相关性越强，故C错误；
对D：在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，
其模型的拟合效果越好，故D正确.
故选：ABD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 的最小值为2
C. D. 的最小值为2
【答案】AD
【解析】
【分析】利用不等式的性质及基本不等式，以此判断选项即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A，若 ，则 ，A正确;
对于B， 或 ，因为 不知道和 的大小关系，B错误；
对于C，若 ，则 ，而
，但是 与 的大小不能确定，故C错误；
对于D， ，当且仅当 ，即 取等号，D正确.
故选：AD
11. 已知无穷数列 中， 是以10为首项，以 为公差的等差数列， 是
以 为首项，以 为公式的等比数列 ，对一切正整数 ，都有 .设数列 的
前 项和为 ，则（ ）
.
A 当 时， B. 当 时，
C. 当 时， D. 不存在 ，使得 成立
【答案】ABD
【解析】
【分析】由等差等比数列的通项和数列为周期数列，当 时， 求值判断选项A； 和4是等
差数列中的项，求出项数 n，根据数列为周期数列，周期为 ，解出 m 的值判断选项 BC；若
， 有 ， 设 ，
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学科网（北京）股份有限公司，由 ， ，可得结论判断选项D.
【详解】等差数列通项公式： ， 且 ，
等比数列通项公式： ， 且 ，
对一切正整数 ，都有 ，∴数列为周期数列，周期为 ，
当 时， ，A选项正确；
当 时，由题意知， 是等差数列中的项，在等差数列中，令 ，得 ，
对一切正整数 ，都有 ，则有 ，
解得 ，B选项正确；
当 时，由题意知， 是等差数列中的项，在等差数列中，令 ，得 ，
对一切正整数 ，都有 ，则有 ，
得 ，方程有多组解，如 等等，C选项错误；
，
若 ，
则有 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，函数图象抛物线对称轴 ，
所以 在 或 时取最大值 ，
令 ，则 ，
所以 不可能成立，
即不存在 ，使得 ，D选项正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：数列中涉及到的的递推思想、函数思想、分类讨论思想以及数列求和、求通项公式
的各种方法和技巧贯穿与整个高中数学之中，本题的关键条件是：数列为周期数列，周期为 ，其中前
项构成等差数列，通项公式 ，第 项到第 项构成等比数列，通项公式为
，而 和4是等差数列中的项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为____________.
【答案】
【解析】
【分析】借助函数定义域的定义计算即可得.
【详解】由函数 的定义域为 ，则有 ，
令 ，解得 .
故答案为： .
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学科网（北京）股份有限公司13. 函数 的部分图象如图所示，则 ____________.
【答案】
【解析】
【分析】令 ，解出 ，根据图中零点得到方程解出即可.
【详解】令 ，则 ，
根据图象得 为函数零点，零点左右函数为上升趋势，
则 ，
则 ，因为 ，则 ， ，
故答案为： .
14. 已知动点 的轨迹方程为 ，其中 ，则
的最小值为______________.
【答案】 ##
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【 分 析 】 令 ， 由 ， ， 转 化 为
，进行求解.
【详解】令 ，则 且 ，
则
，当且仅当 取等号.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
（1）求 ；
（2）已知 ，求 的最大值.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理进行边换角，再通过三角恒等变换得 ，则得到 的大小；
（2）利用正弦定理得到 ，再根据 关系减少变量，最后利用三角恒等变换和
三角函数的值域即可得到最大值.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
由正弦定理得 ，
，即 ，
所以 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ；
【小问2详解】
由正弦定理，得 ，
∴
，
又∵ ， 为锐角，∴ 最大值为 ，
∴ 的最大值为 .
16. 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ，
.
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学科网（北京）股份有限公司（1）证明： ；
（2）若 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，通过证明 ，得到 ，在结合面面垂
直、线面垂直的性质即可得证；
（2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，结合向量夹角的余弦公式即可得解.
【小问1详解】
的
如图，取 中点 ，连接 ，
因为 ，
所以四边形 为平行四边形.
因为 ，所以四边形 为菱形，
所以 ，即点 在以 为直径的圆上，所以 .
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学科网（北京）股份有限公司因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面
因为 平面 ，所以 .
【小问2详解】
由（1）可知 平面 ，
因为 ，取 中点为 ，连 ，所以 .
因为 ， 为 中点，所以 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ，
所以 两两互相垂直，
的
以点 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立如图所示 空间直角坐标系，则
，
所以 .
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学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量为 ，
由 得 ，
取 ，得 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，由 得 ，
取 ，得 ，则 ，
所以 .
设平面 与平面 的夹角为 ，则 .
所以，平面 与平面 夹角的余弦值为 .
