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武昌区 2024 届高三年级 5 月质量检测
数学
本试题共19题，满分150分，考试用时120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知二项式 展开式的二项式系数的和为64，则 （ ）
A. B.
C. 展开式的常数项为 D. 的展开式中各项系数的和为1
3. 已知 ，向量 ，且 ，则 在 上的投影向量为（ ）
.
A B. 5 C. D.
4. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A. 288 B. 144 C. 96 D. 25
5. 已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
6. 灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一
种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球
面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺
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学科网（北京）股份有限公司的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为 ，其中 是
球的半径， 是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4 cm，圆柱的底面圆直径为24 cm，则该灯
笼的体积为（取 ）（ ）
A. cm3 B. 33664 cm3 C. 33792 cm3 D. 35456 cm3
7. 已知抛物线 的焦点为 ，过 作直线交抛物线 于 两点，过 分别作准
线 的垂线，垂足分别为 ，若 和 的面积分别为8和4，则 的面积为（ ）
A. 32 B. 16 C. D. 8
8. 设 ，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
的
9. 下列说法正确 是（ ）
A. 将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同
B. 线性回归直线 一定过样本点中心
C. 线性相关系数 越大，两个变量的线性相关性越强
的
D. 在残差 散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
10. 下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 若 ，则 B. 的最小值为2
C. D. 的最小值为2
11. 已知无穷数列 中， 是以10为首项，以 为公差的等差数列， 是
以 为首项，以 为公式的等比数列 ，对一切正整数 ，都有 .设数列 的
前 项和为 ，则（ ）
A. 当 时， B. 当 时，
C. 当 时， D. 不存在 ，使得 成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为____________.
13. 函数 的部分图象如图所示，则 ____________.
14. 已知动点 的轨迹方程为 ，其中 ，则
的最小值为______________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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学科网（北京）股份有限公司15. 在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
（1）求 ；
（2）已知 ，求 最的大值.
16. 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ，
.
（1）证明： ；
（2）若 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值.
17. 已知函数 .
的
(1)讨论 单调性；
(2)若 有两个零点，求 的取值范围.
18. 已知点 是圆 上的动点， ， 是线段 上一点，且 ，设
点 的轨迹为 .
（1）求轨迹 的方程；
（2）设不过原点的直线 与 交于 两点，且直线 的斜率的乘积为 .平面上一点 满足
，连接 交 于点 （点 在线段 上且不与端点重合）.试问 的面积是否为定值？
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学科网（北京）股份有限公司若是，求出定值；若不是定值，说明理由.
19. 利用方程的方法可以将无限循环小数化为分数，例如将 化为分数是这样计算的：设 ，则
，即 ，解得 .
这是一种利用方程求解具有无限过程的问题的方法，这种方法在高中计算无限概率、无限期望问题时都有
很好的妙用.
已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，每局比赛的结果互不
影响.规定：净胜 局指的是一方比另一方多胜 局.
（1）如果约定先获得净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率；
（2）如果约定先获得净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜 局.设甲
在净胜 局时，继续比赛甲获胜的概率为 ，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为 ，
期望为 .
①求甲获胜的概率 ；
②求 .
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