文档内容
2024-2025 学年第一学期六校联合体 10 月联合调研
高三数学
2024.10.22
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡
上．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x| x2－2x－8＜0}，B＝{x| x≤4 }，则“x∈A”是“x∈B”
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
－
2－i
2．若复数z满足z ＝ ，则|z|＝
3＋i
5 10 2 1
A． B． C． D．
10 2 2 2
3．甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好
只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为
A．6 B．12 C． 18 D． 24
4．已知等比数列{a }满足a a a ＝64，则a a ＋a a 的最小值为
n 4 5 6 2 4 6 8
A．48 B．32 C．24 D．8
－ 1 x3＋ax2－a－4(x≥0)
5．已知函数 f(x)＝ 3 在R上单调，则实数a的取值范围为
ax－sinx(x＜0)
A．(－∞，－1) B．(－∞，－1] C．[－4，－1) D．[－4，－1]
x2 y2
6．已知圆(x－2)2＋y2＝1与双曲线 － ＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线交于A，B两点，且
a2 b2
|AB|＝1，则该双曲线的离心率为
2 13 4 13
A．2 B． 13 C． D．
13 13
7．已知函数f(x)＝(x－4)3 cosωx(ω＞0)，存在常数a∈R，使f(x＋a)为偶函数，则ω的最小
值为
π π π π
A．12 B．8 C．4 D． 2
8．已知 2024m＝2025，2023m＝x＋2024 ，2025m＝y＋2026，则
A．0＜x＜y B．x＜y＜0 C．y＜x＜0 D．x＜0＜y
1
{#{QQABIQAAggCgAhBAAAhCQQ2ACkOQkhCCCSgOAAAIMAAASBFABAA=}#}二.多项选择题：本题共 3小题，每小题 6 分，共 18分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0
分.
9．下列说法中正确的是
A．若随机变量X~B(10，p)，且E(X)＝3，则D(X)＝2.1
B．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，
7，9，5，这组数据的75百分位数为7
1
C．若随机变量ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ＞3)＝P(ξ＜－1)＝p，则P(1≤ξ≤3)＝ －p
2
^ － － 4
D．若变量y关于变量x的线性回归方程为y＝x＋t，且x＝4，y＝2t，则t＝
3
10．已知棱长为 4 的正方体 ABCD－A B C D ，球 O 是该正方体的内切球，E，F，P 分别
1 1 1 1
是棱AA ，BC，C D 的中点，M是正方形BCC B 的中心，则
1 1 1 1 1
π
A．球O与该正方体的表面积之比为
6
B．直线EF与OM所成的角的正切值为 2
C．直线EP被球O截得的线段的长度为2 2
D．球O的球面与平面APM的交线长为4π
11．已知函数 f(x)＝x3＋mx＋1，则
A．当m＝－1时，过点(2，2)可作3条直线与函数f(x)的图象相切
B．对任意实数m，函数 f(x)的图象都关于(0，1)对称
3
C．若f(x)存在极值点 x ，当 f(x )＝f(x )且 x ≠x ，则 x ＋ x ＝0
0 1 0 1 0 1 2 0
D．若有唯一正方形使其4个顶点都在函数f(x)的图象上，则m＝－2 2
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分.
12．已知向量a，b满足a＋b＝(2，1)，a－b＝(－2，4)，则|a|－|b|＝_______．
13．某个软件公司对软件进行升级， 将序列A＝(a ，a ，a ，···)升级为新序列A*＝(a －
1 2 3 2
a ，a －a ，a －a ，···)， A*中的第n项为a －a ， 若(A*)*的所有项都是3，且a ＝11，
1 3 2 4 3 n+1 n 4
a ＝18，则a ＝_______．
5 1
14．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点D(－1，0)的直线l在第一象限与C交于A，B
两点，且BF为∠AFD的平分线，则直线l的方程为_______．
2
{#{QQABIQAAggCgAhBAAAhCQQ2ACkOQkhCCCSgOAAAIMAAASBFABAA=}#}四､解答题：本题共 5 小题，共 77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步
骤.
15．（本题满分13分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，AB⊥AD，PA＝PD，
AB＝2，AD＝8，AC＝CD＝5
(1)求证：平面PCD⊥平面PAB；
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
16．（本题满分15分）
已知△ABC的角A，B，C对的边分别为a，b，c，2bcosA＝2c－ 3a
(1)求B；
→ →
(2)若cosA＝sinC－1，CA＝4CD，BD＝ 37，求△ABC的面积．
17．（本题满分15分）
某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进
行对话．聊天机器人的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果
输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，它的回
答被采纳的概率为40%．
(1)在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个问题中抽
取4个，以X表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X的分布列和数学期望；
(2)设输入的问题出现语法错误的概率为p，若聊天机器人的回答被采纳的概率为70%，求p
的值．
3
{#{QQABIQAAggCgAhBAAAhCQQ2ACkOQkhCCCSgOAAAIMAAASBFABAA=}#}18．（本题满分17分）
已知 f(x)＝ln(x＋1)
(1) 设h(x)＝x f(x－1)，求 h(x)的极值．
(2) 若 f(x)≤ax在[0，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．
(3) 若存在常数M，使得对任意x∈I，f(x)≤M恒成立，则称f(x)在I上有上界M，函数f(x)
称为有上界函数．如 y＝ex是在 R 上没有上界的函数， y＝lnx 是在(0，＋∞)上没有上界的
1 1 1
函数；y＝－ex，y＝－x2都是在R上有上界的函数．若g(n)＝1＋ ＋ ＋···＋ (n∈N*)，则
2 3 n
g(n)是否在N *上有上界? 若有，求出上界；若没有，给出证明．
19．（本题满分17分）
x2 y2
已知椭圆C： ＋ ＝1(a＞b＞0)，C的上顶点为B，左右顶点分别为A 、A ，左焦点为F ，
a2 b2 1 2 1
1
离心率为 ．过F 作垂直于x轴的直线与C交于D，E两点，且| DE |＝3．
2 1
(1)求C的方程；
(2)若M，N是C上任意两点
3
①若点M(1， )，点N位于x轴下方，直线MN交x轴于点G，设△MA G和△NA G
2 1 2
的面积分别为S ，S ，若2S －2S ＝3，求线段MN的长度；
1 2 1 2
②若直线MN与坐标轴不垂直，H为线段MN的中点，直线OH与C交于P，Q两点，
已知P，Q，M，N四点共圆， 求证：线段MN的长度不大于 14．
4
{#{QQABIQAAggCgAhBAAAhCQQ2ACkOQkhCCCSgOAAAIMAAASBFABAA=}#}