17. 已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有两个零点，求 的取值范围.
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】
【分析】（1）将函数求导后，对 分成 两种情况，讨论函数的单调性.（2）结合（1）的结论，
当 时函数在定义域上递减，至多只有一个零点，不符合题意.当 时，利用函数 的最小值小
于零，求得 的取值范围，并验证此时函数有两个零点，由此求得 点的取值范围.
【详解】（1）
若 ， ， 在 上单调递减；
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学科网（北京）股份有限公司若 ，当 时， ，即 在 上单调递减，
当 时， ，即 在 上单调递增.
（2）若 ， 在 上单调递减，
至多一个零点，不符合题意.
若 ，由（1）可知， 的最小值为
令 ， ，所以 在 上单调递增，
又 ，当 时， ， 至多一个零点，不符合题意，
当 时，
又因为 ，结合单调性可知 在 有一个零点
令 ， ，当 时， 单调递减，当 时， 单
调递增， 的最小值为 ，所以
当 时，
结合单调性可知 在 有一个零点
综上所述，若 有两个零点， 的范围是
【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求解有关零点个数的问题，考查分类
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学科网（北京）股份有限公司讨论的思想方法，考查分析和解决问题的能力，属于中档题.在求解有关利用导数求函数单调区间的问题中，
导函数往往含有参数，此时就要对参数进行分类讨论.函数零点个数问题，往往转化为函数最值来解决.
18. 已知点 是圆 上的动点， ， 是线段 上一点，且 ，设
点 的轨迹为 .
（1）求轨迹 的方程；
（2）设不过原点的直线 与 交于 两点，且直线 的斜率的乘积为 .平面上一点 满足
，连接 交 于点 （点 在线段 上且不与端点重合）.试问 的面积是否为定值？
若是，求出定值；若不是定值，说明理由.
【答案】（1）
（2）是，
【解析】
【分析】（1）借助椭圆定义计算即可得解；
（2）设 ，代入曲线方程中联立可得 ，结合题
意计算可得 ，设 ，结合点 在曲线 上计算可得 的值，即可得 的面积.
【小问1详解】
因为 ，
所以点 的轨迹是以点 为焦点的椭圆，
设 ，则 ，即 .
由 知 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以点 的轨迹 的方程为 ；
【小问2详解】
设 ，则由 ，得 .
因为点 均在曲线 上，所以 ，
同向相乘得
整理得：
又因为 ，所以 ，
所以 ，
设 ，则 ，
又因为点 在曲线 上，所以 ，
整理得： ，
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学科网（北京）股份有限公司又因为 ， ，
代入上式得： ，即 ，
又因为 ，所以 ，
所以 .
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于计算出 后，利用面积公式得到 ，从而
可通过计算 的值得解.
19. 利用方程的方法可以将无限循环小数化为分数，例如将 化为分数是这样计算的：设 ，则
，即 ，解得 .
这是一种利用方程求解具有无限过程的问题的方法，这种方法在高中计算无限概率、无限期望问题时都有
很好的妙用.
已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，每局比赛的结果互不
影响.规定：净胜 局指的是一方比另一方多胜 局.
（1）如果约定先获得净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率；
（2）如果约定先获得净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜 局.设甲
在净胜 局时，继续比赛甲获胜的概率为 ，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为 ，
期望为 .
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学科网（北京）股份有限公司①求甲获胜的概率 ；
②求 .
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）利用互斥事件的概率及独立重复试验的概率公式，列式计算即得.
（2）①利用全概率公式列出 的关系等式，再利用消元法求出 ；②列出
的关系等式，利用消元法求出 .
【小问1详解】
4局结束比赛时甲获胜，则在前2局甲乙各得一分，并且第3，4局甲胜，概率为 ；
4局结束比赛时乙获胜，则在前2局甲乙各得一分，并且第3，4局乙胜，概率为 ，
所以恰好4局结束比赛的概率 .
【小问2详解】
①在甲在净胜-2局前提下，继续比赛一局：
若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛获胜的概率为 ；
若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，
根据全概率公式， ，同理 ，
由 ，得 ，与 联立消去 ，
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学科网（北京）股份有限公司得 ，又 ，即 ，因此 ，
所以甲获胜的概率为 .
②在甲净胜-2局前提下，继续比赛一局：
若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛至结束，还需要 局，共进行了 局；
若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，共进行了1局，
则 ，即 ，
同理 ，即 ，
，即 ，
，即 ，
，即 ，
联立 与 ，得 ，
联立 与 ，得 ，
代入 ，得 ，
所以 .
【点睛】关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，
相互独立事件的积是解题的关键.
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学科网（北京）股份有限公司第23页/共23页
学科网（北京）股份有限公司
